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♪♥♫♦∀高校入試の基本～標準∳♣♬∅♠

長文問題に慣れよう

【問題1】
　孝さんと桜さんは，連続する２つの偶ぐう数の積に1を加えた数がどのような数になるか次のように調べた。
　調べたこと
　調べたことから，次のように予想した。
　予想
　次の(1)～(3)に答えよ。
(1)　予想がいつでも成り立つことの証明を完成させよ。
　証明 (2)　孝さんと桜さんは，予想の「連続する2つの偶数」を「２つの奇数」に変えても，それらの積に1を加えた数は奇数の2乗になるか話し合った。次の会話は，そのときの内容の一部である。






　下線部②は，下線部①のnがどのような整数でも成り立つ。 ( A )，( B )にあてはまるものを，次のア～クからそれぞれ１つ選び，記号をかけ。
ア　連続する2つの奇数
イ　異なる2つの奇数
ウ　和が4である2つの整数
エ　差が2である2つの整数
オ　もとの2つの数の間の整数
カ　もとの2つの数の間の偶数
キ　もとの2つの数の間の和
ク　もとの2つの数の間の差
(3)　次に，孝さんと桜さんは，連続する5つの整数のうち，異なる2つの数の積に1以外の自然数を加えた数が，整数の2乗になる場合を調べてまとめた。
　まとめ
　上のまとめはいつでも成り立つ。( X )，( Y )，( Z )にあてはまるものを，次のア～オからそれぞれ１つ選び，記号をかけ。また，( Ⓟ )にあてはまる1以外の自然数を答えよ。
ア　最も小さい数
イ　2番目に小さい数
ウ　真ん中の数
エ　2番目に大きい数
オ　最も大きい数

（解答）
(1)
(2)
　( A ) → n, n+2
　n(n+2)+1=n2+2n+1=(n+1)2だから
　( B ) → n+1
(3)
　連続する5つの数をn, n+1, n+2, n+3, n+4とおくと
　2数の積は
　n(n+1)=n2+n
　n(n+2)=n2+2n
　n(n+3)=n2+3n
………
　(n+2)(n+3)=n2+5n+...
　(n+3)(n+4)=n2+7n+...
これらのうちで，(n+a)2=n2+2an+...となるのは，1次式nの係数が偶数になるとき
　n(n+2)=n2+2n
　n(n+4)=n2+4n
　(n+1)(n+3)=n2+4n+3
　(n+2)(n+4)=n2+6n+8
の４通り．さらに，これらのうちで，１以外を加えて2乗の形になるものは
　n2+4n+4=(n+2)2
X → ア
Y → オ
Z → ウ
Ⓟ → 4
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【問題2】
　次は，先生とAさんの会話です。これを読んで，あとの各問に答えなさい。 (1)　アとイにあてはまる自然数を書きなさい。
(2)　下線部の予想が正しいことを，次のように証明しました。①にあてはまる式を書きなさい。また，②に証明の続きを書いて，証明を完成させなさい。

（解答）
(1)
ア → 13
イ → 44
(2)
① → 4n+1
② → 3(4n+1)+5=12n+8=4(3n+2)
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【問題3】
　絵理さんと桃子さんは，連続する3つの自然数の性質について考えた。次の会話を読んで，①～④に答えなさい。
絵理：連続する3つの整数の和は，どのような数になるのかな。
桃子：連続する3つの整数が，1, 2, 3のとき，その和は6になるね。2, 3, 4のとき，その和は9になるね。連続する3つの自然数の和は，いつでも3の倍数になりそうよ。
先生：連続する3つの整数について，積も含めて考えると，ほかにも様々な性質がありそうですね。
①　下線部について，絵理さんは次のように確かめた。(1)，(2)に適当な式を書き入れなさい。
②　連続する3つの自然数の性質について，正しき述べられている文は，ア～エのうちではどれですか。当てはまるものをすべて答えなさい。
ア　連続する3つの自然数の和は，いつでも奇数になる。
イ　連続する3つの自然数の和は，いつでも偶数になる。
ウ　連続する3つの自然数の和は，いつでも中央の自然数の3倍になる。
エ　最も小さい自然数と最も大きい自然数の和は，いつでも中央の自然数の2倍になる。
③　先生の話を聞いた2人は，次のメモのように考え，連続する3つの自然数の性質を予想した。
　メモの【予想】は，次のように証明できる。　にnを使った式を用いて，【予想】が正しいことを示し，〈証明〉を完成させなさい。
④　連続する3つの自然数について，最も小さい自然数と最も大きい自然数の積に1をたした数が324となるとき，連続する3つの自然数を求めなさい。

（解答）
①　(1)→n+2，(2)→n+1
②　n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)→ウ
　　n+(n+2)=2n+2=2(n+1)→エ
③　n(n+2)+1=n2+2n+1=(n+1)2
④　(n+1)2=324=22×34
　　(n+1)=2×32=18
　　n=17→17, 18, 19
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【問題4】
　
　自然数を1から順に9個ずつ各段に並べ，縦，横3個ずつの9個の数を　で囲み，　内の左上の数をa，右上の数をb，左下の数をc，右下の数をd，真ん中の数をxとする。たとえば，上の表の　では，a=5, b=7, c=23, d=25, x=15である。次の1，2の問いに答えなさい。
1　aをxを使って表せ。
2　M=bd−acとするとき，次の(1), (2)の問いに答えよ。
(1)　a, b, c, dをそれぞれxを使って表すことで，Mの値は4の倍数になることを証明せよ。
n　aが1段目から10段目までにあるとき，一の位の数が4になるMの値は何通りあるか，次の　　のア～ウに適当な数を入れ，求め方を完成させよ。

（解答）
(1)
a=x−10, b=x−8, c=x+8, d=x+10だから
M=(x−8)(x+10)−(x−10)(x+8)
=(x2+2x−80)−(x2−2x−80)
=4xは4の倍数
(2)

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
4x	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36
4xの一の位の数	0	4	8	2	6	0	4	8	2	6

ア→1
イ→6

1段目	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2段目	10	11	12	13	14	15	16	17	18
3段目	19	20	21	22	23	24	25	26	27
4段目	28	29	30	31	32	33	34	35	36
5段目	37	38	39	40	41	42	43	44	45
6段目	46	47	48	49	50	51	52	53	54
7段目	55	56	57	58	59	60	61	62	63
8段目	64	65	66	67	68	69	70	71	72
9段目	73	74	75	76	77	78	79	80	81
10段目	82	83	84	85	86	87	88	89	90
11段目	91	92	93	94	95	96	97	98	99
12段目	100	101	102	103	104	105	106	107	108

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(高校の群数列)

【問題5】

	1列目	2列目	3列目	4列目	5列目	…
1段目	1	4	5	16	17
2段目	2	3	6	15	18
3段目	9	8	7	14
4段目	10	11	12	13
5段目
⠇

　右の図のように，連続する自然数を1から順に規則的に書いていく。上の段から順に1段目，2段目，3段目，…，左の列から順に1列目，2列目，3列目，…とする。例えば，8が書かれているのは3段目の2列目である。
　このとき，次の問い(1)～(3)に答えよ。
(1)　36が書かれているのは何段目の何列目か求めよ。
(2)　n段目のn列目に書かれている数をnを用いて表せ。だたし，答えは，かっこがあればかっこをはずし，同類項があれば同類項をまとめて簡単にすること。
(3)　87段目の93列目に書かれている数を求めよ。

（解答）
(1)
• 1, 9, 25, ... など奇数の2乗は1列目に，4, 16, 36, ... など偶数の2乗は1段目に来る．
• 36=62で6は偶数だから
　1段目6列…（答）
(2)
　ア)　nが奇数のとき，1段目のn列目は，次の表のようになる．

n	1	3	5	…
1段n列	1	5	17	…
1段n列	02+1	22+1	42+1	…

　1段n列は，(n−1)2+1=n2−2n+2
　n段n列は，これにn−1を足したものだから
　n2−2n+2+(n−1)=n2−n+1
　イ)　nが偶数のとき，n段目の1列目は，次の表のようになる．

n	2	4	6	…
n段1列	2	10	26	…
n段1列	12+1	32+1	52+1	…

　n段1列は，(n−1)2+1=n2−2n+2
　n段n列は，これにn−1を足したものだから
　n2−2n+2+(n−1)=n2−n+1
以上により，nが偶数でも奇数でも，次の式で表せる
　n2−n+1…（答）
(3)
97列目は奇数番目の列だから，1段目から93段目にかけて1ずつ増える
93段93列（93列93段）の数は
　932−93+1=8557
93列87段の数は，その6個前だから
　8557−6=8551…（答）
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【問題6】
　いくつかの碁石を，縦と横が等間隔となるように置き，正方形の形に並べることを考える。次の図のように，最初に黒い石を4つ並べて1番目の正方形とし，その外側に白い石を並べて2番目の正方形を作る。次に内側の黒い石を取り，いくつかの黒い石を加えて外側に並べ，3番目の正方形を作る。このように，3番目以降は，内側の石を取り，その石と同じ色の石をいくつか加えて外側に並べ，次の正方形を作っていく。後の(1)～(3)の問いに答えなさい。 (1)　4番目の正方形を作ったとき，外側に並んでいる白い石の個数を求めなさい。
(2)　n番目の正方形を作ったとき，外側に並んでいる石の個数を，nを用いた式で表しなさい。
(3)　黒い石と白い石が，それぞれ300個ずつある。これらの石を使って図のように正方形を作っていったところ，何番目かの正方形を作ったときに，どちらかの色の石がちょうど使い切ることができ，もう一方の色の石は，いくつか使われずに残った。このとき，次の①，②の問いに答えなさい。
①　どちらかの色の石をちょうど使い切ったのは，何番目の正方形を作ったときか，求めなさい。
　ただし，答えを求める過程を書くこと。
②　使われずに残った石について，その石の色と残った個数をそれぞれ求めなさい。

（解答）
(1)
外の正方形から中の正方形を抜いて数える場合

1番目	2番目	3番目	…
22	42−22	62−42	…

4番目は，82−62=64−36=28…（答）
(2)
外の正方形から中の正方形を抜いて数える場合

1番目	2番目	3番目	…	n番目
22	42−22	62−42	…	(2n)2−(2n−2)2

n番目は，(2n)2−(2n−2)2=8n−4…（答）
（別解）
４辺+4隅で数える場合

1番目	2番目	3番目	…	n番目
0+4	2×4+4	4×4+4	…	2(n−1)×4+4

n番目は，2(n−1)×4+4=8n−4…（答）
(3)
①　8n−4=300
　n=38…（答）
②　nが偶数のときは，使っているのは「白」で，残っているのは「黒」
　n=38のとき，残っているのは「黒」…（答）
残りは，300−(8×37−4)=300−292=8(個)…（答）
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【問題7】
　灰色と白色の同じ大きさの正方形のタイルをたくさん用意した。これらのタイルを使って，下の図のように，灰色のタイルを1個おいて，1個目の正方形とし，2番目以降は，正方形の四隅のうち，左下隅に灰色のタイルをおいて，灰色のタイルと白色のタイルが縦横いずれも交互になるようにすき間なく並べて，大きな正方形をつくっていく。できあがった正方形の1辺に沿って並んだタイルの個数が1個，2個，3個，…のとき，それぞれできあがった正方形を，1番目，2番目，3番目，…とする。このとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。

(1)　5番目の正方形には，灰色のタイルと白色のタイルがそれぞれ何個使われているか。その個数を答えなさい。
(2)　次の①，②の問いに答えなさい。
①　2k−1番目（奇数番目）の正方形には，灰色のタイルと白色のタイルがそれぞれ何個使われているか。kを用いて答えなさい。ただし，kは自然数とする。
②　2k番目（偶数番目）の正方形には，灰色のタイルと白色のタイルがそれぞれ何個使われているか。kを用いて答えなさい。ただし，kは自然数とする。
(3)　灰色のタイルを221個使ってできる正方形は，何番目の正方形か。求めなさい。

（解答）
(1)
灰色のタイルの個数は，下の段から順に数えると
　3+2+3+2+3=13個…(答)
白色のタイルの個数も同様に
　2+3+2+3+2=12個…(答)
(2)
①
下の段から偶数段目までは，灰色と白色のタイル数の合計は等しく，最上段では灰色のタイルが1個多い.
全体で(2k−1)2=4k2−4k+1個だから
　灰色のタイルは，2k2−2k+1個…(答)
　白色のタイルは，2k2−2k個…(答)
②下の段から偶数段目までは，灰色と白色のタイル数の合計は等しい．
全体で(2k)2=4k2個だから
　灰色のタイルは，2k2個…(答)
　白色のタイルは，2k2個…(答)
(3)
　2k2−2k+1=221
　2k2−2k−220=0
　k2−k−110=0
　(k+10)(k−11)=0
　k=11 (>0)
このとき，2k−1=211番目…(答)
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【問題8】
　下の図のように，同じ大きさの正三角形の白いタイルと黒いタイルをすき間なくしきつめて，1番目，2番目，3番目，4番目，……，n番目までの正三角形をつくります。
　このとき，次の各問に答えなさい。

(1)　下の表は，1番目，2番目，3番目，4番目，……，n番目までの正三角形をつくるのに必要な白いタイルと黒いタイルの枚数についてまとめたものです。アとイにあてはまる数をそれぞれ書きなさい。

	1	2	3	4	…	7	…	n
白いタイル(枚)	1	3	6	10	…	ア	…
黒いタイル(枚)	0	1	3	6	…	イ	…
タイルの合計(枚)	1	4	9	16	…		…

(2)　n番目の正三角形をつくるのに必要な黒いタイルの枚数をa枚とするとき，aをnを使った式で表しなさい。

（解答）
(1)

	1	2	3	4	5	6	7
白いタイル(枚)	1	3	6	10	15	21	28
黒いタイル(枚)	0	1	3	6	10	15	21
タイルの合計(枚)	1	4	9	16	25	36	49

順に求めていくと，上の表のようになる．ア→28, イ→21…(答)
(2)

	1	2	3	…	7	…	n
白いタイル(枚)	1	3	6	…	28	…	b
黒いタイル(枚)	0	1	3	…	21	…	a
タイルの合計(枚)	1	4	9	…	49	…	n2

a+b=n2…(#1)
b=a+n…(#2)
(#2)を(#1)に代入してbを消去すると
　2a+n=n2
　2a=n2−n
…(答)
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