直線で囲まれた図形の面積

*** 学年 ***
中学１年中学２年中学３年
*** 単元 ***
式の計算連立方程式１次関数平行線と角円周角の定理確率

※中学２年生向け「１次関数，直線の方程式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓変化の割合
↓同(2)
↓同(3)
↓直線の傾きと切片
↓関数の値と変化の割合
↓直線の傾き（応用問題）

↓グラフ→直線の式
↓同(2)

↓直線の式→切片
↓直線の式（展開形）→切片
↓直線の式→傾き
↓直線の式→切片と傾き
↓直線の式（展開形）→切片と傾き

↓直線の平行移動
↓同(2)
↓平行な２直線
↓同(2)

↓連立方程式とグラフ
↓あるないクイズ
↓通る・通らないクイズ
↓２点を通る直線の方程式
↓同(2)

↓文字係数を含む方程式
↓同(2)

↓直線で囲まれる図形の面積(y)-現在地
直線で囲まれる図形の面積(x)

...（携帯版）メニューに戻る

...(ＰＣ版)メニューに戻る

== 直線で囲まれた図形の面積 ==

【問題１】
　次の２直線l, mとy軸とで囲まれた三角形の面積を求めなさい．

y=x+1 …(l)
y=−x+5 …(m)

（答案）

直線lとy軸との交点Qのy座標は解説
−2 −1 0 1 2 3

y=x+1 …(l)とy軸x=0の交点のy座標を求めるにはy=x+1 …(l)にx=0を代入します．
y=0+1=1
したがって，交点のy座標は1になります．
参考までに，交点の座標は(0, 1)です．

直線mとy軸との交点Rのy座標は解説
0 1 2 3 4 5

y=−x+5 …(m)とy軸x=0の交点のy座標を求めるにはy=−x+5 …(m)にx=0を代入します．
y=0+5=5
したがって，交点のy座標は5になります．
参考までに，交点の座標は(0, 5)です．

直線lとmの交点Pの座標は解説
(2, 2) (2, 3) (3, 2) (3, 3)

y=x+1 …(l)とy=−x+5 …(m)の交点の座標を求めるには，
1) はじめにyを消去してx座標を求めます．
x+1=−x+5
2x=4
x=2
2) 次に，この値を(l)に代入してx座標を求めます．
y=2+1=35
したがって，交点の座標は(2, 3)になります．

△PQRの面積を求めるときに，y軸上の線分QRを底辺とし，y軸から点Pまでの距離を高さhと考えると線分QRの長さは解説
1 2 3 4 5

Qのy座標は1で，Rのy座標は5だから，大きい方から小さい方を引いて
QR=5−1=4

△PQRの高さhは点Pのx座標（の絶対値）だから
解説
1 2 3 4 5

P(2, 3)のx座標は2だから△PQRの高さhは2

△PQRの面積を底辺×高さ÷2，すなわち $S=\frac{QR\times h}{2}$ で求めると，面積 $S$ は解説

$\frac{3}{2}$ 2 3 4 8

$S=\frac{QR\times h}{2}=\frac{4\times 2}{2}=\frac{8}{2}=4$ になります

【問題２】
　次の２直線l, mとy軸とで囲まれた三角形の面積を求めなさい．

y=2x …(l)
y=x+2 …(m)

（答案）

直線lとy軸との交点Qのy座標は解説
−2 −1 0 1 2 3

y=2x …(l)とy軸x=0の交点のy座標を求めるにはy=2x …(l)にx=0を代入します．
y=2×0=0
したがって，交点のy座標は0になります．
参考までに，交点の座標は原点(0, 0)です．

直線mとy軸との交点Rのy座標は解説
0 1 2 3 4 5

y=x+2 …(m)とy軸x=0の交点のy座標を求めるにはy=x+2 …(m)にx=0を代入します．
y=0+2=2
したがって，交点のy座標は2になります．
参考までに，交点の座標は(0, 2)です．

直線lとmの交点Pの座標は解説
(2, 2) (2, 4) (4, 2) (4, 4)

y=2x …(l)とy=x+2 …(m)の交点の座標を求めるには，
1) はじめにyを消去してx座標を求めます．
2x=x+2
x=2
2) 次に，この値を(l)に代入してx座標を求めます．
y=2×2=4
したがって，交点の座標は(2, 4)になります．

△PQRの面積を求めるときに，y軸上の線分QRを底辺とし，y軸から点Pまでの距離を高さhと考えると線分QRの長さは
解説
1 2 3 4 5

Qのy座標は0で，Rのy座標は2だから，大きい方から小さい方を引いて
QR=2−0=2

△PQRの高さhは点Pのx座標（の絶対値）だから
解説
1 2 3 4 5

P(2, 4)のx座標は2だから△PQRの高さhは2

△PQRの面積を底辺×高さ÷2，すなわち $S=\frac{QR\times h}{2}$ で求めると，面積 $S$ は解説

$\frac{3}{2}$ 2 3 4 8

$S=\frac{QR\times h}{2}=\frac{2\times 2}{2}=\frac{4}{2}=2$ になります

【問題３】
　次の２直線l, mとy軸とで囲まれた三角形の面積を求めなさい．

$y=\frac{1}{2}x+ 4$ …(l)
y=−2x−1 …(m)

（答案）

直線lとy軸との交点Qのy座標は解説
0 1 2 3 4 5

$y=\frac{1}{2}x+ 4$ …(l)とy軸x=0の交点のy座標を求めるには $y=\frac{1}{2}x+ 4$ …(l)にx=0を代入します．
$y=\frac{1}{2}\times 0+ 4=4$
したがって，交点のy座標は4になります．
参考までに，交点の座標は(0, 4)です．

直線mとy軸との交点Rのy座標は解説
0 −1 −2 −3 −4 −5

y=−2x−1 …(m)とy軸x=0の交点のy座標を求めるにはy=−2x−1 …(m)にx=0を代入します．
y=0−1=−1
したがって，交点のy座標は−1になります．
参考までに，交点の座標は(0, −1)です．

直線lとmの交点Pの座標は解説
(−2, −2) (−2, 3) (2, 3) (−2, −3)

$y=\frac{1}{2}x+ 4$ …(l)とy=−2x−1 …(m)の交点の座標を求めるには，
1) はじめにyを消去してx座標を求めます．

$\frac{1}{2}x+ 4=-2x-1$
両辺に2を掛けて分母を払うと
x+8=−4x−2
5x=−10
x=−2
2) 次に，この値を(l)に代入してx座標を求めます．
y=3
したがって，交点の座標は(−2, 3)になります．

△PQRの面積を求めるときに，y軸上の線分QRを底辺とし，y軸から点Pまでの距離を高さhと考えると線分QRの長さは
解説
1 2 3 4 5

Qのy座標は4で，Rのy座標は−1だから，大きい方から小さい方を引いて
QR=4−(−1)=5

△PQRの高さhは点Pのx座標（の絶対値）だから
解説
1 2 3 4 5

P(−2, 3)のx座標は−2だから△PQRの高さhは，Pのx座標の符号を正の値に直して，2

△PQRの面積を底辺×高さ÷2，すなわち $S=\frac{QR\times h}{2}$ で求めると，面積 $S$ は解説

$\frac{3}{2}$ 2 $\frac{5}{2}$ 4 5

$S=\frac{QR\times h}{2}=\frac{5\times 2}{2}=\frac{10}{2}=5$ になります

【問題４】
　次の２直線l, mとy軸とで囲まれた三角形の面積を求めなさい．

y=2x+1 …(l)

$y=\frac{2}{3}x-3$ …(m)

（答案）

直線lとy軸との交点Qのy座標は解説
0 1 2 3 4 5

y=2x+1 …(l)とy軸x=0の交点のy座標を求めるにはy=2x+1 …(l)にx=0を代入します．
y=0+1=1
したがって，交点のy座標は1になります．
参考までに，交点の座標は(0, 1)です．

直線mとy軸との交点Rのy座標は解説
0 −1 −2 −3 −4 −5

$y=\frac{2}{3}x-3$ …(m)とy軸x=0の交点のy座標を求めるには $y=\frac{2}{3}x-3$ …(m)にx=0を代入します．
y=0−3=−3
したがって，交点のy座標は−3になります．
参考までに，交点の座標は(0, −3)です．

直線lとmの交点Pの座標は解説
(−5, −5) (−5, −3) (−3, −5) (−3, −3)

y=2x+1 …(l)と $y=\frac{2}{3}x-3$ …(m)の交点の座標を求めるには，
1) はじめにyを消去してx座標を求めます．

$2x+ 1=\frac{2}{3}x-3$
両辺に3を掛けて分母を払うと
6x+3=2x−9
4x=−12
x=−3
2) 次に，この値を(l)に代入してx座標を求めます．
y=−5
したがって，交点の座標は(−3, −5)になります．

△PQRの面積を求めるときに，y軸上の線分QRを底辺とし，y軸から点Pまでの距離を高さhと考えると線分QRの長さは
解説
1 2 3 4 5

Qのy座標は1で，Rのy座標は−3だから，大きい方から小さい方を引いて
QR=1−(−3)=4

△PQRの高さhは点Pのx座標（の絶対値）だから
解説
1 2 3 4 5

P(−3, −5)のx座標は−3だから△PQRの高さhは，Pのx座標の符号を正の値に直して，3

△PQRの面積を底辺×高さ÷2，すなわち $S=\frac{QR\times h}{2}$ で求めると，面積 $S$ は解説

$\frac{5}{2}$ 4 $\frac{9}{2}$ 5 6

$S=\frac{QR\times h}{2}=\frac{4\times 3}{2}=\frac{12}{2}=6$ になります

（以下は細かなヒントなしで自分で考える問題です）

【問題５】
　次の２直線l, mとy軸とで囲まれた三角形の面積を求めなさい．

y=−x+1 …(l)
y=−2x−2 …(m)

（答案）
$\frac{5}{2}$ 3 $\frac{7}{2}$ 4 $\frac{9}{2}$
解説

(l)とy軸の交点Qのy座標は1
(m)とy軸の交点Rのy座標は−2
QR=1−(−2)=3

交点Pのx座標は座標は−3になるから h=3
$S=\frac{3\times 3}{2}=\frac{9}{2}$
になります

【問題６】
　次の２直線l, mとy軸とで囲まれた三角形の面積を求めなさい．

$y=\frac{1}{2}x+ 2$ …(l)
y=2x−4 …(m)

（答案）
4 6 12 16 24
解説

(l)とy軸の交点Qのy座標は2
(m)とy軸の交点Rのy座標は−4
QR=2−(−4)=6

交点Pのx座標は座標は4になるから h=4
$S=\frac{6\times 4}{2}=12$
になります

...（携帯版）メニューに戻る

...（PC版）メニューに戻る

■このサイト内のGoogle検索■

△このページの先頭に戻る△【アンケート送信】
… このアンケートは教材改善の参考にさせていただきます

■この頁について，良い所，悪い所，間違いの指摘，その他の感想があれば送信してください．

○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています．
○感想の内で，どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては，可能な限り対応するようにしています．（※なお，攻撃的な文章になっている場合は，それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので，採用しません．）

質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります