数の性質2（高校入試問題）

→ 携帯用は別頁

== 数の性質2（高校入試問題） == このページの教材のレベルは

♪♥♫♦∀高校入試の基本～標準∳♣♬∅♠

根号の大小比較

基本：★

【問題1】
(1)　 $4\lt\sqrt{n}\lt 5$ をみたす自然数nの個数を求めなさい。

(2021年度石川県公立高校入試問題)

(2)　 $5\lt\sqrt{a}\lt 6$ を満たす自然数aは何個あるか。

(2018年度奈良県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(1) $4^2\lt n\lt 5^2$ だから
　17≦n≦24
　n=17,18,19,20,21,22,23,24
全部で，８個…（答）
(2) $5^2\lt a\lt 6^2$ だから
　26≦a≦35
　n=26,27,28,29,30,31,32,33,34,35
　10個…（答） →解説を隠す←

基本：★

【問題2】
　根号を使って表した数について述べた文として適切なものを，次のア～エの中から１つ選び，その記号を書きなさい。ただし，0<a<bとする。

ア　 $\sqrt{a}\lt\sqrt{b}$ である。
イ　 $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+ b}$ である。
ウ　 $\sqrt{(-a)^2}=-a$ である。
エ　aの平方根は $\sqrt{a}$ である。

(2022年度青森県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

アウエは基本なので，即答できてほしい問題です．
イは，２乗比較すれば分かります．

ア→正しい
ウ→ $\sqrt{(-a)^2}=\sqrt{a^2}=a$ だから，間違い
エ→ $\pm\sqrt{a}=a$ だから，間違い
イ→辺々２乗して比較する
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+ b+ 2\sqrt{ab}$
$(\sqrt{a+ b})^2=a+ b$
だから
$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+ b}$ は間違い
　以上から，ア…（答） →解説を隠す←

基本：★★

【問題3】
　次の二つの条件を同時に満たす自然数nの値を求めなさい。
・ $4\lt\sqrt{n}\lt 5$ である。
・ $\sqrt{6n}$ の値は自然数である。

(2022年度大阪府公立高校入試問題B)

解説を読む

（解答）
第１の条件から
　17≦n≦24…(#1)
第２の条件から
　2×3×nが平方数
　n=2×3×k2（kは正の整数）…(#2)
(#2)により
ア)　k=1のとき，n=6となって，(#1)を満たさない
イ)　k=2のとき，n=24
ウ)　k≧3のとき，n≧54となって，(#1)を満たさない
以上から，n=24…（答） →解説を隠す←

やや難：★★★

【問題4】
　大小２つのさいころを同時に投げるとき，出た目の数の和をnとします。
　次の(1)，(2)に答えなさい。
(1)　 $\sqrt{102n}$ が $a\sqrt{b}$ の形に表すことができるとき，nの値をすべて求めなさい。また，その求め方を説明しなさい。
　ただし，a, bは自然数とし，a>1とします。
(2)　 $\sqrt{102n}$ が $a\sqrt{b}$ の形に表すことができる確率を求めなさい。
　ただし，a, bは自然数とし，a>1とします。

(2022年度北海道公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(1)
i)　出た目の和だから，2≦n≦12
ii) 102n=2×3×17×nが(1よりも大きい)少なくとも1つの平方数を含んでいる

※「簡単な公式」的なものが思い浮かばない場面では，道なき道を１つずつ進む
※i) により，小さい方から順にn=2,3,4,...,12と調べるとよい

「102n=2×3×17×nが(1よりも大きい)少なくとも1つの平方数を含んでいればよい」

n=2→〇　　n=3→〇　　n=4→〇
n=5→×　　n=6→〇　　n=7→×
n=8→〇　　n=9→〇　　n=10→〇
n=11→×　　n=12→〇

以上により，n=2,3,4,6,8,9,10,12…（答）
(2)

和	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	×	6	×
2	3	4	×	6	×	8
3	4	×	6	×	8	9
4	×	6	×	8	9	10
5	6	×	8	9	10	×
6	×	8	9	10	×	12

右の表により
$p=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$
→解説を隠す←

割り算の余り

やや難：★★

【問題5】
　ある自然数を4で割ると3余り，5で割ると4余り，6で割ると5余ります。このような自然数のうち，最も小さい数を求めなさい。

(2018年度埼玉県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

【最小公倍数の基本問題】
• 小学校の基本問題1
［例1］ 5で割っても7で割っても割り切れる，最も小さい正の整数を求めてください．
　　（5と7の最小公倍数の）35が答
• 小学校の基本問題2
［例2］ 5で割っても，7で割っても2余る，最も小さい正の整数を求めてください．
　　2が答
　（37と教える先生が多いが，それは間違いであることに注意：35×0+2, 35×1+2, 35×3+2, ...のうちで最も小さい正の整数は2）
• 中学校の発展問題1
［例3］ 5で割ると4余り，7で割ると6余る，最も小さい正の整数を求めてください．
　（1足すと5でも7でも割り切れるから，34, 69, ...のうちで最も小さいもの）34が答
　※機転を利かせたら解けるので，高校入試でも出題されることがある．
• 中国剰余定理と呼ばれる整数問題を具体例で出題するもの
［例4］ 5で割ると4余り，7で割ると2余る，最も小さい正の整数を求めてください．
　※高校入試の問題としては，この問題は難しすぎるから，多分出題されない
　※高校の整数問題では解き方があるが，中学校では35n+k (0≦k<35)となるkの値を地道に調べる方が確実だと思われる．
　5m+4, 7n+2となる最小の正の数は，見たらわかる：(m=n=1のとき) 9が答

その自然数に1足すと，4でも5でも6でも割り切れるから，60×1−1,60×2−1,60×3−1,...のうちで最も小さいものを選ぶと，59…（答） →解説を隠す←

やや難：★★

【問題5’】
(1)　ある自然数を3で割ると1余り，4で割ると2余り，5で割ると3余るとき，このような自然数のうち，最も小さい数を求めてください。
(2)　ある自然数を3で割ると2余り，4で割ると3余り，5で割り切れるとき，このような自然数のうち，最も小さい数を求めてください。
(3)　ある自然数を4で割ると3余り，5で割ると2余り，6で割ると1余るとき，このような自然数のうち，最も小さい数を求めてください。
(4)　ある自然数を4で割ると1余り，5で割ると3余り，6で割ると5余るとき，このような自然数のうち，最も小さい数を求めてください。

(補足問題)

解説を読む

（解答）

⇒こちらのページの下端に中国剰余定理(中学では覚えなくてよい)

正の整数a,b,c,p,q,rについて，a,b,cが互いに素であるとき，aで割るとp余り，bで割るとq余り，cで割るとr余る正の整数Nは，0≦N<abcの範囲にただ1つ存在する

に関係する，具体的な問題を解くツールがあるので，それで確かめることができます．
　4と6は互いに素とは言えないので，(3)(4)の問題は中国剰余定理の条件を満たしていないが，それ風の問題でも解くことはできます

(1)
2足すと，3でも4でも5でも割り切れるから，58…（答） (2)
1足すと，3でも4でも割り切れるから，11, 23, 35, ...
そのうちで5で割り切れるのは35…（答）
(3)
4l+3, 5m+2, 6n+1となる最小の正の数は，見たらわかる：(l=m=n=1のとき) 7が答
(4)
4で割ると1余り，5で割ると3余るから，
20n+13=13, 33, 53, 73, ...
このうちで，6で割ると5余るものは，53…（答）
→解説を隠す←

文字式による説明

基本：★

【問題6】
　2けたの自然数のうち，3の倍数は全部で何個あるか。

(2022年度鹿児島県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

nを整数とするとき，3の倍数は，3nで表される

nを整数とするとき，
　10≦3n≦99を満たすnの範囲を求める
$\frac{10}{3}\underset{=}{\lt}n\underset{=}{\lt}33$
nは整数だから
　4≦n≦33
　(33−4)+1=30(個)…（答）
↑※両端を含める個数の数え方だから，「両端含む形の植木算」=n+1型になる
→解説を隠す←

基本：★

【問題7】
　3の倍数は，整数nを用いて3nと表される。
　次の(1)，(2)に答えよ。
(1)　次のア～カのうち，整数nを用いて3n+1と表されるものをすべて選び，記号で答えよ。
ア　80　　イ　81　　ウ　82　　エ　83　　オ　84
カ　85
(2)　3と6，12と15のように，連続する2つの3の倍数において，大きい方の数の2乗から小さい方の数の2乗をひいた差は，もとの2つの数の和の3倍に等しくなることの証明を完成させよ。

（証明）
整数nを用いると，

したがって，連続する2つの3の倍数において，大きい方の数の2乗から小さい方の数の2乗をひいた差は，もとの2つの数の和の3倍に等しくなる。

(2018年度福岡県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(1)
3n+1において，n=26, 27, 28, 29とおくと
　79, 82, 85, 88, ...となる．
　ウ，カ…（答）
(2)
連続する2つの3の倍数は，3n, 3(n+1)とおけるから
　{3(n+1)}2−(3n)2
　=9n2+18n+9−9n2
　=18n+9
　=3(6n+3)
　=3{3n+3(n+1)} →解説を隠す←

基本：★

【問題8】
　連続する3つの自然数をそれぞれ2乗して足すと365であった。
　もとの3つの自然数のうちもっとも小さい数を求めなさい。

(2018年度愛知県公立高校入試問題A)

解説を読む

（解答）
求める数をn (>0)とすると
　n2+(n+1)2+(n+2)2
　=n2+n2+2n+1+n2+4n+4
　=3n2+6n+5
　=365

　3n2+6n=3n(n+2)=360
　n(n+2)=120
　(n+12)(n−10)=0
nは正の数だから
　n=10…（答）
→解説を隠す←

標準：★★

【問題9】
　460−20nの値が，ある自然数の2乗となるような自然数nの値をすべて求めなさい。

(2018年度大分県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
　460−20n=k2（n, kは自然数）とおける
この式は，次のように変形できる．
　20(23−n)=k2
　22×5(23−n)=k2
そこで，1≦n≦22の範囲で，23−n=5m2（mは自然数）となるものを探す
ア)　m=1のとき，23−n=5
　n=18
イ)　m=2のとき，23−n=20
　n=3
ウ)　m≧3のとき，23−n≧45 → n≦−22となって，条件を満たさない
以上から，n=3, 18…（答）
→解説を隠す←

標準：★★

【問題10】
　 $\frac{336}{n}$ の値が，ある自然数の2乗となるような自然数nの値のうち，最も小さいものを求めなさい。

(2021年度徳島県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
　 $\frac{336}{n}=\frac{2^4\times 3\times 7}{n}$ のうちの分子の3と7が約分できなければならない
　n=21…（答）
※n=21×22=84, 21×24=336もよいが，最も小さいのはn=21 →解説を隠す←

標準：★★

【問題11】
　次の文章は，連続する5つの自然数について述べたものである。文章中のAにあてはまる最も適当な式を書きなさい。また，a，b，c，dにあてはまる自然数をそれぞれ書きなさい。

　連続する5つの自然数のうち，最も小さい数をnとすると，最も大きい数はAと表される。
　このとき，連続する5つの自然数の和はa(n+b)と表される。
　このことから，連続する5つの自然数の和は，小さい方からc番目の数のd倍となっていることがわかる。

(2018年度愛知県公立高校入試問題A)

解説を読む

（解答）
　A→n+4
n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+10=5(n+2)だから
　a→5
　b→2
　c→3(番目)の数の
　d→5(倍)になっている
→解説を隠す←

...メニューに戻る

■このサイト内のGoogle検索■

△このページの先頭に戻る△【アンケート送信】
… このアンケートは教材改善の参考にさせていただきます

■この頁について，良い所，悪い所，間違いの指摘，その他の感想があれば送信してください．

○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています．
○感想の内で，どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては，可能な限り対応するようにしています．（※なお，攻撃的な文章になっている場合は，それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので，採用しません．）

質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります