根号と整数（入試問題）

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【根号と整数】（入試問題）

難易度の目安　★：基本，★★：普通，★★★：やや難

【問題1-1】★
　 $2\lt\sqrt{a}\lt 3$ を満たす自然数aを，小さい順にすべて書きなさい。

（2019年群馬県公立高校入試問題）

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$2\lt\sqrt{a}\lt 3$ の辺々を2乗すると
$4\lt a\lt 9$
　a=5, 6, 7, 8…（答）
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【問題1-2】★
　 $2.4\lt\sqrt{a}\lt 3$ となる自然数aを，すべて求めなさい。

（2019年徳島県公立高校入試問題）

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$2.4\lt\sqrt{a}\lt 3$ の辺々を2乗すると
$2.4^2\lt a\lt 3^2$
$5.76\lt a\lt 9$
　a=6, 7, 8…（答）
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【問題1-3】★

　 $\frac{9}{2}\lt\sqrt{n}\lt 5$ となるような自然数nの個数を求めよ。

（2019年高知県公立高校入試問題）

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$\frac{9}{2}\lt\sqrt{n}\lt 5$ の辺々を2乗すると
$\frac{81}{4}\lt n\lt 25$
$20.25\lt n\lt 25$
　a=21, 22, 23, 24…4個（答）
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【問題1-4】★★★

　n, Nを自然数とする。 $N\underset{=}{\lt}\sqrt{n}\lt N+ 1$ を満たすnが31個あるとき，Nの値を求めなさい。

（2019年秋田県公立高校入試問題）

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$N\underset{=}{\lt}\sqrt{n}\lt N+ 1$ の辺々を2乗すると
$N^2\underset{=}{\lt} n\lt N^2+ 2N+ 1$
この間に入る整数の個数は（右端を含めず左端を含めるから，単純な引き算になる）
$N^2+ 2N+ 1-N^2=2N+ 1=31$
　N=15…（答）
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【問題2-1】★

　 $\sqrt{60n}$ の値が整数となるような自然数nのうち，最も小さいものを求めなさい。

（2018年和歌山県公立高校入試問題）

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60n=22×3×5nが整数の2乗となるためには
n=3×5×k2の形に書けなければならない（kは自然数）
そのうち，最小となるのは，k=1のとき
　n=3×5=15…（答）
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【問題2-2】★

　 $\sqrt{56n}$ が自然数となるような，最も小さい自然数nを求めなさい。

（2022年新潟県公立高校入試問題）

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56n=23×7nが整数の2乗となるためには
n=2×7×k2の形に書けなければならない（kは自然数）
そのうち，最小となるのは，k=1のとき
　n=2×7=14…（答）
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【問題2-3】★

　nを50以下の正の整数とするとき， $\sqrt{5n}$ の値が整数となるようなnの値をすべて求めよ。

（2018年鹿児島県公立高校入試問題）

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5nが整数の2乗となるためには
(1≦)n=5×k2(≦50)の形に書けなければならない（kは自然数）
1≦k2≦10により，k=1, 2, 3
このとき，n=5, 20, 45…（答）
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【問題3-1】★★

　 $\sqrt{\frac{20}{n}}$ の値が自然数となるような自然数nを，すべて求めなさい。

（2022年和歌山県公立高校入試問題）

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まず， $\frac{20}{n}$ が約分できなければならないから，nは20の約数
　n=1, 2, 4, 5, 10, 20

このうちで， $\frac{20}{n}$ が平方数となるのは
　n=5, 20…（答）
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【問題3-2】★★

　 $\sqrt{\frac{540}{n}}$ の値が整数となるような自然数nは，全部で何通りあるか求めなさい。

（2022年埼玉県公立高校入試問題）

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まず， $\frac{540}{n}$ が約分できなければならないから，nは540=22×33×5の約数

そのうちで， $\frac{540}{n}$ が平方数となるのは
　nが3, 33, 5の倍数で，それらの4倍もよい
n=15, 135, 60, 540…4通り（答）
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【問題4-1】★★

　 $\sqrt{10-n}$ が正の整数となるような正の整数nの値をすべて求めなさい。

（2022年栃木県公立高校入試問題）

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10−n≧1
(1≦)n≦9
このようなnのうちで， $\sqrt{10-n}$ が正の整数となるのは
ア） $10-n=1^2$ のとき，n=9
イ） $10-n=2^2$ のとき，n=6
ウ） $10-n=3^2$ のとき，n=1
　n=1, 6, 9…（答）
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【問題4-2】★★

　 $\sqrt{53-2n}$ が整数となるような正の整数nの個数を求めなさい。

（2018年神奈川県公立高校入試問題）

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53−2n=k2
2n=53−k2となるには，kは奇数でなければならない
k=1, 3, 5, 7のとき，n=26, 22, 14, 2
　4個…（答）
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【問題4-3】★★

　 $\sqrt{306-3n}$ が自然数となるような整数nのうち，最も大きい値を求めなさい。

（2018年秋田県公立高校入試問題）

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$\sqrt{306-3n}=\sqrt{3(102-n)}$ が正の整数となるには
102−n=3×k2の形に書けなければならない（kは自然数）
ここで，kが小さいほどnは大きくなる
k=1のとき，n=102−3=99…（答）
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【問題4-4】★★

　nを２けたの自然数とするとき， $\sqrt{300-3n}$ の値が偶数となるnの値をすべて求めなさい。

（2021年大阪府公立高校入試問題）

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$\sqrt{300-3n}=\sqrt{3(100-n)}$
100−n=3×(2m)2=12m2（mは整数）
nは２けたの自然数（10≦n≦99）だから，1≦100−n≦90
1≦12m2≦90より1≦m≦2
m=1のとき，n=88
m=2のとき，n=52
　n=52, 88…（答）
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