数の性質1（高校入試問題）

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♪♥♫♦∀高校入試の基本～標準∳♣♬∅♠

絶対値

【要点1：絶対値ぜったいちとは】
(1) 中学校の教科書では：「数直線上で原点からその数までの距離」をその数の絶対値と定義する．
　すなわち，数直線上で「図形的に」考える．
［例］

3の絶対値は3
0の絶対値は0
−5の絶対値は5

(2) 別の見方：正の数，負の数の「符号」と絶対値の関係から言えば，「ある数の絶対値とは，その数の符号を取り除いたもの」と考えるとよい．（ただし，0にはもともと符号は考えない）

+3の絶対値は3
0の絶対値は0
−5の絶対値は5

（余談 / 閑談 / 雑談）
(*1) 「絶対値」の絶対という言葉に身構え過ぎてはいけない．数学の絶対値という用語の意味を，例えば，次の文中の絶対という言葉のような大げさなことと結びつけない方がよい．

○ 運転中は，絶対に(=何があっても)居眠りをしてはいけない．
○ 「パリはフランスにある」というのは，絶対的な(=間違いのない)真理である．

(*2) 数学の絶対値は，英語でabsolute valueと言うことを日本語に翻訳しただけのものである．
(*3) テレビ番組で，本来の料金との差が少ないことを競うものがある．例えば，定価が10000円の料理に12000円と値を付けたときと，7000円と値を付けたときでは，10000円との「相対的な価格の差=相対値」は，それぞれ2000円と3000円となって，7000円の相対値の方が大きい．このように，何らかの値を基準として比較したものを相対値（相対比較）とするとき，特に０と比較したものを絶対値と呼ぶ．
(*4) 1気圧で水が固体になる温度を摂氏０度（0°C）といい，全ての分子が固体になる温度を絶対０度(−273°C)という．

基本：★

【問題1】
　次のア～ウの数の絶対値が，小さい順に左から右に並ぶように，記号ア～ウを用いて書け。
　　ア　−3　　イ　0　　ウ　2

(2021年度香川県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
要点(2)で述べたように，「符号(があれば)」を取り除くとよい．
　　ア　−3→3　　イ　0→0　　ウ　2→2
とすると
　　イ，ウ，ア…（答） →解説を隠す←

基本：★

【問題2】
　次のア～エの数の中で絶対値が最も大きいものを１つ選び，記号で答えなさい。

　ア　 $2$ 　　イ　 $\sqrt{3}$ 　　ウ　 $-\frac{7}{3}$ 　　エ　 $0$

(2021年度島根県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
　小数の近似値で考えと比較しやすい

ア　2　絶対値は2
イ　 $\sqrt{3}$ →1.732···　絶対値は1.732···

ウ　 $-\frac{7}{3}$ →−2.333···　絶対値は2.33···
エ　0　絶対値は0

　以上から，ウ…（答） →解説を隠す←

数の分類

基本：★

【問題3】
　次の(1)，(2)の問いに答えなさい。

(1)　右の図は，中学校で学習した数について，それらの関係を表したものである。次の①～③の数は，図のア～エのどこに入るか。ア～エのうち，最も適切なものをそれぞれ１つ選び，記号で答えなさい。
　　①　5　　②　 $\sqrt{3}$ 　　③　 $\frac{3}{11}$
(2)　数について述べた次のア～エのうち，正しいものをすべて選び，記号で答えなさい。
ア　すべての自然数は，その逆数も自然数となる。
イ　異なる２つの整数について，大きい方から小さい方を引いた差は，いつでも自然数となる。
ウ　すべての２次方程式の解は，無理数となる。
エ　すべての有理数や無理数は，数直線上に対応する点がある。

(2022年度群馬県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(1)
①→ウ（自然数），②→エ（無理数），③→ア（有理数）
(2)
アは×（例えば， $\frac{1}{2}$ は自然数でない）
イは〇（２つの整数m, nについて，n>mならばn−m≧1が成り立つ）
ウは×（例えば， $x(x-1)=0$ の解は，２つとも有理数）
エは〇
　以上から，イ，エ…（答） →解説を隠す←

基本：★

【問題4】
　次のア～エの中から，誤っているものをすべて選び，その記号を書け。
ア　有理数を小数で表すと，全て有限小数になる。
イ　 $\sqrt{2}$ は循環しない無限小数である。

ウ　 $\sqrt{(-3)^2}$ は−3と等しい。
エ　aを0以上の数とするとき，aの平方根はx2=aを成り立たせるxの値のことである。

(2022年度福井県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

## 危険な落とし穴 ##
• 「有」で連想される有理数と有限小数，「無」で連想される無理数と無限小数は，対応しない．
（よくある間違いなので注意--公立高校の出題する側からすれば，いつ出すか，どう出すか，今でしょう，あー福井県から出された！(涙)という感じかな）
• 英語でratioは比（分数）⇒ rationalは比の（分数の）に対応．ここでは，分数とは整数÷整数で書ける分数を表す．
　rational number(有理数)とは，整数÷整数の分数で書ける数のこと．
　irrational number(無理数)とは，整数÷整数の分数で書けない数のこと．

(整数) 有限小数	$\frac{2}{1}=2$	有理数 (分数)
	$\frac{7}{2}=3.5$
無限小数	循環する無限小数 $\frac{1}{3}=0.33\cdot\cdot\cdot$
	循環しない無限小数 $\sqrt{2}=1.4142\cdot\cdot\cdot$	無理数 (分数でない)
	$\pi=3.14\cdot\cdot\cdot$

※有理数であるのに，無限小数である数
$\frac{1}{3}=0.33\cdot\cdot\cdot$ が，「有限有理-無限無理」という連想の間違いを示している（無限かつ有理となる分数がある!!）

ア…間違い
イ…正しい
ウ… $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$ だから，間違い
エ…正しい
以上から，誤っているものはアとウ…（答） →解説を隠す←

基本：★

【問題5】
　次のア～オのうち，無理数であるものを２つ選び，記号で答えなさい。

ア0.5イ $\frac{1}{3}$ ウ $\sqrt{2}$ エ $\sqrt{9}$ オ $\pi$

(2023年度島根県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

整数÷整数の形で表せる数：有理数
整数÷整数の形で表せない数：無理数

※ $\sqrt{2}$ が整数÷整数の形に書けないことは，中学校の教科書の中で，発展学習として証明が書かれているものもある．
※「円周率 $\pi$ 」が無理数である（整数÷整数の形に書けないこと）ことは，中学校では覚えるだけでよい．

ア　 $0.5=\frac{1}{2}$ →有理数
イ　 $\frac{1}{3}$ →有理数
ウ　 $\sqrt{2}$ →整数÷整数に書けない→無理数
エ　 $\sqrt{9}=3=\frac{3}{1}$ →有理数
エ　 $\pi$ →整数÷整数に書けない→無理数
　以上から，ウとエ…（答） →解説を隠す←

素数

基本：★

【問題6】
　15以下の素数をすべて書け。

(2021年度福井県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

【素数とは】
　素数とは，「1と自分自身以外に約数がない自然数」のことである．
• ［素数の例］　2, 3, 5, 7, ･･･
• ［危険な落とし穴1］
　素数と奇数は違う．例えば，15=3×5は素数ではない
• ［危険な落とし穴2］
　1は素数ではない（これは約束）

　2, 3, 5, 7, 11, 13 …（答） →解説を隠す←

基本：★

【問題7】
　(ア)～(ウ)の各問いに答えなさい。
(ア)　10以下の素数をすべて書きなさい。
(イ)　次の自然数の中から素数をすべて選び，書きなさい。

12, 23, 35, 37, 49, 50, 51, 71, 85, 87, 91

(ウ)　ある素数xを２乗したものに52を加えた数は，xを17倍した数に等しい。
　このとき，素数xを求めなさい。
　ただし，xについての方程式をつくり，答えを求めるまでの過程も書きなさい。

(2019年度佐賀県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

• 10以下の素数は覚える方がよい．
• 100以下の素数は， $\sqrt{100}=10$ 以下の素数で試し割りして判断するとよい．

(ア)
　2, 3, 5, 7 …（答）
(イ)

12=22×3→素数でない
23→素数
35=5×7→素数でない
37→素数
49=7×7→素数でない
50=2×52
51=3×17→素数でない
71→素数
85=5×17→素数でない
87=3×29→素数でない
91=7×13→素数でない

以上から，素数は，23, 37, 71 …（答）
(ウ)

xは素数…(#1)
x2+52=17x…(#2)
(#2)より
　x2−17x+52=0
　(x−4)(x−13)=0
　x=4, 13
(#1)により，xは素数だから
　x=13 …（答） →解説を隠す←

小数部分

基本：★

【問題8】
　ある数aの小数第1位を四捨五入すると，14になった。このとき，aの範囲を不等号を使って表しなさい。

(2021年度和歌山県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
13.5≦a<14.5 …（答）

（余談 / 閑談 / 雑談）
• 「四捨五入」というのは，小数を含む数字を整数に直すときの約束事の１つ．他には「切り捨て」「切り上げ」「二捨三入」「七捨八入」などがある．
• 医薬品の価格を計算するときには，「五捨五(超)入」という方法があるらしい（5まで切り捨て，5より大は切り上げ）

元の数	切り捨て	二捨三入	四捨五入	五捨五入	七捨八入	切り上げ
3.01	3	3	3	3	3	4
3.29	3	3	3	3	3	4
3.3	3	4	3	3	3	4
3.49	3	4	3	3	3	4
3.5	3	4	4	3	3	4
3.501	3	4	4	4	3	4
3.75	3	4	4	4	3	4
3.8	3	4	4	4	4	4
3.9	3	4	4	4	4	4

• ATMでの手数料収入や消費税を考えるとき，円未満をどのように処理するかによって，収入が変わる．10件中2件は小数第1位が3,4になるとすると，四捨五入よりも二捨三入にしておくと，手数料が１円儲かる．1日に10万人利用すると，2万円儲かる!!
※現在，この件について公的規制がどうなっているか知りませんが，二捨三入は儲かるというのは，昔からある話です．

→解説を隠す←

基本：★

【問題9】
　 $\sqrt{15}$ の小数部分をaとするとき，a2+6aの値を求めよ。

(2021年度奈良県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

• $\sqrt{15}$ ≒3.8だから3.82+6×3.8などと「雑な議論」をしてはいけない．
• もとの数xの整数部分をn，小数部分をa (0≦a<1)とするとき，x=n+aが成り立つ．
　整数部分nが決まれば
　a=x−n
とすることにより，精密な計算ができる．

3≦ $\sqrt{15}$ <4だから，その小数部分は
$a=\sqrt{15}-3$
このとき
$a+ 3=\sqrt{15}$
$(a+ 3)^2=15$
$a^2+ 6a=6$ …（答） →解説を隠す←

基本：★

【問題10】
　 $\sqrt{6}$ の小数部分をaとするとき，a(a+2)の値を求めなさい。

(2022年度長野県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
2≦ $\sqrt{6}$ <3だから，その小数部分は
$a=\sqrt{6}-2$
このとき
$a(a+ 2)=(\sqrt{6}-2)\sqrt{6}$
$=6-2\sqrt{6}$ …（答） →解説を隠す←

根号が整数を表す条件

基本：★★

【問題11】
(1)　 $\sqrt{60n}$ の値が整数となるような自然数nのうち，最も小さいものを求めなさい。

(2018年度和歌山県公立高校入試問題)

(2)　 $\sqrt{24n}$ がある自然数になる。このようなnのうちで最も小さい数を求めなさい。

(2018年度愛知県公立高校入試問題A)

(3)　 $\sqrt{\frac{20}{n}}$ の値が自然数となるような自然数nをすべて求めなさい。

(2022年度和歌山県公立高校入試問題)

(4)　nを50以下の正の整数とするとき， $\sqrt{5n}$ の値が整数となるようなnの値をすべて求めよ。

(2018年度鹿児島県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(1) $\sqrt{60n}=\sqrt{2^2\times 3\times 5\times n}$ が整数となるには，根号内の数 $2^2\times 3\times 5\times n$ が平方数でなければならない．
　n=3×5×k2（kは正の整数）だから，nが最小となるのは，k=1のとき
　このとき，n=15 …（答）
(2) $\sqrt{24n}=\sqrt{2^3\times 3\times n}$ が整数となるには，根号内の数 $2^3\times 3\times n$ が平方数でなければならない．
　n=6×2（kは正の整数）だから，nが最小となるのは，k=1のとき
　このとき，n=6 …（答）
(3)
$\frac{20}{n}=\frac{2^2\times 5}{n}$ は，約分ができて，かつ，約分の結果が平方数にならなければならない．
　1≦n≦20であって,かつnは，2, 5の倍数
これらの中から実際に，調べてみると，=n=5, 20 …（答）
(4)
1≦n≦50であって，かつ5nは，平方数でなければならない．
　n=5k2（kは正の整数）
ア）　k=1のとき，n=5
イ）　k=2のとき，n=20
ウ）　k=3のとき，n=45
エ）　k≧4のとき，n≧80となって，題意に合わない
以上から，n=5, 20, 45 …（答）
→解説を隠す←

基本：★★

【問題12】

(1)　 $\sqrt{\frac{540}{n}}$ の値が整数となるような自然数nは，全部で何個あるか求めなさい。

(2022年度埼玉県公立高校入試問題)

(2)　 $\sqrt{53-2n}$ が整数となるような正の整数nの個数を求めなさい。
　　1. 1個　　2. 2個　　3. 3個　　4. 4個

(2018年度神奈川県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(1)
$\sqrt{\frac{540}{n}}=\sqrt{\frac{2^2\times 3^3\times 5}{n}}$
が整数となるには
　① nが22×33×5の約数
　② 根号内の数を約分した結果が平方数
①②を満たすのは，
ア）　n=3×5
イ）　n=3×5×22
ウ）　n=3×5×32
エ）　n=3×5×22×32
の４個 …（答）
(2)
53−2n=k2（kは正の整数）となればよい．
ここで，53−k2=2nとなるには，kは奇数でなければならない
ア）　k=1のとき，53−1=2n
　n=26
イ）　k=3のとき，53−9=2n
　n=22
ウ）　k=5のとき，53−25=2n
　n=14
エ）　k=7のとき，53−49=2n
　n=2
オ）　k≧9のとき，53−k2<0
　だから，題意に合わない
以上から，4個→ 4. …（答）
→解説を隠す←

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