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♪♥♫♦∀～基本が中心～∳♣♬∅♠

度数分布表から平均値を求める

（解答）
元の資料${\displaystyle x_1,x_2,x_2,\cdots x_n}$が与えられているとき，平均値は
${\displaystyle \frac{x_1+x_2+x_2+\cdots +x_n}{n}}$
で求められるが，この問題のように，資料が度数分布表にまとめられているときは，

階級	階級値	度数
140以上～160未満 160～180　 180～200	150 170 190	3 6 1
計		10

それぞれの階級の中央の所（階級値という）に度数で示される個数のデータがあると『みなして』平均値を求める．
${\displaystyle \frac{150\times 3+170\times 6+190\times 1}{10}=166}$ …（答）
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（解答）
　次の表のように，それぞれの階級の中央の所（階級値）に度数で示される個数のデータがあると『みなして』平均値を求める．

階級	階級値	度数
0以上～10未満 10～20　 20～30　 30～40	5 15 25 35	4 7 6 3
計		20

${\displaystyle \frac{5\times 4+15\times 7+25\times 6+35\times 3}{20}=19}$ …（答）
→解説を隠す←

（解答）
冊数の平均値が3冊だから
${\displaystyle \frac{0\times 2+1\times 1+2\times a+3\times 3+4\times 5+5\times b+6\times 1}{15}=3}$…(1)
人数の合計が15人だから
${\displaystyle 2+1+a+3+5+b+1=15}$…(2)
(1)(2)を連立方程式として解く
2a+5b=9…(1')
a+b=3…(2')
(1')−(2')×2
　3b=3
　b=1, a=2…（答） →解説を隠す←

（解答）
度数の計が50だからア＝12
(階級値)×(度数)の計が370.0だからイ＝88.8
(平均値)＝${\displaystyle \frac{370.0}{50}=7.4}$ …（答） →解説を隠す←

度数分布表から中央値を求める

（解答）
この問題では，資料の総数が20個だから，小さい方から数えて10番目と11番目の平均値を中央値（メジアン）とする．
65 68 75 76 86 87 87 88 93 94 | 95 96 98 98 102 105 106 110 120 120
の順に並ぶから
${\displaystyle \frac{94}{2}=94.5}$ (ｇ) …（答） →解説を隠す←

【問題6】
　下の図は，ある学級の生徒40人の通学時間について調べ，その結果をヒストグラムに表したものです。このヒストグラムから，例えば，通学時間が0分以上5分未満の人は3人いたことが分かります。下の①～④の階級の中で，中央値が含まれるものはどれですか。その番号を書きなさい。

(人) (通学時間) 0 2 4 6 8 10 12 14 0 5 10 15 20 25 30 35 (分)

① 5分以上10分未満② 10分以上15分未満
③ 15分以上20分未満④ 20分以上25分未満
　

※本当の試験は，上記のように書かれていますが，この教材では画面上で採点するため，上記の青色で書いた選択肢を「クリック」してください．

（解答）
この問題では，資料の総数が40だから，小さい方から数えて20番目と21番目の平均値が中央値（メジアン）になる．
小さい方から各階級の度数を足すと
　3+12=15≦20
　3+12+7=22≧21
だから，②「10分以上15分未満」の階級の中に中央値が含まれる …（答） →解説を隠す←

（解答）
(1)
度数の合計が30だから，2+x+12+5+4+1=30
　x=6…（答）
(2)
小さい方から数えて，15番目と16番目の平均が中央値になる．
2+6≦15<16≦2+6+12だから中央値は
　「155.0～160.0」の階級に入っている…（答）
(3)
　4÷30=0.133···≒0.13…（答）
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（解答）
ア，イ≧0として
度数の合計が17になるのだから
　3+4+ア+イ+4+2=17
　ア+イ=4…(1)
資料の総数が17(人)の場合，中央値は小さい順に9番目になるから
　3+4<9(成り立つ)
　3+4+ア≧9
　ア≧2…(2)
(1)(2)を満たすア，イの組は，次の表の通り

ア	2	3	4
イ	2	1	0

　3(組) …（答）
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度数分布表から最頻値を求める

（解答）
• 度数の合計が50(人)だから，小さい順に25番目と26番目の平均が中央値になる
• 5匹以下が24人，6匹以下が29人だから，中央値は6(匹)…(答)
• 度数が最も多い階級の階級値が最頻値だから，最頻値は2(匹)…(答)
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（解答）
• 度数が最も多い階級の階級値が最頻値だから，最頻値は4(点)…(答)
• 平均値は
${\displaystyle \frac{0\times 1+1\times 5+2\times 2+3\times 2+4\times 6+5\times 3+6\times 1}{20}=3}$(点)…(答)
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（解答）
資料が度数分布表に整理されているとき，度数が最も大きい階級の『階級値』（その階級の真ん中の値）を『最頻値』とする．
度数が最も大きい階級は，200000～350000(人)の階級で，その階級値は
${\displaystyle \frac{20000}{2}=275000}$(人)…(答)
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（解答）
資料が度数分布表に整理されているとき，度数が最も大きい階級の『階級値』（その階級の真ん中の値）を『最頻値』とする．
①　度数が最も大きい階級は，20～25(m)の階級で，その階級値は
${\displaystyle \frac{20}{2}=22.5}$(m)…(答)
②　各階級の度数を度数の合計で割ったものが相対度数だから
${\displaystyle \frac{8}{40}=0.2}$…(答)
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代表値などの総合問題

（解答）
• 度数分布表では，度数が最も大きい階級の階級値が最頻値
　⇒ 最も大きい度数7(人)に対応する階級の階級値は6(冊)だから，アは違う
• 資料を大きさの順に並べたとき，その中央に来る値を中央値という．全部で偶数個あるときは，真ん中に並ぶ２つの値の平均値を中央値とする
　⇒ 全部で25人の中央は，13番目の値の5(冊)になるから，イは正しい
• 最大値と最小値の差を範囲という
　⇒ 最大値は7(冊)，最小値は1(冊)だから，範囲は7−1=6(冊)．ウは違う
• 階級値×度数の和が合計
　⇒ 合計は7×2+6×7+5×4+4×5+3×4+2×2+1×1=113冊になるから，エは違う
以上から，イ…(答)
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（解答）
• 40人の得点の平均値が60点ということは，得点合計が2400点ということに対応している
　⇒ 例えば，24人が100点で，残り16人が0点の場合，中央値は100点になるから，アは違う
　（他の例で，30人が80点で，残り10人が0点の場合，中央値は80点になるから，アは違う）
• 40人の得点の平均値が60点ということは，得点合計が2400点ということに対応している．そこで，全員の得点が5点ずつ上がれば，合計得点は5×40=200点増加する
　⇒ 平均値は(2400+200)÷40=65点になるから，イは正しい
• 40人の得点の平均値が60点ということは，得点合計が2400点ということに対応している
　⇒ 例えば，24人が100点で，残り16人が0点の場合，最頻値は100点になるから，ウは違う
　（他の例で，30人が80点で，残り10人が0点の場合，最頻値は80点になるから，ウは違う）
•
　⇒ 例えば，24人が100点で，残り16人が0点の場合，100点が入る階級の度数が最も多いから，エは違う
　（他の例で，30人が80点で，残り10人が0点の場合，80点が入る階級の度数が最も多いから，エは違う）
以上から，イ…(答)
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【問題15】
　右図は，25人の生徒がある期間中に読んだ本の冊数を冊数別に表したヒストグラムである。次のア～エのうち，このヒストグラムからわかることとして正しいものはどれですか。一つ選び，記号を〇で囲みなさい。
ア　平均値は4冊である。
イ　最頻値は3冊である。
ウ　中央値は3冊である。
エ　範囲は4冊である。
　

※本当の試験は，上記のように書かれていますが，この教材では画面上で採点するため，上記の青色で書いた選択肢を「クリック」してください．

（解答）
ア
平均値は，${\displaystyle \frac{0\times 2+1\times 3+2\times 6+3\times 4+4\times 7+5\times 3}{25}=\frac{70}{25}=2.8}$だから，アは違う
イ
最頻値は4冊だから,イは違う
ウ
25人の資料を小さい順にならべたとき，13番目が中央値になる．13番目は3冊だから，ウは正しい．
エ
最大値と最小値の差を範囲というから，この問題では，範囲は5−0=5(冊)．エは違う．
以上のより，正しいものは，ウ …（答） →解説を隠す←

借りた本の 冊数(冊)	生徒の 人数(人)
7	5
6	3
5	2
4	3
3	4
2	2
1	6
合計	25

【問題16】
　次のア～エの式のうち，正しいものを一つ選び，記号を〇で囲みなさい。
ア　a=b　　イ　a=c　　ウ　b=d　　エ　c=d

※本当の試験は，上記のように書かれていますが，この教材では画面上で採点するため，上記の青色で書いた選択肢を「クリック」してください．

（解答）
平均値は，
${\displaystyle \frac{7\times 5+6\times 3+5\times 2+4\times 3+3\times 4+2\times 2+1\times 6}{25}=\frac{97}{25}=3.88}$
そこで
　a=5+3+2+3=13
　b=4+2+6=12
25人の資料の中央値は，小さい方から13番目の値だから，4冊
そこで
　c=5+3+2=10
　d=4+2+6=12
したがって，「ウ　b=d」…（答）
→解説を隠す←

（解答）
問1
(1) 度数の合計から
　3+15+y+10+4=x…(#1)
3とyの相対度数の比率から
　3:y=0.06:0.36=1:6…(#2)

y+32=x…(#1')
y=18…(#2')
(#1')(#2')より，x=50, y=18…(答)
(2)
0.06+0.30=0.36だから36(%)…(答)
　　　　↑やさしい！♪♥♫♦∀
問2
ア　7.5秒以上8.0秒未満の度数は，3年2組は10，3年1組は5 ⇒ 3年2組の方が多いから，×
イ 「各階級の階級値」に度数で示される資料があると「みなせばよい」から，3年1組の範囲は，9.25−7.75=1.5，3年2組の範囲は，9.25−7.25=2.0
⇒ 3年2組の範囲の方が大きいから，×
ウ　25人の資料の中央値は小さい方から13番目になる．3年1組の中央値は，8.0～8.5の階級の階級値 8.25，3年2組の中央値は，7.5～8.0の階級の階級値 7.75
⇒ 3年1組の中央値の方が大きいから，〇 エ　資料が度数分布表で示されているときは，度数が最も大きい階級の「階級値」を最頻値とするから，3年1組では8.75秒，3年2組では7.75秒が最頻値となる
⇒ エは×
以上から，正しいものはウ →解説を隠す←

（解答）
ア
「最大値の入っている階級の階級値から最小値の入っている階級の階級値の差を範囲」とみなす立場から言えば，
　１年Ａ組の学習時間の分布の範囲は，225−15=210，１年Ｂ組の学習時間の分布の範囲は，195−45=150
⇒ １年Ａ組の学習時間の分布の範囲が大きいから，× イ
最頻値を含む階級の度数は１年Ａ組は8, １年Ｂ組は7
⇒ 〇
ウ
25人の資料では，小さい方から13番目が中央値
中央値を含む階級の度数は１年Ａ組は8, １年Ｂ組は6
⇒ ×
エ
学習時間が150分以上の人数は，１年Ａ組は8人, １年Ｂ組は10人
⇒ ×
以上から，イ…（答）
→解説を隠す←