反比例・２次関数のグラフ（高校入試問題1）

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== 反比例・２次関数のグラフ（高校入試問題1） == このページの教材のレベルは

♪♥♫♦∀高校入試の基本～標準∳♣♬∅♠

反比例のグラフ

基本：★

【問題1】
　右の図のような，点(−5, 2)を通る反比例のグラフがあります。このグラフ上のx座標が3である点のy座標を求めなさい。

(2022年度宮城県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

• 反比例を表す関数 $y=\frac{a}{x}$ の定数aは「反比例の比例定数」と呼ばれる．これは， $a\times\frac{1}{x}$ と見ると $\frac{1}{x}$ に比例していると言えるから

• 「はじきの法則」「みはじの法則」「しみたの法則」などと覚えることが好きな人もいるようですが，右図でa, x, yのうち２つが決まれば，残り１つは決まります．
$a=xy,\hspace{10}y=\frac{a}{x},\hspace{10}x=\frac{a}{y}$

　点x=−5, y=2を通るから，反比例の比例定数は
　　a=(−5)×2=−10
これを使うと，x=3のとき
$y=-\frac{10}{3}$ ･･･(答)
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反比例のグラフと直線

基本：★

【問題2】
　右の図において，直線は一次関数y=ax+bのグラフで，曲線は関数 $y=\frac{c}{x}$ のグラフです。
　座標軸とグラフが，右の図形のように交わっているとき，a, b, cの正負の組み合わせとして正しいものを，次のア～クの中から一つ選び，その記号を書きなさい。
ア　a>0, b>0, c>0　　イ　a>0, b>0, c<0
ウ　a>0, b<0, c>0　　エ　a>0, b<0, c<0
オ　a<0, b>0, c>0　　カ　a<0, b>0, c<0
キ　a<0, b<0, c>0　　ク　a<0, b<0, c<0

(2022年度埼玉県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

この問題は，次の基本が理解できていれば，即答可能だと思われる．

　a<0, b>0, c<0→カ →解説を隠す←

基本：★

【問題3】
　右の図で，曲線は関数 $y=\frac{a}{x}\hspace{3}(a\gt 0)$ のグラフであり，点Oは原点である。２点A, Bは曲線上の点であり，その座標はそれぞれ
(2, 3), (−2, − 3)である。また，点Pは曲線上を動く点で，そのx座標は正の数である。各問いに答えよ。
(1)　aの値を求めよ。
(2)　点Pのx座標とy座標の関係を正しく述べたものを，次のア～エから１つ選び，その記号を書け。
ア　x座標とy座標の和は一定である。
イ　x座標からy座標をひいた差は一定である。
ウ　x座標とy座標の積は一定である。
エ　x座標をy座標でわった商は一定である。
(3)　点Pの座標が(6, 1)のとき，①，②の問いに答えよ。
①　x座標，y座標がともに整数となる点のうち，△OAPの内部と周上にある点の個数を求めよ。
②　線分BPとx軸との交点をCとし，線分AB上に点Dをとる。△BCDの面積と四角形ADCPの面積が等しくなるとき，点Dの座標を求めよ。

(2019年度奈良県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

(1),(2)は教科書レベルの基本です

(1)
x=2, y=3を代入する（x=−2, y=−3を代入してもよい）
$3=\frac{a}{2}$
　a=6

(2)
xy=6(一定)だから，→ウ

(3)の①は，グラフを描いて，しっかり数えたらできるはずです

(3)①
右図の赤丸を数えると，11個

(3)の②は，相似図形の性質との複合問題と考えるとよいでしょう

　右図において，OA:OP=a:p, OB:OQ=b:qのとき
面積の比率は
　△OAB:△OPB=a:p
　△OPB:△OPQ=b:q
$\rm{\Delta{OPB}}=\frac{p}{a}\rm{\Delta{OAB}}$
$\rm{\Delta{OPQ}}=\frac{q}{b}\rm{\Delta{OPB}}$
$\rm{\Delta{OPQ}}=\frac{p}{a}\times\frac{q}{b}\rm{\Delta{OAB}}$
※各々，高さが共通で底辺の比がa:p, b:qであるから，面積比がa:p, b:qになると言える．

(3)②
$\rm{\Delta{BCD}}=\frac{1}{2}\rm{\Delta{BPA}}$
となればよい．
$\rm{CB}=\frac{3}{4}\rm{PB}$
だから
$\rm{\Delta{BCD}}=\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}\rm{\Delta{BPA}}$
すなわち，BD:DA=2:1となればよい．

難しいだろ！

※高校では，内分点の公式というのがあって，2点A(2, 3), B(−2, −3)を結ぶ線分ABを1:2に内分する点の座標は，公式一発で求まるが，中学ではその公式が使えないので，習ったことだけで計算する必要がある

このとき，OD:DA=1:3
O, D, Aは， $y=\frac{3}{2}x$ の直線上にあって，Aはx=2, y=3だから
$2\times\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
$3\times\frac{1}{3}=1$
により， $\rm{D}(\frac{2}{3},\hspace{2}1)$
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基本：★★

【問題4】
　図1において，双曲線①は関数 $y=-\frac{12}{x}$ のグラフである。
　次の(1)～(3)に答えなさい。
(1)　関数 $y=-\frac{12}{x}$ について，xの値を4倍にすると，yの値は何倍になるか。答えなさい。

(2)　図2のように，双曲線①上の点Aとy軸上の点Bを通る直線②があり，２点A, Bのy座標はそれぞれ2, −3である。
　直線②の式を求めなさい。

(3)　図3のように，２点C, Eは双曲線①上にあり，点Cの座標は(−4, 3)である。点Fの座標は(2, 3)で，四角形CDEFが，長方形となるように点Dをとる。
　また，直線③は関数 $y=\frac{1}{2}x-2$ のグラフであり，直線③と，２つの線分CD, EFの交点をそれぞれP, Qとする。
　四角形CPQFの面積は，四角形EQPDの面積の何倍か。求めなさい。

(2019年度山口県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(1)
$y_1=-\frac{12}{x}$
$y_2=-\frac{12}{4x}$
とおくと
$y_2=\frac{1}{4}y_1$ ，したがって， $\frac{1}{4}$ (倍)
(2)
点Aの座標は(−6, 2)，点Bの座標は(0, −3)であるから，直線②の傾きは $-\frac{5}{6}$ で，切片は−3
したがって，直線②の式は
$y=-\frac{5}{6}x-3$
(3)

$y=\frac{1}{2}x-2$ にx=−4, x=2を代入すると，P, Qのy座標が求まる．これにより，CP, PD, FQ, QEの長さが分かり，台形の面積を計算すればよい

C(−4, 3), P(−4, −4), D(−4, −6)だから
　CP=7, PD=2
F(2, 3), Q(2, −1), E(2, −6)だから
　FQ=4, QE=5
⏢CPQF= $\frac{(7+ 4)\times 6}{2}=33$
⏢EQPD= $\frac{(2+ 5)\times 6}{2}=21$
⏢CPQF÷⏢EQPD= $\frac{33}{21}=\frac{11}{7}$ (倍)
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2次関数のグラフ

基本：★

$y=\frac{1}{2}x^2$ $y=-x^2$

【問題5】
　右の図のように，関数 $y=\frac{1}{2}x^2$ のグラフ上に，x座標が2である点Aをとります。また，関数 $y=-x^2$ のグラフ上に，点Aとx座標が等しい点Bと，点Bとy座標が等しくx座標が異なる点Cをとります。
　次の(1)，(2)に答えなさい。
(1)　点Cの座標を求めなさい。
(2)　2点A, Cを通る直線の式を求めなさい。　

(2022年度宮城県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(1)
A(2, 2)だから，B(2, −4)
さらに，C(−2, −4)…（答）
(2)
求める直線の式を，y=ax+bとおくと
この直線が点A(2, 2)を通るから
　2=2a+b…①
この直線が点C(−2, −4)を通るから
　−4=−2a+b…②
①②を連立方程式として解くと
$a=\frac{3}{2},\hspace{2}b=-1$
直線の式は
$y=\frac{3}{2}x-1$ …（答）
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基本：★

【問題6】
　右の図のア～エは４つの関数 $y=x^2,\hspace{3}y=-x^2,\hspace{3}y=-\frac{1}{2}x^2$
$y=-2x^2$ のいずれかのグラフを表したものである。アのグラフ上に3点A, B, Cがあり，それぞれのx座標は−1, 2, 3である。
　このとき，次の問いに答えなさい。
(1)　関数 $y=-\frac{1}{2}x^2$ のグラフを右の図のア～エから１つ選び，記号で答えなさい。
(2)　直線ACの式を求めなさい。
(3)　△ABCの面積を求めなさい。

(2022年度富山県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(1)→エ（これは明らか）
(2)
A(−1, 1), C(3, 9)を通る直線の式をy=ax+bとおくと
　1=−a+b…①
　9=3a+b…②
①②を連立方程式として解くと
　a=2, b=3
したがって，求める直線の式は
　y=2x+3
(3)

•頂点の座標が与えられているときの三角形の面積の求め方は，高校では三角関数を使った公式，点と直線の距離を使った公式，大学では行列式を使った公式などがあるが，中学校では，「算数的に求めるとよい」．
•右図のように求める三角形がちょうど入る長方形から，水色，緑色，桃色で示した直角三角形を取り除くとよい．
•この問題のように直線ACの式を求めているときは，右図の白色で示したような２つの三角形に分けて，茶色の縦線を底辺として計算してもよい．

右図Ⅱの形になっていて，y=2x+3にx=2を代入すると，y=7となるから，

BD=3→ $\rm{\Delta ABD}=\frac{3\times 3}{2}=\frac{9}{2}$

$\rm{\Delta BCD}=\frac{3\times 1}{2}=\frac{3}{2}$

$\rm{\Delta ABC}=\frac{9}{2}+\frac{3}{2}=6$

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基本：★

【問題7】
　図１において，①は関数 $y=\frac{1}{3}x^2$ のグラフであり，点A, B, Cは①上にある。点A, B, Cのx座標はそれぞれ−3, 6, 9である。
　このとき，次の(1)～(3)に答えなさい。
(1)　①の関数 $y=\frac{1}{3}x^2$ において，xの変域が−3≦x≦6であるとき，yの変域を求めなさい。
(2)　直線ACの式を求めなさい。
(3)　△ABCの面積を求めなさい。

(2022年度山梨県公立高校入試問題)

解説を読む

(1)の問題に対して，3≦y≦12などと答えている人は，勉強不足です．
グラフを見れば，x=0のとき，yは最小となることが分かります．

（解答）
(1)
0≦y≦12
(2)
求める式をy=ax+bとおく．
点A(−3, 3)を通るから
　3=−3a+b…(#1)
点C(9, 27)を通るから
　27=9a+b…(#2)
(#1)(#2)を連立方程式として解くと，a=2, b=9
　y=2x+9
(3)
前問6と同様に，三角形がちょうど入る長方形から直角三角形を取り除くとよい．
$12\times 24-\big(\frac{12\times 24}{2}+\frac{15\times 3}{2} + 9\times 3 +\frac{9\times 9}{2} \big)=54$
（別解）
(2)で直線ACの式を求めているから，これを利用して，直線Bから垂線をひいて直線ACとの交点を直線Dとおくと

D(6, 21)だからBD=9
$\rm{\Delta ABD}=\frac{9\times 9}{2}=\frac{81}{2}$

$\rm{\Delta BCD}=\frac{9\times 3}{2}=\frac{27}{2}$

$\rm{\Delta ABC}=\frac{81}{2}+\frac{27}{2}=54$

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基本：★★

$y=\frac{1}{2}x^2$ $y=-\frac{1}{4}x^2$

【問題8】
　図で，Oは原点，A, Bは関数 $y=\frac{1}{2}x^2$ のグラフ上の点で，x座標はそれぞれ−2, 4である。また，C, Dは関数 $y=-\frac{1}{4}x^2$ のグラフ上の点で，点Cのx座標は点Dのx座標より大きい。
　四角形ABCDが平行四辺形のとき，点Dのx座標を求めなさい。

(2022年度愛知県公立高校入試問題B)

解説を読む

（解答）
A(−2, 2), B(4, 8)だから，D(x, $-\frac{1}{4}x^2$ )とおくと，四角形ABCDが平行四辺形のとき，
　C(x+6, $-\frac{1}{4}x^2+ 6$ ) Cは関数 $y=-\frac{1}{4}x^2$ のグラフ上の点だから
$-\frac{1}{4}x^2+ 6=-\frac{1}{4}(x+ 6)^2$
$-\frac{1}{4}x^2+ 6=-\frac{1}{4}x^2-3x-9$
$3x=-15$
$x=-5$
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反比例のグラフ, 2次関数のグラフ

基本：★

【問題9】
　右の図において，放物線①は関数 $y=ax^2$ のグラフであり，双曲線②は関数 $y=\frac{16}{x}$ のグラフである。放物線①と双曲線②は，点Aで交わっており，点Aのx座標は4である。また，放物線①上のx座標が−2である点をBとする。
　このとき，次の問いに答えなさい。
１　次のア～エのうち，関数 $y=\frac{16}{x}$ について述べた文として正しいものはどれか，適当なものを１つ選び，その記号を書け。
ア　対応するxとyの値の和は一定である。
イ　x<0の範囲で，xの値が増加すると，yの値は減少する。
ウ　yはxに比例する。
エ　グラフはy軸を対称の軸として線対称である。
２　aの値を求めよ。
３　直線ABの式を求めよ。
４　原点Oを通り直線ABに平行な直線と双曲線②との交点のうち，x座標が正である点をCとする。このとき，△ABCの面積を求めよ。
５　点Pは，y軸上のy>0の範囲を動く点とする。△ABPの面積と△AOPの面積が等しくなるとき，点Pのy座標を全て求めよ。

(2021年度愛媛県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
1
　アウエが正しくないことは，即答できるようにしてほしい．
　イについては「x>0の範囲で，xの値が増加すると，yの値は減少する」も正しいが，その真偽はイの真偽に影響しないから，イが述べている限りで判断すると正しいと言える．
（なお「xの値が増加すると，yの値は減少する」は正しくない．［例］x：−1→1のときy：−16→16は増加）

2
　Aは②の関数 $y=\frac{16}{x}$ 上にあるから，x=4のとき，y=4
　また，Aは①の関数 $y=ax^2$ 上にあるから， $4=16a$
$a=\frac{1}{4}$

3
　Bは①の関数 $y=\frac{1}{4}x^2$ 上にあるから，x=−2のとき，y=1
　A(4, 4), B(−2, 1)を通る直線の式をy=cx+dとおくと
A(4, 4)を通る→4=4c+d…(#1)
B(−2, 1)を通る→1=−2c+d…(#2)
(#1)(#2)の連立方程式を解くと
$a=\frac{1}{2},\hspace{3}b=2$
求める直線の式は
$y=\frac{1}{2}x+ 2$

4
　AB∥COだから，△ABCの面積は△ABOの面積に等しい
　△ABOの面積を求めるために，y軸と直線ABの交点Dの座標を求めておく→ $y=\frac{1}{2}x+ 2$ だからD(0, 2)
　OD=2を底辺として，△ODA+△ODBの面積を計算すると
$\frac{2\times 4}{2}+\frac{2\times 2}{2}=6$

5
ア)　0<y<2のとき
DP=2−yだから
△ABP
=△ADP+△BDP
$\frac{(2-y)\times 4}{2}+\frac{(2-y)\times 2}{2}=3(2-y)$
OP=yだから
△AOP= $\frac{y\times 4}{2}=2y$
これらが等しいためには
$3(2-y)=2y$
$y=\frac{6}{5}$
イ)　2≦yのとき
PD=y−2だから
△ABP=3(y−2)
OP=yだから
△AOP=2y
これらが等しいためには
$3(y-2)=2y$
$y=6$
以上をまとめると， $y=\frac{6}{5},\hspace{3}6$
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基本：★★★

$y=ax^2$ $y=\frac{8}{x}$ $y=\frac{8}{x}$

【問題10】
　図のように，関数 $y=\frac{8}{x}$ のグラフ上に2点A, Bがあり，点Aのx座標は4，線分ABの中点は原点Oである。また，点Aを通る関数 $y=ax^2$ のグラフ上に点Cがあり，直線CAの傾きは負の数である。
　次の問いに答えなさい。
(1)　点Bの座標を求めよ。
(2)　aの値を求めなさい。
(3)　点Bを通り，直線点CAに平行な直線と，y軸との交点を点Dとすると，△OACと△OBDの面積比は3:1である。
①　次のア～ウに当てはまる数をそれぞれ求めなさい。

　点Cのx座標は，アである。また，関数 $y=ax^2$ について，xの変域がア≦x≦4のときのyの変域はイ≦y≦ウである。

②　x軸上に点Eをとり，△ACEをつくる。△ACEの3辺の長さの和が最小となるとき，点Eのx座標を求めなさい。

(2021年度兵庫県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(1)

線分ABの中点は原点Oであるから，点Aの座標を求めて，それを原点に関して点対称に移動すれば点Bの座標が求まる

　点Aは， $y=\frac{8}{x}$ のグラフ上にあるから，x=4のとき， $y=\frac{8}{4}=2$
　次に，A(4, 2)を原点に関して点対称に移動すると，B(−4, −2)…(答)

(2)
　A(4, 2)が関数 $y=ax^2$ のグラフ上にあるから
$2=4^2a$
$a=\frac{1}{8}$ …(答)

(3)①

　広く通用する「一般的な方法」を考えると，未知数が3個の連立方程式を解かなければならないなど，中学校の範囲を超えた難しいものになる.
　入試では，かっこよく解く必要はない--「その問題だけに使える簡単な事情を使う」とよい

　右図でCA∥BD, AO=BOだから，△AD'O≡△BDO
　したがって，△OACと△OBDの面積比が3:1であるとき，△OD'C:△OAD'=2:1
　これら2つの三角形は、赤で示した底辺の長さOD'が共通だから，高さの比，Cのx座標(の符号を正に換えたもの)とAのx座標(4)の比が2:1になればよい
　−x:4=2:1
　x=−8→ア…(答)
また， $y=\frac{1}{8}x^2$ のとき，

x	−8→0→4
y	8→0→2

となるから，yの変域は0≦y≦8→ア…(答)

(3)②
△ACEの3辺のうちで，ACは一定だから，AE+ECが最小になればよい
　AE+ECは，A, E, C'が一直線上にあるとき最小になる．
　A(4, 2), C'(−8, −8)を通る直線の式をy=px+qとおく

　y=ax+bとおけばよいが，この問題では，すでにa, b, cなどを使っているので，混乱しないように，同じ名前を避けただけ

A(4, 2)を通るから
　2=4p+q…(#1)
C'(−8, −8)を通るから
　−8=−8p+q…(#2)
(#1)(#2)を連立方程式として解くと
$p=\frac{5}{6},\hspace{3}q=-\frac{4}{3}$
直線の式は
$y=\frac{5}{6}x-\frac{4}{3}$
点Eはx軸上にあるから，y=0とおくと
$\frac{5}{6}x-\frac{4}{3}=0$
$x=\frac{8}{5}$ …(答)
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