文字式の表し方.高校入試問題

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== 文字式の表し方.入試問題 ==
〇中学校１年生の数学の教科書の初めの方に「文字と式」という単元があって，文字を使った式の表し方を習います．
　いくつかの教科書で確かめたところ，必ずしも次のように明確には述べられていないことですが，このページでは次のように用語の使い方を決めます．

演算	結果
足し算（加法） a+b	和 a+b
引き算（減法） a−b	差 a−b
掛け算（乗法） a×b	積 ab
割り算（除法） a÷b	商 $\frac{a}{b}$

【要点】
(1)　積

a b

や商

\frac{a}{b}

が「割り算の後にあるとき」に，元の掛け算

a \times b

や割り算

a \div b

に戻してはいけない．

【例１】

3 \times 4 = 12

であるが

2 \div 3 \times 4 = \frac{2}{3} \times 4 = \frac{8}{3}

…(1.1)

2 \div 12 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}

…(1.2)
このように(1.1)と(1.2)は違う．
(1.1)のように書くと，初めに

2 \div 3

を行い，その結果に

4

を掛けるという意味になります．(*)
つまり，

3

は

4

よりも先に

2

との間で演算を行います．
次のようにかっこで囲むと，(1.1)の結果は(1.2)の結果と等しくなります．

2 \div (3 \times 4) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}

…(1.1')
つまり，

4

として

3

に逃げられないようにするには（人間関係を連想しそうな，何と通俗的な表現！），かっこで囲んでおけばよい．(**)

【例２】

a \times b = a b

であるが

c \div a \times b = \frac{c}{a} \times b = \frac{b c}{a}

…(2.1)

c \div a b = \frac{c}{a b}

…(2.2)
このように(2.1)と(2.2)は違う．
(2.1)のように書くと，初めに

c \div a

を行い，その結果に

b

を掛けるという意味になります．
つまり，

a

は

b

よりも先に

c

との間で演算を行います．
次のようにかっこで囲むと，(2.1)の結果は(2.2)の結果と等しくなります．

c \div (a \times b) = \frac{c}{a \times b} = \frac{c}{a b}

…(2.1')
つまり，

b

として

a

に逃げられないようにするには，かっこで囲んでおけばよい．

【例３】

x = a \times b

のとき

c \div x

は

c \div a \times b

にはならない…(3.1)

c \div x

は

c \div a b = \frac{c}{a b}

になる…(3.2)

このように(3.1)と(3.2)は違う．
次のようにかっこで囲むと，(3.1)の結果は(3.2)の結果と等しくなる

c \div x = c \div (a \times b) = \frac{c}{a b}

…(3.1')
(*)と(**)は同様

【例４】

3 \div 4 = \frac{3}{4}

であるが

2 \div 3 \div 4 = \frac{2}{3} \div 4 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}

…(4.1)

2 \div \frac{3}{4} = 2 \times \frac{4}{3} = \frac{8}{3}

…(4.2)
このように(4.1)と(4.2)は違う．
次のようにかっこで囲むと，(4.1)の結果は(4.2)の結果と等しくなる

2 \div (3 \div 4) = 2 \div \frac{3}{4} = 2 \times \frac{4}{3} = \frac{8}{3}

…(4.1')
(*)と(**)は同様

【例５】

a \div b = \frac{a}{b}

であるが

c \div a \div b = \frac{c}{a} \div b = \frac{c}{a b}

…(5.1)

c \div \frac{a}{b} = c \times \frac{b}{a} = \frac{b c}{a}

…(4.2)
このように(5.1)と(5.2)は違う．
次のようにかっこで囲むと，(5.1)の結果は(5.2)の結果と等しくなる

c \div (a \div b) = c \div \frac{a}{b} = c \times \frac{b}{a} = \frac{b c}{a}

…(5.1')
(*)と(**)は同様

【例６】

x = a \div b

のとき

c \div x

は

c \div a \div b

にはならない…(6.1)

c \div x

は

c \div \frac{a}{b} = c \times \frac{b}{a} = \frac{b c}{a}

になる…(6.2)

このように(6.1)と(6.2)は違う．
次のようにかっこで囲むと，(6.1)の結果は(6.2)の結果と等しくなる

c \div x = c \div (a \div b) = c \div \frac{a}{b} = c \times \frac{b}{a} = \frac{b c}{a}

…(6.1')
(*)と(**)は同様

(2)　和

a + b

や差

a - b

は，割り算だけでなく，掛け算，引き算の後にあるときでも，かっこを付けない限り意味が変わる．

【例７】

等しいか	かっこ無し	かっこ有り
$\circ$	2+3+4=9	2+(3+4)=9
$\times$	2−3+4=3	2−(3+4)=−5
$\times$	2×3+4=10	2×(3+4)=24
$\times$	$2 \div 3 + 4 = \frac{2}{3} + 4 = \frac{14}{3}$	$2 \div (3 + 4) = 2 \div 7 = \frac{2}{7}$

【例８】

等しいか	かっこ無し	かっこ有り
$\circ$	2+3−4=1	2+(3−4)=1
$\times$	2−3−4=−5	2−(3−4)=3
$\times$	2×3−4=2	2×(3−4)=−2
$\times$	$2 \div 3 - 4 = \frac{2}{3} - 4 = - \frac{10}{3}$	$2 \div (3 - 4) = 2 \div (- 1) = - 2$

※以下に引用する高校入試問題で，元の問題は記述式の問題ですが，ｗｅｂ画面上で入力問題にすると操作性が悪いので，選択問題に書き換えています．

【問題１】　次の計算をしなさい．（画面上で解答するには，選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)

8 a b \div (- 4 b)

（岡山県2015年入試問題）

解説やり直す

4 a

- 2 a

- 2 a b

4 a b^{2}

8 a b \div (- 4 b) = \frac{\overset{- 2 a}{8 a} b}{- 4 b} = - 2 a

…（答）

※約分した後に，残っているものを明示する方法を，各自で決めておくとよいでしょう．

→閉じる←

(2)

15 x y \div \frac{5}{8} y

（岐阜県2015年入試問題）

解説やり直す

\frac{3}{8} x

\frac{3}{8} x y^{2}

24 x

24 x y^{2}

\frac{5}{8} y = \frac{5 y}{8}

を１つの数として，割り算をします．

15 x y \div \frac{5}{8} y = 15 x y \div \frac{5 y}{8} = \overset{3 x}{15 x y} \times \frac{8}{5 y} = 24 x

…（答）

→閉じる←

(3)

\frac{10}{3} a^{3} b^{2} \div \frac{5}{9} a^{2} b^{2}

（石川県2015年入試問題）

解説やり直す

6 a

\frac{2}{3} a

6 a b^{4}

\frac{2}{3} a^{5} b^{4}

横に掛けてあることは，分子に掛けてあることと全く同じです．

\frac{10}{3} a^{3} b^{2} = \frac{10 a^{3} b^{2}}{3}

\frac{5}{9} a^{2} b^{2} = \frac{5 a^{2} b^{2}}{9}

（原式）＝

\frac{10 a^{3} b^{2}}{3} \div \frac{5 a^{2} b^{2}}{9} = \frac{\overset{2 a}{10 a^{3} b^{2}}}{3} \times \frac{\overset{3}{9}}{5 a^{2} b^{2}} = 6 a

…（答）

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(4)

(- 4 a b)^{2} \div (- 8 a^{2} b)

を計算しなさい。

（新潟県2017年入試問題）

解説やり直す

2 b

- 2 b

\frac{2 b}{a}

- \frac{2 b}{a}

初めの項の２乗を先に計算しておきます．

(- 4 a b)^{2} = (- 4)^{2} a^{2} b^{2} = 16 a^{2} b^{2}

（原式）＝

16 a^{2} b^{2} \div (- 8 a^{2} b) = \frac{\overset{- 2 b}{16 a^{2} b^{2}}}{- 8 a^{2} b}

= - 2 b

…（答）

→閉じる←

※元の問題は記述式の問題ですが，ｗｅｂ画面上で入力問題にすると操作性が悪いので，選択問題に書き換えています．

【問題２】

(1)

2 x y \times 3 x^{2} \div \frac{12}{5} x y^{2}

を計算しなさい。

（富山県2017年入試問題）

解説やり直す

\frac{2 y}{5 x^{2}}

\frac{2 y^{2}}{5 x}

\frac{5 y^{2}}{2 x}

\frac{5 x^{2}}{2 y}

2 x y \times 3 x^{2} \div \frac{12}{5} x y^{2} = 2 x y \times 3 x^{2} \times \frac{5}{\underset{2}{12} x \underset{y}{y^{2}}}

= \frac{5 x^{2}}{2 y}

…（答）

→閉じる←

(2)

4 a b^{2} \times (- \frac{3 a}{2})^{2} \div 3 a^{2} b

を計算しなさい。

（大阪府Ｂ 2017年入試問題）

解説やり直す

a b

a b^{2}

3 a b

3 a b^{2}

初めに第２項の２乗を計算しておきます

4 a b^{2} \times (- \frac{3 a}{2})^{2} \div 3 a^{2} b = 4 a b^{2} \times \frac{9 a^{2}}{4} \div 3 a^{2} b

= 4 a \overset{b}{b^{2}} \times \frac{\overset{3}{9 a^{2}}}{4} \times \frac{1}{3 a^{2} b} = 3 a b

…（答）

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(3)

4 a b^{2} \times (- 3 a)^{2} \div 2 b^{2}

（青森県2017年入試問題）

解説やり直す

- 6 a^{2}

12 a^{2}

18 a^{3}

18 a^{3} b^{4}

初めに第２項の２乗を計算しておきます

4 a b^{2} \times (- 3 a)^{2} \div 2 b^{2} = 4 a b^{2} \times 9 a^{2} \div 2 b^{2}

= \overset{2 a}{4 a b^{2}} \times 9 a^{2} \times \frac{1}{2 b^{2}} = 18 a^{3}

…（答）

→閉じる←

(4)

(- \frac{1}{3} a b^{2})^{2} \times (- 2 a^{4} b) \div \frac{1}{6} (a^{2} b)^{3}

を計算をしなさい。

（大阪府Ｃ 2017年入試問題）

解説やり直す

\frac{4}{3} b^{2}

- \frac{4}{3} b^{2}

\frac{4}{3} a^{3} b^{2}

- \frac{4}{3} a^{3} b^{2}

初めに第１項と第３項の累乗を計算しておきます．

(- \frac{1}{3} a b^{2})^{2} \times (- 2 a^{4} b) \div \frac{1}{6} (a^{2} b)^{3}

= \frac{a^{2} b^{4}}{9} \times (- 2 a^{4} b) \div \frac{a^{6} b^{3}}{6}

= \frac{a^{2} \overset{b}{b^{4}}}{\underset{3}{9}} \times (- 2 a^{4} b)

\times \frac{\overset{2}{6}}{a^{6} b^{3}} = - \frac{4}{3} b^{2}

…（答）

→閉じる←

【問題３】

(1)

(- 2 x)^{2} \div 6 x y^{2} \times 3 y^{2}

を計算しなさい。

（山形県2017年入試問題）

解説やり直す

2 x

- x^{2}

2 x^{3} y^{4}

- x^{3} y^{4}

初めに第１項の２乗を計算しておきます．

(- 2 x)^{2} \div 6 x y^{2} \times 3 y^{2} = 4 x^{2} \div 6 x y^{2} \times 3 y^{2}

= \frac{\overset{2}{4} \overset{x}{x^{2}} \times 3 y^{2}}{6 x y^{2}} = 2 x

…（答）

→閉じる←

(2)

9 a^{2} \div 3 a b \times (- b)

を計算しなさい。

（埼玉県2017年入試問題）

解説やり直す

3 a

- 3 a

\frac{3 a}{b^{2}}

- \frac{3 a}{b^{2}}

3 a b

は割り算だから分母に持って行き，

(- b)

は掛け算として分子に持って行きます．

A \div B \times C

のとき，演算の

\div

は

B

までだけに効き，

C

には届きません．

A \div B \times C = \frac{A C}{B}

（原式）

= 9 a^{2} \div 3 a b \times (- b) = \frac{\overset{3 a}{9 a^{2}} \times (\overset{- 1}{- b})}{3 a b}

= - 3 a

…（答）

→閉じる←

(3)

(2 a b)^{2} \div 6 a^{2} b \times 3 a

（奈良県2017年入試問題）

解説やり直す

b

2 a b

\frac{2 b}{9 a}

\frac{b}{9 a^{2}}

初めに第1項の2乗を計算しておきます．

(2 a b)^{2} \div 6 a^{2} b \times 3 a = 4 a^{2} b^{2} \div 6 a^{2} b \times 3 a

= \frac{\overset{2}{4} a^{2} \overset{b}{b^{2}} \times 3 a}{6 a^{2} b} = 2 a b

…（答）

→閉じる←

(4)

8 a^{2} b \div (- 3 a) \times \frac{3}{4} a b

（福井県2017年入試問題）

解説やり直す

- \frac{32}{9}

- \frac{32}{9} a^{4}

- 2 a^{2} b^{2}

- 2 a^{4} b^{2}

第3項の

a b

を分子に入れて，分数にしておきます．

8 a^{2} b \div (- 3 a) \times \frac{3 a b}{4} = \frac{\overset{2}{8} a^{2} b \times 3 a b}{\underset{- 1}{(- 3 a)} \times 4}

= - 2 a^{2} b^{2}

…（答）

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