円周角の定理（高校入試問題5）

→ 携帯用は別頁

== 円周角の定理（高校入試問題5） == このページの教材のレベルは

♪♥♫♦∀高校入試の標準～やや難∳♣♬∅♠

≪要点1≫　円周角の定理

１つの弧に対する円周角は，その弧に対する中心角の半分である

∠APB= $\frac{1}{2}$ ∠AOB

１つの弧に対する円周角はすべて等しい

∠APB=∠AQB

≪要点2≫　弧の長さと円周角の関係

同一の円では
(1) 弧の長さが等しければ，円周角も等しい
　　AB=CDならば∠APB=∠CQD

(2) 円周角が等しければ，弧の長さも等しい
　　∠APB=∠CQDならばAB=CD

基本★

【問題1】

　右の図のように，円Oの円周上に５つの点A, B, C, D, Eがあり，線分BEは円Oの直径である。また，線分ACとBDの交点をPとする。∠BPC=103°, ∠PCD=72°であるとき，∠xの大きさを答えなさい。

(2018年度新潟県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
• △PCDについて，∠Pの外角は∠D, ∠Cの内角の和に等しいから
　∠CDP+72°=103°
　∠CDP=31°
• ∠CAB=∠CDB=31°（弧CBの円周角）…(1)
• BEは直径だから，∠EAB=90°…(2)
(1)(2)より，∠x=90°−31°=59°…（答）
→解説を隠す←

基本★★

【問題2】

　右の図のように，円Oの円周上に4つの点A, B, C, Dがあり，線分ACは円Oの直径である。∠BDA=58°, ∠OBD=24°であるとき，∠xの大きさを答えなさい。

(2019年度新潟県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
• ∠BOA=2∠BDA=116°（弧ABの円周角と中心角）
• △ABOは二等辺三角形だから
　∠OAB=∠OBA=(180°−116°)÷2=32°
• 弧ADに対する円周角は等しいから
　∠x=∠ABD=56°…（答）

（別解）←ここをクリック

• △OBDは二等辺三角形だから
　∠BDO=24°
△OBDの内角の和は180°だから
　∠ODA=58°−24°=34°
• △ODAは二等辺三角形だから
　∠DAO=34°
△ODAの内角の和は180°だから
　∠AOD=180°−(34°+34°)=112°
• 弧ADの円周角と中心角の関係から
　∠x=∠x=112°÷2=56°…（答）

→解説を隠す←

基本★★

【問題3】

　右の図において，4点A, B, C, Dは円Oの周上の点で，AD∥BCである。
　また，点Eは点Aを含まないBC上の点であり，点Fは線分AEと線分BDとの交点である。
　このとき，∠AFDの大きさを求めなさい。
1. 72°　　2. 74°　　3. 76°　　4. 80°

(2021年度神奈川県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

［ここがポイント］
34°の利用方法は分かりやすいが，40°という条件をどう使うかが重要

三 : 三角形の内角の和は180°
周 : 円周角は等しい
錯 : 平行線の錯角は等しい
四 : 円に内接する四角形の対角の和は180°

として

三 → 四 →
周 → 錯 →

三

の形で証明の進め方を考えるとできる

• △CDEの内角の和は180°だから
　∠ECD=180°−(34°+40°)=106°
• AECDは円に内接する四角形だから対角の和は180°
　∠DAE=180°−106°=74°…(#1)
• 弧CDに対する円周角は等しいから
　∠DBC=∠DEC=34°
• 平行線AD∥BCと交わる線分BDとでできる錯角は等しいから
　∠BDA=∠CBD=34°…(#2)
• △AFDの内角の和は180°だから，(#1)(#2)により
　∠AFD=180°−(74°+34°)=72°…（答）→ 1.
→解説を隠す←

基本★★

【問題4】

図2

　次の　の中の「あ」「い」にあてはまる数字をそれぞれ0～9の中から1つずつ選び，その数字を答えなさい。
　右の図2において，5点A, B, C, D, Eは円Oの周上の点で，BE∥CDであり，線分ADは∠BDEの二等分線である。
　また，点Fは線分ADと線分CEとの交点である。
　このとき，∠AFE=あい°である。

(2022年度神奈川県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

［ここがポイント］
67°の利用方法は分かりやすいが，86°という条件をどう使うかが重要

外 : 三角形の外角=残り2つの内角の和
三 : 三角形の内角の和は180°
周 : 円周角は等しい
錯 : 平行線の錯角は等しい
内 : 円に内接する四角形の対角は等しい

として

錯 → 周 → 外 →
周 → 内 →
周 →

外

の形で証明の進め方を考えるとできる

• 平行線BE∥CDと交わる線分CE, BDとでできる錯角は等しいから
　∠BEC=∠DCE
　∠DBE=∠BDC
• 線分CE, BDの交点を線分Gとおくと，△CDGについて∠Gの外角は，∠C, ∠Dの内角の和に等しいから
　∠D+∠C=86°
　∠D=∠C=43°
　∠BEC=43°
• 弧DEに対する円周角は等しいから
　∠DAE=∠DBE=43°
• ABDEは円に内接する四角形だから対角の和は180°
また，仮定により∠EDA=∠ADB
　∠BAE+∠EDB=180°
　43°+67°+2∠EDA=180°
　∠EDA=35°
• 弧BDに対する円周角は等しいから
　∠BED=∠BAD=67°
したがって
　∠FED=67°−43°=24°
• △FDEについて∠Fの外角は，∠D, ∠Eの内角の和に等しいから
　∠AFE=35°+24°=59° …（答）
→解説を隠す←

長さや面積を求める問題

≪要点3≫　相似図形の性質
(1)
　右図のように２つの弦AC, BDが点Pで交わっているときは，相似図形ができ，辺の長さの比が求められる
　　△ABP∽△DCP
　　AB:DC=BP:CP(=AP:DP)

(2)
　面積比は，相似比の２乗に等しい
　　AB:DC=m:nのとき
　　S:T=m2:n2

　"相似比の２乗"という用語は，広く使われており，学習指導要領解説や約半分の教科書でも使われているが，残りの教科書では"相似比の２乗"という言い方はしない．どちらも，(m : n)2のような記号は使わない．
　筆者は，村の小学校で"相似比の２乗比"と習ったが，この言い方は，現在ほとんど使われていない．
　［要約］
　"相似比の2乗"という用語を使うのはよいが，2乗の比，すなわちm2:n2という意味だと分かっていればよい．

≪要点4≫
　右図のような図形では
　直径の上に立つ円周角は90°だから，直角三角形ができ，三平方の定理が使える

　 $\rm{AP^2+ PB^2=AB^2}$

基本★★★

【問題5】

$2\sqrt{21}$

　右の図は，線分ABを直径とする半円で，点OはABの中点である。点Cは，AB上にあり，点Dは，線分BCと∠BACの二等分線との交点である。点Eは，ADの延長とBCとの交点であり，点Fは，線分OEと線分BCとの交点である。
　このとき，次の各問いに答えなさい。ただし，根号がつくときは，根号のついたまま答えること。
(1)　△ACD∽△EFDであることを証明しなさい。
(2)　AB=10cm, AC=4cmのとき，

①　線分OFの長さを求めなさい。
②　線分DFの長さを求めなさい。

(2022年度熊本県公立高校入試問題)

(1) （やさしい）解説を読む

• △ACDと△EFDについて
　∠CDA=∠FDE（対頂角）…(#1)
• △OAEについて
　OA=OE（円Oの半径）
二等辺三角形の両底角は等しいから
　∠OAE=∠OEA…(#2)
• 仮定により，AEは，∠BACの二等分線だから
　∠OAE=∠EAC…(#3)
(#2)(#3)より
　∠OEA=∠EAC
すなわち
　∠FED=∠DAC…(#4)
• (#1)(#4)により，△CDAと△EFDについて，2組の角がそれぞれ等しいから
　△ACD∽∠EFD…(証明終わり) →解説を隠す←

(2) ①（思考力が必要）解説を読む

(1)の途中で分かるように，∠OAE=∠EACだから，OE∥AC
したがって，△BOF∽∠BAC
　BA:AC=BO:OF
　10:4=5:OF
　OF=2…（答）
→解説を隠す←

　②（思考力が必要）解説を読む

• ∠ACB=90°だから，三平方の定理により
　 $\rm{AC^2+ CB^2=AB^2}$
　 $\rm{CB}=\sqrt{100-16}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$
　 $\rm{CF}=\sqrt{21}$
• CD:DF=AC:EF=4:3
　 $\rm{DF}=\frac{3}{7}\sqrt{21}$
→解説を隠す←

★★★

【問題6】

　図4のように，AC⊥BD, AD=3cm, DE= $\sqrt{5}$ cmとする。また，BA∥CFとなるように円Oの周上に点Fをとり，直線BDと直線CFの交点をGとする。
　このとき，△ABEと△CGEの面積の比を求め，最も簡単な整数の比で表わしなさい。

(2021年度和歌山県公立高校入試問題)

解説を読む

• BDは直径ACと垂直だから，△AEDは，直角三角形
　三平方の定理によりAE2+ED2=AD2
　AE= $\sqrt{9-5}=2$
• △ABEと△DCEについて
　∠ABE=∠DCE（弧ADの円周角）
　∠AEB=∠CED（対頂角）
よって，２組の角がそれぞれ等しいから
　△ABE∽△DCE
• CE=xとおくと，上記２つの三角形の相似比の関係から
　2: $\sqrt{5}$ = $\sqrt{5}$ :x
　 $x=\frac{5}{2}$
• BA∥CFだから
　∠ABE=∠CGE（錯角）
　2つの直角三角形で，直角以外に１組の角が等しいから
　△ABE∽△CGE
• △ABEと△CGEの相似比は
　 $2:\frac{5}{2}=4:5$
したがって，面積比は
　16:25…(答) →解説を隠す←

かなり大変★★★

【問題7】

　右の〔図〕のように，円Oの周上の4点A, B, C, Dを頂点とする四角形ABCDがあり，線分ACは円Oの直径である。また，線分ACと線分BDの交点をEとする。
　さらに，点Bを通る円Oの接線をひき，線分ACを延長した直線との交点をFとする。
　次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1)　△EAD∽△EBCであることを証明しなさい。
(2)　DA=DC, BC=2cm, ∠AFB=30°とする。

　次の①，②の問いに答えなさい。
①　線分OCの長さを求めなさい。
②　線分EDの長さを求めなさい。

(2022年度大分県公立高校入試問題)

(1)
解説を読む

• △EADと△EBCについて
　∠ADE=∠ECB（弧ABの円周角）
　∠AED=∠CEB（対頂角）
よって，２組の角がそれぞれ等しいから
　△EAD∽△EBC…(証明終わり) →解説を隠す←

(2)①
解説を読む

• 線分BFは円Oの接線だから，BF⊥BO • ∠AFB=30°だから
　∠BOF=60°
• △BOCは二等辺三角形だから，結局，正三角形になる
　OC=BC=2cm…(答) →解説を隠す←

(2)②
解説を読む

• △BOCは1辺の長さが2cmの正三角形だから，その高さは $\sqrt{3}$ (cm)
• 直角三角形△DBFを作ると
　BF=1(cm)
　 $\rm{DB^2=DF^2+ BF^2}$
　 $=(2+\sqrt{3})^2+ 1^2=4+ 4\sqrt{3}+ 3+ 1$
　 $=8+ 4\sqrt{3}=8+ 2\sqrt{12}=(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2$
　 $DB=\sqrt{6}+\sqrt{2}$
•　△DBF∽△DEOだから
　DE : DB= DO : DF
　 $\rm{DB}\hspace{1}:\hspace{1}(\sqrt{6}+\sqrt{2})=2\hspace{1}:\hspace{1}(2+\sqrt{3})$
　 $\rm{DB}=\frac{2(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2+\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{6}+\sqrt{2})(2-\sqrt{3})}{4-3}$
　 $=2(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ …(答) →解説を隠す←

難★★★

【問題8】

　右の図のように，線分ABを直径とする円Oの周上に点Cがあり，AB=5cm, AC=3cmである。線分AB上に点Dをとり，直線CDと円Oとの交点のうち点C以外の点をEとする。ただし，点Dは，点A, Bと一致しないものとする。各問いに答えよ。
(1)　△ACD∽△EBDを証明せよ。
(2)　∠BAC=a°とする。BC=CEのとき，∠OCDの大きさをaを用いて表せ。
(3)　∠AOE=60°のとき，線分DEの長さは線分ADの長さの何倍か。
(4)　AC=CDのとき，△OEBの面積を求めよ。

(2021年度奈良県公立高校入試問題)

(1)
解説を読む

• △ACDと△EBDについて
　∠ACD=∠EBD（弧AEの円周角）
　∠ADC=∠BDE（対頂角）
よって，２組の角がそれぞれ等しいから
　△ACD∽△EBD…(証明終わり) →解説を隠す←

(2)
解説を読む

• ∠OBC=∠OCB（二等辺三角形の両底角）
• ∠BOC=2∠BAC=2a（弧BCの円周角と中心角）
　2∠OBC+2a=180°（三角形の内角の和）
　∠OBC=90°−a
• △BOCと△COEについて
　BC=CE（仮定）
　BO=CO=EO（円の半径）
対応する3辺がそれぞれ等しいから
　△BOC≡△COE
したがって
　∠OCD=∠OBC=90°−a…(答) →解説を隠す←

(3)
解説を読む

• (1)の結果から△ACD∽△EBD
したがって，DE:AD=EB:AC
ここでEB=Lとおくと
　 $\rm{\frac{DE}{AD}=\frac{L}{3}}$
• EからABに降ろした垂線の足をHとおくと，△EHBは直角三角形
また，△AEOは正三角形だから
　 $\rm{AO=EO=AE}=\frac{5}{2}}$
　 $\rm{HO}=\frac{5}{4},\hspace{3}\rm{OB}=\frac{5}{2}$
　 $\rm{EH}=\frac{5\sqrt{3}}{4}$
だから，△EHBについて，三平方の定理により
　 $\rm{L^2}=\big(\frac{5\sqrt{3}}{4}\big)^2+\big(\frac{5}{4}+\frac{5}{2}\big)^2$
$=\frac{75}{16}+\frac{225}{16}=\frac{300}{16}=\frac{75}{4}$
　 $\rm{L}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$
したがって
　 $\rm{\frac{DE}{AD}=\frac{L}{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{6}$ …(答)
→解説を隠す←

(4)
解説を読む

※♪♬∅♠♫-- 問題に示された図と(4)の実際の図が全然違うので，慌てるかもしれない! --♥♦∀∳♣
《証明の進め方--全体の流れ》
①△CAD∽△OCAを利用して，AD(=x)を求める
②△DBEは二等辺三角形だから，BD=56−xを求めるとBEが求まる
③BEの長さを求めると，△OEBの残り2つの辺は，円Oの半径2.5(cm)だから，△OEBの面積が求まる．

• AD=xとおく
• △CADと△OCAは，二等辺三角形で両底角がそれぞれ等しいから相似三角形
　AC:AD=OC:CA
　3 : x=2.5 : 3
　 $x=\frac{9}{2.5}=\frac{18}{5}$
• $\rm{DB}=5-x=5-\frac{18}{5}=\frac{7}{5}$
• BEの中点をHとおくと，三平方の定理により
　 $\rm{OH^2+ HB^2=OB^2}$
　 $\rm{OH^2}=\frac{25}{4}-\frac{49}{100}=\frac{144}{25}$
　 $\rm{OH}=\frac{12}{5}$
したがって，△OEB=Sとおくと
　 $\rm{S}=\frac{7}{5}\times\frac{12}{5}\div 2=\frac{42}{25}$ …(答)

筆者の感想：この答案を10分程度で書くのは，かなり大変だと思う

→解説を隠す←

...メニューに戻る

■このサイト内のGoogle検索■

△このページの先頭に戻る△【アンケート送信】
… このアンケートは教材改善の参考にさせていただきます

■この頁について，良い所，悪い所，間違いの指摘，その他の感想があれば送信してください．

○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています．
○感想の内で，どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては，可能な限り対応するようにしています．（※なお，攻撃的な文章になっている場合は，それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので，採用しません．）

質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります