連立方程式，問題，解き方

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連立方程式（代入法のやさしい問題）

【例題１】　次の連立方程式を解いてください．

$y=2x+ 1$ …(1)
$y=3x-4$ …(2)

　２つの文字 $x,\hspace{3}y$ が含まれている連立方程式を解くには，加減法や代入法を使って，どちらか一方の文字を消去し，１つの文字だけの方程式に直して解くようにします．
　この問題のように $y=$ の形の式があると，代入によって $y$ を消去することができます．

【解き方の流れ】

$x$ が求まった後，その値を(2)に代入してもよい．

（答案）
(1)の右辺を(2)の左辺に代入する

$2x+ 1=3x-4$
$-x=-5$
$x=5$

これを(1)に代入すると

$y=10+ 1=11$

$x=5,\hspace{5}y=11$ …（答）

※なぜ代入して消せるのか？「納得の仕方」は人によって違うかもしれませんが，必ず納得して使うようにしましょう．

【考え方1】
$y=2x+ 1$ …(1)
により $y$ が $2x+ 1$ に等しいのだから
$y=3x-4$ …(2)
の $y$ の代わりに $2x+ 1$ を入れてもよいはずだ．
$2x+ 1=3x-4$

【考え方2】
$y=3x-4$ …(2)
により $y$ が $3x-4$ に等しいのだから
$y=2x+ 1$ …(1)
の $y$ の代わりに $3x-4$ を入れてもよいはずだ．
$3x-4=2x+ 1$

【考え方3】
(1)(2)から
$2x+ 1=3x-4=(y)$
だから，仲人なこうどの $y$ がいなくても
$2x+ 1=3x-4$
が手をつないでやっていける．

【考え方4】
　 $y$ が $2x+ 1$ に等しいはずがない．見たらわかるように $y$ と $2x+ 1$ とでは字の書き方が違う．
　そもそも数学の方程式で，これら２つが「等しい」とは $y$ が表している値と $2x+ 1$ が表している値が等しいということだから，11の代わりに2×5+1と書いてもよいということ．また，11の代わりに3×5−4と書いてよいということ．これらは等しい．

【考え方5】 ←≪管理人の本音はこれ：単純そのもの≫
ごちゃごたや考えるのは，面倒だ！
等しいものは，等しいものに，等しい．
目をつぶってエイヤー
引っ越しは，引っ越しの，引っ越しだ！

【問題１】　次の連立方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

※暗算では無理です．必ず計算用紙で計算してから答を選んでください．

(1)

$y=3x-1$ …(1)
$y=4x-3$ …(2)

解説やり直す

$x=1,\hspace{3}y=3$ $x=-1,\hspace{3}y=4$

$x=1,\hspace{3}y=2$ $x=2,\hspace{3}y=5$

(1)式の右辺を(2)式の左辺に代入すると

$3x-1=4x-3$
$3x-4x=-3+ 1$
$-x=-2$
$x=2$

これを(1)に代入すると

$y=3\times 2-1=5$

$x=2,\hspace{5}y=5$ …（答）

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(2)

$y=7-5x$ …(1)
$y=13-3x$ …(2)

解説やり直す

$x=12,\hspace{3}y=-3$ $x=-3,\hspace{3}y=22$

$x=13,\hspace{3}y=2$ $x=-4,\hspace{3}y=23$

(1)式の右辺を(2)式の左辺に代入すると

$7-5x=13-3x$
$-5x+ 3x=13-7$
$-2x=6$
$x=-3$

これを(1)に代入すると

$y=7-5\times (-3)=22$

$x=-3,\hspace{5}y=22$ …（答）

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(3)

$x=4y+ 8$ …(1)
$x=3y+ 7$ …(2)

解説やり直す

$x=4,\hspace{3}y=-1$ $x=5,\hspace{3}y=-3$

$x=-1,\hspace{3}y=4$ $x=-3,\hspace{3}y=5$

$y$ を消去しなければならないと決まっているわけではない．
$x$ が消しやすければ $x$ を消すとよい．

(1)式の右辺を(2)式の左辺に代入すると

$4y+ 8=3y+ 7$
$4y-3y=7-8$
$y=-1$

これを(1)に代入すると

$x=4\times (-1)+ 8=4$

$x=4,\hspace{5}y=-1$ …（答）

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【例題２】　次の連立方程式を解いてください．

$y=-2x+ 1$ …(1)
$3x+ 2y=-3$ …(2)

　この問題のように，一方が $y=$ の形になっているときは（数学用語で「 $y$ について解けている」ときは）， $y=$ の方を他方に代入すると簡単です．

（答案）
(1)式を(2)式に代入すると

$3x+ 2(-2x+ 1)=-3$
$3x-4x+ 2=-3$ $-x=-5$
$x=5$

これを(1)に代入すると

$y=-2\times 5+ 1=-9$

$x=5,\hspace{5}y=-9$ …（答）

【問題２】　次の連立方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)

$y=-3x-5$ …(1)
$5x+ 4y=8$ …(2)

解説やり直す

$x=4,\hspace{3}y=-7$ $x=-4,\hspace{3}y=7$

$x=7,\hspace{3}y=-4$ $x=-7,\hspace{3}y=4$

(1)式を(2)式に代入すると

$5x+ 4(-3x-5)=8$
$5x-12x-20=8$
$-7x=28$
$x=-4$

これを(1)に代入すると

$y=-3\times (-4)-5=7$

$x=-4,\hspace{5}y=7$ …（答）

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(2)

$5x-2y=1$ …(1)
$x=3y-5$ …(2)

解説やり直す

$x=2,\hspace{3}y=-1$ $x=-2,\hspace{3}y=1$

$x=1,\hspace{3}y=2$ $x=-1,\hspace{3}y=-2$

(2)式に目を付けると，この問題では $x$ を消去するのが楽

(2)式を(1)式に代入すると

$5(3y-5)-2y=1$
$15y-25-2y=1$
$13y=26$
$y=2$

これを(2)に代入すると

$x=3\times 2-5=1$

$x=1,\hspace{5}y=2$ …（答）

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(3)

$3x+ 1=y$ …(1)
$9=x-5y$ …(2)

解説やり直す

$x=-1,\hspace{3}y=-2$ $x=-2,\hspace{3}y=-1$

$x=1,\hspace{3}y=2$ $x=2,\hspace{3}y=1$

右辺にあるか，左辺にあるかは重要なことではない．
(1)式のように，解けている式があれば「しめた！」と考えること

(1)式の左辺を(2)式に代入すると

$9=x-5(3x+ 1)$
$9=x-15x-5$
$0=-14x-14$
$14x=-14$
$x=-1$

これを(1)に代入すると

$3\times (-1)+ 1=-2=y$

$x=-1,\hspace{5}y=-2$ …（答）

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　連立方程式の解き方として，「加減法で解かなければならない」「代入法で解かなければならない」ということは決まっていません．

≪超例外≫　教科書で「加減法の解き方」を習っているときに「加減法で解きなさい」と書いてある場合や「代入法の解き方」を習っているときに「代入法で解きなさい」と書いてある場合は，問題の指示に従うしかない．

　次のように， $y=$ とか $x=$ とかの式が1つもない場合でも， $y=$ の形に直せば，いつでも代入法が使えます．

【例題３】　次の連立方程式を解いてください．

$2x+ 3y=5$ …(1)
$4x-5y=-1$ …(2)

（答案）
(1)→

$3y=5-2x$
$y=\frac{5-2x}{3}$ …(1’)

これを(2)に代入すると

$4x-5(\frac{5-2x}{3})=-1$
$12x-5(5-2x)=-3$
$12x-25+ 10x=-3$
$22x=22$
$x=1$

(1’)の代入すると

$y=\frac{5-2}{3}=1$

$x=1,\hspace{5}y=1$ …（答）

【例題３】のように，連立方程式は「加減法でも」「代入法でも」解こうと思えば，どちらでも解けます．
　しかし，【例題３】の途中計算を見ると，分数計算が登場します．分数計算になると間違いが増えます．このようにして，「加減法か」「代入法か」判断するときに，次のように考えるとよいでしょう．

$x,\hspace{5}y$ の係数がどれも±1でないとき

⇒ 代入法で解くと分数計算になるので，加減法の方が楽

$x,\hspace{5}y$ の係数が１つでも±1であるとき

⇒ 代入法も使える．
ただし，次の【例題４】のように加減法でも簡単にできます．

【例題４】　次の連立方程式を解いてください．

$3x+ y=7$ …(1)
$2x+ 5y=-4$ …(2)

（代入法の答案）
(1)→

$y=7-3x$ …(1’)

(1’)を(2)に代入すると

$2x+ 5(7-3x)=-4$
$2x+ 35-15x=-4$
$-13x=-39$
$x=3$

これを(1’)に代入すると

$y=7-3\times 3=-2$

$x=3,\hspace{5}y=-2$ …（答）

（加減法の答案）
(1)×5−(2)

$15x+ 5y=35$
$-)\hspace{10}2x+ 5y=-4$

$13x\hspace{40}=39$
$x=3$

これを(1)に代入すると

$9+ y=7$ $y=-2$

$x=3,\hspace{5}y=-2$ …（答）

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