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★：基本，★★：普通，★★★：やや難しい

【問題1】★
　右の図は，yがxに反比例する関数のグラフである。yをxの式で表しなさい。

反比例の式は，${\displaystyle y=\frac{a}{x}}$の形に書ける．（aは定数）
グラフが，点(3, 6)を通るから
${\displaystyle 6=\frac{a}{3}}$
a=18になるから
${\displaystyle y=\frac{18}{x}}$･･･（答）
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【問題2】★
　右の図のような，点(−5, 2)を通る反比例のグラフがあります。このグラフ上の，x座標が3である点のy座標を求めなさい。

反比例の式は，${\displaystyle y=\frac{a}{x}}$の形に書ける．（aは定数）
グラフが，点(−5, 2)を通るから
${\displaystyle 2=\frac{a}{-5}}$
a=−10になる
このグラフでx=3のとき
${\displaystyle y=-\frac{10}{3}}$･･･（答）
→解説を隠す←

【問題3】★
　右の図の双曲線は，ある反比例のグラフである。この反比例について，yをxの式で表しなさい。

反比例の式は，${\displaystyle y=\frac{a}{x}}$の形に書ける．（aは定数）
グラフが，点(−2, 2)を通るから･･･点(2, −2)でもよい
${\displaystyle y=\frac{a}{x}}$
a=−4になるから
${\displaystyle y=-\frac{4}{x}}$･･･（答）
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【問題4】★★
　右の図は，反比例の関係${\displaystyle y=\frac{a}{x}}$のグラフです。ただし，aは正の定数とし，点Oは原点とします。①～③に答えなさい。
①　yがxに反比例するものは，ア～エのうちではどれですか。当てはまるものをすべて答えなさい。
ア　面積が20cm2の平行四辺形の底辺xcmと高さycm
イ　1辺がxcmの正六角形の周の長さycm
ウ　1000mの道のりを毎分xmの速さで進むときにかかる時間y分
エ　半径xcm，中心角120°のおうぎ形の面積ycm2
②　グラフが点(4, 3)を通るとき，(1)，(2)に答えなさい。
(1)　aの値を求めなさい。
(2)　xの変域が3≦x≦8のとき，yの変域を求めなさい。
③　aは6以下の正の整数とします。グラフ上の点のうち，x座標とy座標がともに整数である点が4個となるようなaの値を，すべて求めなさい。

①
以上から，反比例になるのは，アとウ･･･（答）
②
③
右図で
赤は${\displaystyle y=\frac{1}{x}}$
青は${\displaystyle y=\frac{2}{x}}$
緑は${\displaystyle y=\frac{3}{x}}$
シアンは${\displaystyle y=\frac{4}{x}}$
マゼンタは${\displaystyle y=\frac{5}{x}}$
オレンジは${\displaystyle y=\frac{6}{x}}$
x座標とy座標がともに整数である点が4個となるのは，a=2, 3, 5のとき･･･（答） →解説を隠す←

【問題5】★
　右の図のにおいて，直線は一次関数y=ax+bのグラフで，曲線は関数${\displaystyle y=\frac{c}{x}}$のグラフです。
　座標軸とグラフが，右の図のように交わっているとき，a, b, cの正負の組み合わせとして正しいものを，次のア～クの中から一つ選び，その記号を書きなさい。

直線は，右下がりだからa<0
　　切片のy座標は正だから，b>0
曲線は，x<0,y>0の部分とx>0,y<0の部分にあるから，c<0→カ･･･（答）
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【問題6】★★
　右の図において，曲線は関数${\displaystyle y=\frac{6}{x}}$のグラフで，曲線上の2点A, Bのx座標はそれぞれ−6, 2です。
　2点A, Bを通る直線の式を求めなさい。

${\displaystyle y=\frac{6}{x}}$にx=−6を代入すると，y=−1 ⇒ A(−6, −1)
${\displaystyle y=\frac{6}{x}}$にx=2を代入すると，y=3 ⇒ B(2, 3)
A, Bを通る直線の式をy=ax+bとおくと
A(−6, −1)を通るから
　−1=−6a+b
B(2, 3)を通るから
　3=2a+b
この連立方程式を解くと
　${\displaystyle a=\frac{1}{2},b=2}$
A, Bを通る直線の式は
　${\displaystyle y=\frac{1}{2}x+2}$…（答）
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【問題7】★★★
　右の図のように，y軸上に点A(0, 5)があり，関数${\displaystyle y=\frac{a}{x}}$のグラフ上に，y座標が5より大きい範囲で動く点Bとy座標が2である点Cがあります。直線ABとx軸との交点をDとします。また，点Cからx軸に垂線を引き，x軸との交点をEとします。ただし，a>0とします。
　次の(1)・(2)に答えなさい。
(1)　a=8のとき，点Cのx座標を求めなさい。
(2)　DA=AB, DE=9となるとき，aの値を求めなさい。

(1)
a=8のとき，${\displaystyle 2=\frac{8}{x}}$より
　x=4･･･（答）
(2)
Bのx座標をtとおくと，
　DA=ABのとき，Bのy座標は10となるから
${\displaystyle \frac{a}{t}=10}$
　a=10t･･･①
また，OD=tとなるから，Cのx座標は9−t
${\displaystyle \frac{a}{9-t}=2}$
　a=2(9−t)･･･②
①②の連立方程式を解くと
${\displaystyle t=\frac{3}{2}}$
　a=15･･･（答）
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【問題8】★★★
　右の図において，①は原点Oを通る直線，②は関数${\displaystyle y=\frac{6}{x}}$のグラフである。①と②は2つの交点をもつものとし，そのうちのx座標が正である点をAとする。AO=ABとなる点Bをx軸上にとり，三角形AOBを作る。このとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
(1)　点Aのx座標が2のとき，点Aの点y座標を求めよ。
(2)　三角形AOBが直角二等辺三角形となるときの直線①の式を求めよ。
(3)　三角形AOBの面積は，点Aが②のグラフ上のどの位置にあっても，常に同じ値であることが言える。
　点Aのx座標をmとすると，mがどんな値であっても，三角形AOBの面積は一定であることを，言葉と式を使って説明せよ。

(1)
${\displaystyle y=\frac{6}{x}}$にx=2を代入すると，y=3･･･（答）
(2)
直線①の傾きが1になるから，y=x･･･（答）
(3)
${\displaystyle A(m,\frac{6}{m})}$とおくと，B(2m, 0)となるから，△OABの面積は
${\displaystyle 2m\times \frac{6}{m}÷2=6}$となるから，mがどんな値であっても，面積は一定である →解説を隠す←

【問題9】★★★
　図のように，関数${\displaystyle y=\frac{a}{x}}$…①のグラフ上に2点A, Bがあり，点Aの座標は(−2, 6)，点Bのx座標は4である。また，点C(4, 9)をとり，直線BCとx軸との交点をDとする。
　直線AB, ACをひくとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
(1)　aの値を求めなさい。
(2)　△ABCの辺AC上にある点のうち，x座標，y座標がともに整数である点は，頂点A, Cも含めて，全部で何個あるか求めなさい。
(3)　点Dを通り，△ABCの面積を２等分する直線の式を求めなさい。

(1)
${\displaystyle 6=\frac{a}{-2}}$を変形すると，a=−12…（答）
(2)
2点A(−2, 6), C(4, 9)を通る直線の式をy=ax+bとおくと
点A(−2, 6)を通るから
　6=−2a+b…(#1)
点C(4, 9)を通るから
　9=4a+b…(#2)
連立方程式(#1)(#2)を解くと
${\displaystyle a=\frac{1}{2},b=7}$
直線ACの式は
${\displaystyle y=\frac{1}{2}x+7}$
頂点A, Cも含めて，辺AC上にある点は，−2≦x≦4の範囲だから，x座標，y座標がともに整数となるのは
　x=−2, 0, 2, 4の4個･･･（答）
(3)
　求める直線が直線ACと交わる点をEとおく
　△ABCの面積は，12×6÷2=36 だから，△EDCの面積が18になるようにする
　CD=9だから，EからCDに引いた垂線の長さ（△EDCの高さ）が4になればよい
　Eのx座標は0
${\displaystyle y=\frac{1}{2}x+7}$にx=0を代入すると，y=7
　Eの座標は(0, 7)
2点D(4, 0), E(0, 7)を直線の式を求めると，傾きが${\displaystyle -\frac{7}{4}}$で切片が7だから
${\displaystyle y=-\frac{7}{4}x+7}$…（答）
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【問題10】★★★
　右の図で，曲線は関数${\displaystyle y=\frac{6}{x}}$のグラフである。2点A, Bの座標はそれぞれ(−6, −1), (−3, −5)である。点Cは曲線上を動く点であり，点Dはx軸上を動く点である。2点C, Dのx座標はどちらも正の数である。原点をOとして，各問いに答えよ。
(1)　点Cのx座標が1であるとき，点Cのy座標を求めよ。
(2)　2点C, DがOC=CDを保ちながら動くとき，点Cのx座標が大きくなるにつれて，△OCDの面積はどのようになるか。次のア～オのうち，正しいものを1つ選び，その記号を書け。
(3)　△OABの面積と△OBDの面積が等しくなるように点Dをとるとき，点Dのx座標を求めよ。
(4)　四角形ABDCが平行四辺形になるように2点C, Dをとるとき，2点B, Dを通る直線の式を求めよ。

(1)
${\displaystyle y=\frac{6}{x}}$にx=1を代入すると，y=6…（答）
(2)
　OC=CDのとき，Dのx座標はCのx座標の2倍になるから，${\displaystyle C(x,\frac{6}{x}),D(2x,0)}$とおける．このとき，
　${\displaystyle \mathrm{\Delta }\mathrm{O}\mathrm{C}\mathrm{D}=2\mathrm{x}\times \frac{6}{\mathrm{x}}÷2=6}$
となるから，「面積は一定である」→オ･･･（答）
(3)
D(x, 0)とおくと，△OBDの面積は，x×5÷2
四角形OEABの面積は，(1+5)×3÷2 +5×3÷2=33÷2
三角形OEAの面積は，1×6÷2=3
したがって，三角形OABの面積は，33÷2−3=27÷2
${\displaystyle \frac{5}{2}x=\frac{27}{2}}$
${\displaystyle x=\frac{27}{5}}$･･･（答）
(4)
${\displaystyle x=\frac{27}{5}}$
とおくと
ADの中点の座標は，${\displaystyle (\frac{-6+d}{2},\frac{-1}{2})}$
BCの中点の座標は，${\displaystyle (\frac{-3+c}{2},\frac{\frac{6}{c}-5}{2})}$
これらが一致するから
${\displaystyle -6+d=-3+c}$
${\displaystyle -1=\frac{6}{c}-5}$
この連立方程式を解くと
${\displaystyle c=\frac{3}{2},d=\frac{9}{2}}$
したがって
${\displaystyle \mathrm{B}(-3,-5),\mathrm{D}(\frac{9}{2},0)}$
直線BDの式をy=ax+bとおくと
${\displaystyle -3a+b=-5}$
${\displaystyle \frac{9}{2}a+b=0}$
この連立方程式を解くと
${\displaystyle a=\frac{2}{3},b=-3}$
結局，直線BDの式は
${\displaystyle y=\frac{2}{3}x-3}$…（答）
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