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== 文字式の表し方.入試問題 ==

〇中学校1年生の数学の教科書の初めの方に「文字と式」という単元があって,文字を使った式の表し方を習います.
 いくつかの教科書で確かめたところ,必ずしも次のように明確には述べられていないことですが,このページでは次のように用語の使い方を決めます.
演算結果
足し算(加法)
a+b

a+b
引き算(減法)
a−b

a−b
掛け算(乗法)
a×b

ab
割り算(除法)
a÷b

ab
【要点】
(1) 積abや商 ab「割り算の後にあるとき」に,元の掛け算 a×bや割り算 a÷bに戻してはいけない.
【例1】
3×4=12であるが
2÷3×4=23×4=83…(1.1)
2÷12=212=16…(1.2)
このように(1.1)と(1.2)は違う.
(1.1)のように書くと,初めに2÷3を行い,その結果に 4を掛けるという意味になります.(*)
つまり,34よりも先に 2との間で演算を行います.
次のようにかっこで囲むと,(1.1)の結果は(1.2)の結果と等しくなります.
2÷(3×4)=212=16…(1.1')
つまり,4として 3に逃げられないようにするには(人間関係を連想しそうな,何と通俗的な表現!),かっこで囲んでおけばよい.(**)
【例2】
a×b=abであるが
c÷a×b=ca×b=bca…(2.1)
c÷ab=cab…(2.2)
このように(2.1)と(2.2)は違う.
(2.1)のように書くと,初めにc÷aを行い,その結果に bを掛けるという意味になります.
つまり,abよりも先に cとの間で演算を行います.
次のようにかっこで囲むと,(2.1)の結果は(2.2)の結果と等しくなります.
c÷(a×b)=ca×b=cab…(2.1')
つまり,bとして aに逃げられないようにするには,かっこで囲んでおけばよい.
【例3】
x=a×bのとき
c÷x c÷a×b にはならない…(3.1)
c÷xc÷ab=cab になる…(3.2)
このように(3.1)と(3.2)は違う.
次のようにかっこで囲むと,(3.1)の結果は(3.2)の結果と等しくなる
c÷x=c÷(a×b)=cab …(3.1')
(*)(**)は同様
【例4】
3÷4=34 であるが
2÷3÷4=23÷4=212=16 …(4.1)
2÷34=2×43=83 …(4.2)
このように(4.1)と(4.2)は違う.
次のようにかっこで囲むと,(4.1)の結果は(4.2)の結果と等しくなる
2÷(3÷4)=2÷34=2×43=83 …(4.1')
(*)(**)は同様
【例5】
a÷b=ab であるが
c÷a÷b=ca÷b=cab …(5.1)
c÷ab=c×ba=bca …(4.2)
このように(5.1)と(5.2)は違う.
次のようにかっこで囲むと,(5.1)の結果は(5.2)の結果と等しくなる
c÷(a÷b)=c÷ab=c×ba=bca …(5.1')
(*)(**)は同様
【例6】
x=a÷bのとき
c÷x c÷a÷b にはならない…(6.1)
c÷x c÷ab=c×ba=bca になる…(6.2)
このように(6.1)と(6.2)は違う.
次のようにかっこで囲むと,(6.1)の結果は(6.2)の結果と等しくなる
c÷x=c÷(a÷b)=c÷ab=c×ba=bca …(6.1')
(*)(**)は同様
(2) 和a+bや差 abは,割り算だけでなく,掛け算,引き算の後にあるときでも,かっこを付けない限り意味が変わる.
【例7】
等しいかかっこ無しかっこ有り
2+3+4=92+(3+4)=9
×2−3+4=32−(3+4)=−5
×2×3+4=102×(3+4)=24
×2÷3+4=23+4=1432÷(3+4)=2÷7=27
【例8】
等しいかかっこ無しかっこ有り
2+3−4=12+(3−4)=1
×2−3−4=−52−(3−4)=3
×2×3−4=22×(3−4)=−2
×2÷34=234=1032÷(34)=2÷(1)=2

※以下に引用する高校入試問題で,元の問題は記述式の問題ですが,web画面上で入力問題にすると操作性が悪いので,選択問題に書き換えています.
【問題1】 次の計算をしなさい.(画面上で解答するには,選択肢の中から正しいものを1つクリック)
(1)
8ab÷(4b)
(岡山県2015年入試問題)

(2)
15xy÷58y
(岐阜県2015年入試問題)

(3)
103a3b2÷59a2b2
(石川県2015年入試問題)

(4)
(4ab)2÷(8a2b)を計算しなさい。
(新潟県2017年入試問題)

※元の問題は記述式の問題ですが,web画面上で入力問題にすると操作性が悪いので,選択問題に書き換えています.
【問題2】
(1)
2xy×3x2÷125xy2を計算しなさい。
(富山県2017年入試問題)

(2)
4ab2×(3a2)2÷3a2bを計算しなさい。
(大阪府B 2017年入試問題)

(3)
4ab2×(3a)2÷2b2
(青森県2017年入試問題)

(4)
(13ab2)2×(2a4b)÷16(a2b)3を計算をしなさい。
(大阪府C 2017年入試問題)

【問題3】
(1)
(2x)2÷6xy2×3y2を計算しなさい。
(山形県2017年入試問題)

(2)
9a2÷3ab×(b)を計算しなさい。
(埼玉県2017年入試問題)

(3)
(2ab)2÷6a2b×3a
(奈良県2017年入試問題)

(4)
8a2b÷(3a)×34ab
(福井県2017年入試問題)
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