「作図」とは，①「定規」と②「コンパス」を使って③「有限回」の操作で，条件を満たす図形を描くことです．

　今日では，作図ソフト，CADなど便利なものが沢山ありますが，作図では，古代ギリシヤのユークリッド幾何学の伝統に沿って，定規とコンパスだけという限られた手段を使って図形を描きます．
　これは，多様な知識を数個の原始的なものから組み立てていくという手順を学習することが主な目的だからです．
　だから，目盛りの付いたものさしで長さを測ったり，分度器で角度を測るような，応用的な道具を使わずに，円と直線だけというルールで平面図形を組み立てる手順を考えるゲームだと思えば分かりやすいでしょう．

　この教材の管理人の手持ちの書物には，定規ではなく定木と書かれているものが幾つかありますが，定規と書けば目盛りの付いたものさしを思い浮かべますので，目盛りはないということをはっきりさせるために定木という漢字を使っていることがあります．
　ただし，中学校数学の教科書はすべて定規という表記になっていますので，この教材でも定規にそろえます．
　なお，参考書の中には「三角定規」と「コンパス」と書かれているものもありますが，市販の三角定規は２つ１組で，30°, 45°, 60°, 90°の角が付いており，２つ組み合わせると平行線も自由に引くことができますが，この意味での三角定規ではありません．中学生が親しみやすいものとして三角定規と書かれているだけで，直角を使ったり，連携プレイすることなどは許されず，単に１本の直線が引ける板のことです．

　小学校の頃に使っていたコンパスは，ネジの部分がグラグラで，１回転すると半径がずれているような場合もありましたが，中心は動かず半径は固定できるちゃんとしたコンパスを想定します．
　半径が固定できるので，中心を別の場所に移してちょいと回すと，同じ長さの線分が幾らでも描けることになります．

　例えば，作図の単元が終わるまでには「角の三等分線を作図することはできない」という定理を紹介してもらうことがあるでしょう．
　しかし，次のようにすれば描けるのです．

というように，次々に1/4倍にした分数の和を考えると

　左の式を参考にして，角の四等分線を次々に作っていくとその和が三等分線になります．
　角θの四等分線を描き，さらに，その四等分を繰り返すと角の16等分線，64等分線，…が次々と描けます．
　右図のように，それらを足したものが「角の３等分線」です．
　ただし，この手順は「作図」という観点から言えば反則です．なぜなら，「有限回の操作」で終わらずに「無限回」の操作を行っているからです．
　この例から分かるように，作図は有限回の操作でできるものでなければならないということです．

【要約】
(1)　作図では，「定規」と「コンパス」を「有限回」使って，条件を満たす図形を描く
(2)　「定規」を使えば，「２点を結ぶ直線が引ける」
(3)　「コンパス」を使えば「円」が描け，「同じ長さの線分が作れる」

【例題１】
　右図の線分ABの垂直二等分線を作図してください．

(1)(2)において，円を描くときに半径は適当に決めればよいが，１つだけ条件があります．
(1)で描いた円弧と(2)で描いた「円弧が交わるように，そこそこの長さの半径（=ABの半分よりは大きいもの）」でなければなりません．

「適当に」とか「そこそこの長さ」といった不安定な決め方では気持ちが悪いので，「ABを半径として」というように明確に決めてほしいと思うかもしれませんが…「ABを半径として」円を描くと１つの正しい作図になりますが，他の長さでもよいということは忘れないように．

(1)(2)の半径は，理論上はどんなに長くてもかまいませんが，実際上はあまりに長いと，コンパスを幾ら開いても届かないとか，答案用紙の中に円が描けないとかの不都合がありますので，そこそこの長さに押さえておかなければなりません…これはやってみれば分かるはずです．

(1)と(2)はどちらが先でもよいが，(3)は必ず(1)(2)よりも後でなければなりません．２つの交点P, Qが決まらないと，直線が引けないからです．

この例題で示した作図の手順によって垂直二等分線が描ける訳は，次の通りです．
(1)(2)で半径を変えていないから，右図においてAP =AQ =BP =BQになります．4辺の長さが等しい4角形は「ひし形」で，ひし形においては「対角線は互いに他を垂直に二等分する」という性質があります．
だから，AH=BHかつAB⊥PQとなります．

【類題1】
　【例題１】の解答において，(1)の円の半径と(2)の円の半径を変えた場合，(3)でできる直線PQはどんな直線になりますか．

以上の類題と元の例題を比較してみると，例題において
AP=AQ, BP=BQ…(*1)
が成り立つことは，PQがABに垂直となるための条件で
さらに
AP=BP, (AQ=BQ)…(*2)
も追加すると，PQがABを二等分することになります．

【三角形の外心（外接円の中心）の作図】

(1)　ABの垂直二等分線を引く（赤線で示した）
(2)　BCの垂直二等分線を引く（青線で示した）
(3)　(1)(2)の交点がそれぞれの二等辺三角形の頂点，すなわち外接円の中心になります．

*** CAの垂直二等分線は引かなくてよい．***
そもそも「△ABCの３辺の垂直二等分線は１点で交わる．この点を△ABCの外心という．」となっているので，CAの垂直二等分線は，AB, BCの垂直二等分線の交点を通ります．
　だから，３本目の垂直二等分線を引かなくてもよいのです．（この意味では，どれか２本，例えばAB, CAの垂直二等分線の交点を求めると，BCの垂直二等分線は引かなくてもよいとも言えます）

【問題1.1】
　右の図で，３点A, B, Cを通る円の中心Oを，定規とコンパスを使って作図せよ。なお，作図に用いた線も残しておくこと。

（作図の仕方）

【問題1.2】
　右図のように，３点A, B, Cと直線lがある。直線l上にあって，∠ACB =∠APBとなる点Pを定規とコンパスを使って１つ作図せよ。なお，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。

（考え方）
○中学校２年生で習う円周角の定理によれば，「同じ弧に対する円周角は等しい」．
○円周角の定理の逆も成り立ち，「２点C, Pが直線A, Bの同じ側にあって，∠ACB =∠APBならば４点A, B, C, Pは同一円周上にある」といえる．
○そこで，３点A, B, Cを通る円と直線lの交点を求めたらよい．３点A, B, Cを通る円とは，△ABCの外接円のことであるから，△ABCの外接円の中心，すなわち外心を作図すればよい．
　そのためには，線分ABの垂直二等分線と線分BCの垂直二等分線の交点を求めたらよい．
（解答）

【問題1.3】
　右図において，線分OPの中点Mを作図し，それを用いて点Pから円Oにひいた２本の接線を作図しなさい。ただし，作図に用いた線を消さないこと。

（考え方）
　中学校２年生で習う円周角の定理のうちで，特に「直径の上に立つ円周角は90°になる」というものがあります．
　この定理によれば，右図のように，点Mを中心として，OPを直径とする円があるときに，円周上の任意の点をTとすると，∠OTP =90°になります．
　そこで，点Mを中心として，OM=MP (=r)を半径とする円と円点Oとの交点をTとすると，∠OTP=90°となって，TPが半径OTに垂直な直線，すなわち接線になります．
（解答）

【問題1.4】
　右の図２において，線分ABとCDは円の弦である。円の中心Oを定規とコンパスを用いて図２に作図して求め，その位置を•で示せ。ただし，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。

（考え方）
　線分ABと線分CDの垂直二等分線の交点を求めたらよい．
（作図）
(1)　点Aを中心として円をく．
(2)　(1)のときと半径を変えずに，点Bを中心とする円を描く．
(3)　(1)(2)の２交点を結ぶ直線を引く．
(4)　点Cを中心として円をく．
(5)　(4)のときと半径を変えずに，点Dを中心とする円を描く．
(6)　(4)(5)の２交点を結ぶ直線を引き，(3)と交わる点をOとする．

【問題1.5】
　右の図のように，線分ABと，線分AB上にない点Cがある。ABを直径とする円の周上にあって，Cからの距離が最も短くなる点Pを，定規とコンパスを使って作図しなさい。なお，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。

（考え方）
　ABを直径とする円周上に点Pを描けば，CPが最短になります．
　そこで，ABの垂直二等分線を作図して，ABの中点を求めて，これを円の中心とすればよい。 （作図）
(1)　点Aを中心として円をく．
(2)　(1)のときと半径を変えずに，点Bを中心とする円を描く．
(3)　(1)(2)の２交点を結ぶ直線を引き，ABとの交点を円の中心Oとする．
(4)　Oを中心として，半径OAの円を描く．
(5)　(4)の円と線分COとの交点をPとする．

【問題1.6】
　図３において，直線l上にあって，∠APB=90°となる点Pを定規とコンパスを用いて図３に作図して求め，その位置を•ですべて示せ。ただし，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。

（考え方）
　中学校２年生で習う円周角の定理のうちで，特に「直径の上に立つ円周角は90°になる」というものがあります．
　また，その逆，すなわち「円周角が90°になるなら，その弦は直径である」も成り立ちます．
　そこで線分ABを直径とする円と直線lの交点をPとすると，∠APB=90°になります．（このような点Pは一般には２つあります．）
　ABを直径とする円を描くには（円の中心を求めるには），ABの垂直二等分線を描いて，ABの中点を円の中心とすればよい．
（作図）
(1)　点Aを中心として円をく．
(2)　(1)のときと半径を変えずに，点Bを中心とする円を描く．
(3)　(1)(2)の２交点を結ぶ直線を引く．
(4)　直線ABを引き，(3)の直線との交点を円の中心Oとする．
(5)　Oを中心として，半径OAの円を描き，直線lとの２交点を点P, P'とする．

【問題1.7】
　図Ⅰにおいて，円Oは半径2cm の円であり，点Aは円Oの周上の点，点Pは円の内部の点で，AP=2cm である。
　図Ⅰを用いて，図Ⅱのように，点Aを一端とする線分で弧が点Pに重なるように円の一部を折り返す。この折り目を線分ABとするとき，次の(1)(2)の問いに答えなさい。
(1)　点Aを一端とする線分で円の一部を折り返すとき，弧が点Pに重なるような折り目は，線分ABのほかにもう１つある。その折り目を線分ACとするとき，線分ACをコンパスと定規を用いて作図しなさい。
　ただし，作図に用いた線は消さないこと。
(2)　略

（考え方）
　弧を折り返して重なるのだから，右図のように△APBと△AP'Bは合同になります．したがって，AP=AP'になります．
　逆に，円周上の点P”について，AP =AP”あれば，PP”の垂直二等分線ACで折り返すと，P”はPに重なることになります．
（作図）
(1)　点Aを中心として，半径APの円を描き，元の円との交点でB側でない方をP”とおく．
(2)　点Pを中心とする円を描く．
(3)　(2)と半径を変えずにP”を中心として円を描き，(2)との交点をDとおく．
(4)　直線ADを引き，元の円との交点をCとおく．

【例題２】
　直線l上にない１点Aがあるとき，点Aを通ってlに垂直な直線を作図してください．

【類題2.1】
　【例題２】の解答は，(1)～(4)の４ステップで作図していますが，これを３ステップで作図する方法を考えてください．

【問題2.1】
　右の図のように，辺ABを底辺とする△ABCがある。そのときの高さをCHとする。点Hを作図しなさい。
　ただし，作図にはコンパスと定規を用い，作図に使った線は消さないこと。

（考え方）
　線分ABを延長した直線を描き，その直線外の１点Cを通って直線ABに垂直な線を引き，交点をHとすればよい．
（解答）
(1)　線分ABを延長した直線を描く
(2)　点Cを中心として円を描き，直線ABと交わる点をP, Qとおく．
(3)　点Pを中心とする円を描く．
(4)　(2)のときと半径を変えずに，点Qを中心とする円を描く．
(5)　点Cと(2)(3)の交点Rを結ぶ直線を引き，直線ABとの交点をHとする．

【問題2.2】
　右の図のように，円Oの外部に点Pがある。点Pから円Oに２本の接線をひき，接点をA, Bとする。次の1, 2の問いの答えなさい。
1　点Pから円Oにひいた２本の接線を，定規とコンパスを使って作図せよ。ただし，２点A, Bの位置を示す文字A, Bも書き入れ，作図に用いた線は残しておくこと。
2　略

（考え方）
　接線PAは半径OAに垂直になり，接線PBは半径OBに垂直になる．
　OPを直径とする円を描くためには，前もってその円の中心を求めておかなければならないので，初めにOPの垂直二等分線を作図します．
（解答）
(1)　点Pを中心として円を描く．
(2)　(1)のときと半径を変えずに，点Oを中心とする円を描く．
(3)　(1)(2)の２つの交点を結ぶ直線とOPとの交点をQとおく．
(4)　点Qを中心とし，PQを半径とする円を描き，元の円との交点をA, Bとする．
(5)　直線PA, PBを引く．

【例題３】
　直線l上の１点Aを通ってlに垂直な直線を作図してください．

(2)(3)の円の半径は(1)よりも大きくなければならない．(1)以下では，２つの交点R, Sができない．

(*)　この手順の中で，(2)(3)の操作を直線lよりも上の部分だけで行ってもよい．その場合は，２点R, Aを結ぶ直線が直線lの垂線になる．

上記の(*)で示した手順で行う場合は，△RPA ≡△RQAになるから，
∠RAP =∠RAQ , ∠RAP+∠RAQ =180°から∠RAP=90°が言える．

【問題3.1】
　図2において，点Pを通り直線lに垂直な直線を定規とコンパスを用いて作図せよ。ただし，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。

（解答）
上記の【例題３】において，点Aを点Pと読み替え，P, Q, R, Sを名前が重ならないようにK, L, M, Nなどとすればよい．

【問題3.2】
　右図のように，直線l上に点Pがある。
　中心が直線m上にあり，直線にlに点Pで接する円Oを，定規とコンパスを用いて作図しなさい。ただし，円の中心を表す文字Oも書き，作図に用いた線は消さないこと。

（考え方）
　円の接線は半径と垂直になるから，点Pから直線lに垂直な線を引き，直線mとの交点を円の中心Oとすればよい．
（解答）
(1)　点Pを中心として円を描き，直線lと交わる点をQ, Rとおく．
(2)　点Qを中心とする円を描く．
(3)　(2)のときと半径を変えずに，点Rを中心とする円を描く．
(4)　(2)(3)の２交点S,Tを結ぶ直線を引き，直線mとの交点をOとする．
(5)　Oを中心として，OPを半径とする円を描く．

　右の図の△ABCにおいて，辺BC上にあり，辺AB, ACまでの距離が等しい点Pを作図によって求めなさい。
　ただし，作図には定規とコンパスを使い，作図に用いた線は消さないこと。

【問題4.1】
　右の図で，∠ABCの二等分線上に中心があり，２点A, Bを通る円を，定規とコンパスを用いて作図しなさい。
　なお，作図に用いた線は消さずに残しておきなさい。

（考え方）
　角の二等分線ということは書かれているから，描いた円が２点A, Bを通るようにすることを考えるとよい．
　２点A, Bを通る円の中心は，A, Bからの距離が等しい（半径になる）から，ABの垂直二等分線上にあります．
（解答）
∠ABCの二等分線を引く．
ABの垂直二等分線を描く．

【問題4.2】
　右の図のように，四角形ABCDがある。辺ABが辺ADに重なるように折ったときの折り目の線と辺BCとの交点Pを，定規とコンパスを使って作図しなさい。なお，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。

（考え方）
　線分APで折り返して，ABとADが重なるようにするには，APが∠DABの二等分線になるようにすればよい． （作図）
(1)　点Aを中心として円を描き，AB, ADと交わる点をE, Fとおく．
(2)　点Eを中心とする円を描く．
(3)　(2)のときと半径を変えずに，点Fを中心とする円を描く．
(4)　Aと(2)(3)の交点Gを結ぶ直線を引き，BCとの交点をPとする．

【問題4.3】
　右の図には３つの線分が与えられている。これらの線分すべてに接する円の中心Oと，１つの接点Pを作図によって求めなさい。ただし，作図に用いた線は消さないこと。

（考え方）
　角の二等分線を描くと，２つの辺から等距離にある点（の集まりとしての直線）が描ける．
　角の二等分線を２つ描いて，その交点を求めると，３つの辺から等距離にある点が得られる． （作図）
１つの角の二等分線を描く．
もう１つの角の二等分線を描く．
角の二等分線２つの交点が求める円の中心Oである．
次に,１つの接点Pを求める．

【問題4.4】
　∠A=90°の△ABCがある。辺AC上の点Dと頂点Bを結ぶ線分BDを折り目として頂点Aがちょうど辺BC上にくるように折り曲げた。
　頂点Aが重なる辺BC上の点をEとするとき，折り目の線分BDと点Eの位置を右上の図に作図しなさい。ただし，作図に用いた線は残しておくこと。

　折り曲げて重なるということから，∠ABD=∠DBCすなわち，∠ABCの二等分線を作図すれば目途がつきます．
　他方で，AB=AEとなることから，Eも円を描けば作図できます．
　このようにすれば，問題としては解けてしまいますが，そのように解いてしまうと∠A=90°という条件を使わずに解けたことになります．この辺の事情は後で検討することとして，とりあえず答案を書くと．
（解答）
(1)　点Bを中心として円を描き，AB, BCと交わる点をP, Qとおく．
(2)　点Pを中心とする円を描く．
(3)　(2)のときと半径を変えずに，点Qを中心とする円を描く．
(4)　Bから(2)(3)の交点Rへ直線を引き，ACとの交点をDとおく．
(5)　Bを中心とし，ABを半径とする円を描きBCと交わる点をEとおく．
（∠A=90°という条件の検討）
元の問題には，∠A=90°という条件が付いています．これにより，問題が難しくなっているのではなく，(*1)上記のような作図方法だけでなく，(*2)Eから垂線を引いてDを求めたり，(*3)逆にDから垂線を引いてEを求めることもできるようになっている（より易しくなっている）と考えることができます．
　教科書で重視されている流れから考えると，出題者の意図としては(*3)を想定しているように思われます．

　右図のように，線分ABが与えられているとき，この線分ABを１辺とする正三角形を作図するには

実際には，線分ABの上側と下側に１つずつできますが，１つだけ描けばよい場合は，上記のような図になります．

なお「正三角形の１つの内角は60°」だから，正三角形の作図ができれば，60°の作図ができることになります．

【問題5.1】
　右の図のように，半直線OX, OYがあり，点Aは半直線OY上の点である。半直線OX上に∠OAP =30°となる点Pを，定規とコンパスを使い，作図によって求めよ。ただし，定規は直線を引くときに使い，長さを測ったり角度を利用したりしないこととする。なお，作図に使った線は消さずに残しておくこと。

（考え方）
　正三角形の作図は上の例のようにしてできますので，まず60°が作れます．次に，その角の二等分線を引くと30°ができます．
（作図）

【問題5.2】
　右の図のように，線分ABを直径とする半円がある。
　上に点Pをとり，∠PAB =15°となる線分APを作図しなさい。
　ただし，作図には定規とコンパスを用い，作図に使った線は消さないこと。

（考え方）
　前問のようにして30°の角が作れると，円周角が中心角の半分になることを利用すると15°ができます．
　なお，右の△PABの図は，今までに見た覚えがあると思います．
（作図）
円の中心を作図する．
OBを１辺とする正三角形を描く．
∠BOCの二等分線を描く．
APを結んだ線分を引く．

【問題5.3】
　右の図は∠XOYである。辺OX, OY上に３つの頂点がある正三角形ABCを，定規とコンパスを用いて作図しなさい。ただし，図をかくのに用いた線は消さないこと。

（考え方）
　２つの辺の上に３つの頂点があるようにするには，一方に２つ，もう一方に１つあるようにしたらよい．（∠XOYは60°とは言えないから，点Oに１つの頂点をとると，正三角形にはならない）
　そこで，OY上に２つ，OX上に１つの頂点があるとすればよい．

[A]　OY上に底辺がある正三角形は簡単に描けるが，その頂点がOX上にあるとは限らない．そこで，できた正三角形を平行移動して，頂点がOX上にあるようにしたらよい．
　とにかく正三角形を作り，次に平行移動する．

[B]　OYと60°の角をなす直線が描けたら，頂点が決まり，正三角形が描ける．
　とにかく正三角形を作り，次に拡大・縮小して相似図形にする．
（作図方法[A]）
OY上に２点A, Bを選んで，ABを１辺とする正三角形を描く．
CからOYに平行線を引いて，OXとの交点をDとする． A, B, CをそれぞれCDの分だけ平行移動する． （作図方法[B]）
OY上に２点A, Bを選んで，ABを１辺とする正三角形を描く．
(4)　Cが∠XOYの外側にあるときは，CBとOXとの交点をDとする．Cが∠XOYの内側にあるときは，CBの延長線とOXとの交点をDとする．
(5)　Bを中心として，BDを半径とする円とOYとの交点をEとする．
(6)　B, D, Eを結べば正三角形になる

　正六角形を作図してください

この方法により120°の作図もできることが分かります．

【問題5.4】
　右図のように，円があり，その円周上に点Aがある。
　このとき，三角定規とコンパスを使って，点Aを頂点の１つとし，他の３つの頂点がいずれも，この円周上にあるような正方形を作図しなさい。
　ただし，三角定規の角を利用して直線をひくことはしないものとする。また，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。

（考え方）
　右図のように，直径ACを描き，その垂直二等分線を描くと，正方形の対角線ができます．
（解答）
(1)　Aを中心として円を描き，元の円との交点をP, Qとおく．
(2)　Pを中心として円を描く．
(3)　(2)と同じ半径でPを中心として円を描く．
(4)　(2)(3)の交点とAを結ぶ直線を描き，元の円との交点をCとする．
(5)　Aを中心として円を描く．
(6)　(5)と同じ半径でCを中心として円を描く．
(7)　(5)(6)の２つの交点を結ぶ直線を描き，元の円との交点をB, Dとする．
(8)　A, B, C, Dを結べば，求める正方形ができる．