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♪♥♫♦∀高校入試の標準～やや難∳♣♬∅♠

【三角形の相似条件】
　２つの三角形△ABCと△A'B'C'が相似である(△ABC∽△A'B'C')ことを証明するには，次の①～③のどれか１つが成り立つことを示せばよい．
① 「3組の辺の比がすべて等しいことを示す」

　右図の場合は
が示せたらよい．
② 「2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいことを示す」

　右図の場合は
∠B=∠B'
が示せたらよい．
③ 「2組の角がそれぞれ等しいことを示す」よく出る

　右図の場合は
∠B=∠B'
∠C=∠C'
が示せたらよい．

【問題1】
　右の図のように，同じ円周上に3点A, B, Cがあり，∠BACは鈍角，AB=ACとなっています。Aを含まないBC上にAD∥BEとなるようにB, Cと異なる点D, Eをとります。また，線分BCと２つの線分AD, AEとの交点をそれぞれF, Gとします。
　このとき，△ABF∽△GEBであることを証明しなさい。

（解答）
• AB=ACだから，△ABCは二等辺三角形
　∠ABC=∠ACB…(1)
• 弧ABに対する円周角∠ACBと∠AEBの大きさは等しい
　∠ACB=∠AEB…(2)
• (1)(2)から
　∠ABC=∠AEB…(3)
• AD∥BEだから，この平行線に交わる線分BCによってできる錯角は等しい
　∠AFB=∠EBG…(4)
• (3)(4)により，△ABFと△GEBは，2組の角がそれぞれ等しいから相似である…（証明終わり）
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【問題2】
　図1～図3のように，AD∥BCの台形ABCDがあり，3点A, B, Dを通る円Oと辺CDとの交点をEとする。
　このとき，次の(1)～(3)に答えなさい。
(2)　図2において，△ABE∽△DCBであることを証明しなさい。
(1)(3)略

（解答）
• 弧BEに対する円周角∠BAEと∠BDEの大きさは等しい
　∠BAE=∠BDE…(1)
• 弧ABに対する円周角∠ADBと∠AEBの大きさは等しい
　∠ADB=∠AEB…(2)
• AD∥BCだから，この平行線に交わる線分BDによってできる錯角は等しい
　∠ADB=∠CBD…(3)
• (2)(3)により
　∠AEB=∠CBD…(4)
• (1)(4)により，△ABEと△DCBについて
　∠BAE=∠BDC
　∠AEB=∠DBC
• △ABEと△DCBは，2組の角がそれぞれ等しいから相似である…（証明終わり）
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【問題3】
　右の図のように，線分ABを直径とする半円があり，線分ABの中点を点Oとします。点Cを弧AB上の点とし，線分BC上に点Dをとります。線分ADと線分OCとの交点をEとします。
　次の問いに答えなさい。
問１ BD=DC, OD=2cmのとき，線分ACの長さを求めなさい。
問２ ∠AOCの二等分線と線分ADとの交点をFとします。このとき，△CDE∽△OFEを証明しなさい。

（解答）
問1
• △BCAと△BDOについて
　∠Bは共通
　BC:BD=2:1
　BA:BO=2:1
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから，△BCA∽△BDO
問2 ←ここをクリック
• ∠CED=∠OEF （対頂角）
• ∠EOF=∠EOA（仮定）
　∠CBA=∠CBO=∠EOA（円周角と中心角）
　∠BCO=∠CBO（二等辺三角形の両底角）
ゆえに
　△CDEと△OFEについて，2組の角がそれぞれ等しいから,△CDE∽△OFE…（証明終わり）
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【問題4】
　右の図のように，線分ABを直径とする半円があり，点Oは線分ABの中点です。AB上に，AとBとは異なる点Cをとります。BC上にAC∥ODとなるような点Dをとり，線分BCと線分ADとの交点をEとします。このとき，△AEC∽△ABDであることを証明しなさい。

（解答）
• ABは直径だから∠BCA=∠BDA=90°
• AC∥ODだから，これらと交わる線分ADとでできる錯角は等しい
　∠CAE=∠ODE
また，△AODは，AO=DOの二等辺三角形だから
　∠ODA=∠OAD
したがって
　∠CAE=∠OAD=∠BAD
• △AECと△ABDについて，2組の角がそれぞれ等しいから,△AEC∽△ABD…（証明終わり）
（別解）
• ABは直径だから∠BCA=∠BDA=90°
• AC∥ODだから，これらと交わる線分ABとでできる同位角は等しい
　∠BAC=∠BOD
• 弧BDの中心角は円周角の2倍だから
　2∠BAD=∠BOD
したがって
　2∠BAD=∠BAC
結局
　∠BAD=∠DAC
• △AECと△ABDについて，2組の角がそれぞれ等しいから,△AEC∽△ABD…（証明終わり）
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【問題5】
　図6において，3点A, B, Cは円Oの円周上の点である。∠ABCの二等分線と円Oとの交点をDとし，BDとACとの交点をEとする。AB上にAD=AFとなる点Fをとり，FDとABとの交点をGとする。
　このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1)　△AGD∽△ECBであることを証明しなさい。
(2)　AF:FB=5:3 , ∠BEC=76°のとき，∠BACの大きさを求めなさい。

（解答）
(1)
• ∠ADF=∠AFD（二等辺三角形の両底角）
　=∠ABD（弧ADの円周角）
　=∠EBC（二等分線という仮定）
以上により
　∠ADG=∠EBC…(#1)
• ∠GAF+∠AFG=∠AGD（外角=隣でない2角の和）
　∠GAF=∠BCG（弧BFの円周角）
　∠AFG=∠ADF（二等辺三角形の両底角）
　=∠ECG（弧AFの円周角）
したがって
　∠GAF+∠AFG=∠BCG+∠ECG
　∠AGD=∠ECB…(#2)
(#1)(#2)により
　△AGDと△ECBについて，2組の角がそれぞれ等しいから,△AGD∽△ECB…（証明終わり）
(2)←ここをクリックする！
弧AF : FB=5:3だから，それに対応する中心角の比も5：3で，円周角の比も5：3になる．
• △ABEの内角∠A, ∠Bと∠Bの外角の関係から
　x+5k=76°…(#3)
• △BCEの内角の和は180°だから
　76°+10k+3k=180°…(#4)
(#4)からk=8°
これを(#3)に代入すると，x=36°…（答）
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【三角形の合同条件】
　２つの三角形△ABCと△A'B'C'が合同である(△ABC≡△A'B'C')ことを証明するには，次の①～③のどれか１つが成り立つことを示せばよい．
① 「3組の辺がそれぞれ等しいことを示す」

　右図の場合は
が示せたらよい．

② 「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいことを示す」よく出る

　右図の場合は
∠B=∠B'
などの組が示せたらよい．
③ 「１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいことを示す」」よく出る

　右図の場合は
　a=a'
∠B=∠B'
∠C=∠C'
などの組が示せたらよい．

【問題7】
　右の図1のように，円Oの周上に点A, B, C, Dがあり，△ABCは正三角形である。
　また，線分BD上に，BE=CDとなる点Eをとる。
　このとき，次の問いに答えなさい。
(1)　△ABE≡△ACDを証明しなさい。
(2)　略

（解答）
(1)
• △ABCは正三角形だから
　AB=AC…(#1)
• 仮定により
　BE=CD…(#2)
• 弧ADに対する円周角は等しいから
　∠ABE=∠ACD…(#3)
• (#1)(#2)(#3)により，△ABEと△ACDとは，2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから合同である．（証明終わり） →解説を隠す←

【問題8】
　右の図のような円があり，異なる3点A, B, Cは円周上の点で，AB=ACである。線分AC上に2点A, Cと異なる点Dをとり，直線BDと円との交点のうち，点Bと異なる点をEとする。また，点Aと点E，点Bと点Cをそれぞれ結ぶ。
　このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1)　△ADE∽△BDCであることを証明せよ。
(2)　点Cと点Eを結ぶ。線分BE上にEC=EFとなる点Fをとり，直線CFと円との交点のうち，点Cと異なる点をGとする。点Eと点Gを結ぶとき，△ACE≡△GEFであることを証明せよ。

（解答）
(1)
• △ADEと△BDCについて
　∠EAD=∠CBD（弧ECに対する円周角）
　∠ADE=∠CDB（対頂角）
• 2組の角がそれぞれ等しいから△ADE∽△BDC（証明終わり）
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【問題9】
　右の図のように，円Oの周上にAB=ACとなるように3点A, B, Cをとり，二等辺三角形ABCをつくる。弧AC上に点Dをとり，点Aと点D，点Cと点Dをそれぞれ結ぶ。線分BDと辺ACの交点をEとする。点Cを通り，線分BDに平行な直線と円との交点をFとし，線分AFと線分BDの交点をGとする。このとき，次の(1)・(2)の問いに答えなさい。
(1)　△ABG≡△ACDを証明せよ。
(2)　AB=8cm, AD=3cm, GF=7cmのとき，線分CEの長さを求めよ。

（解答）
(1)
△ABGと△ACDについて
• AB=AC（仮定）…(#1)
• ∠ABG=∠ACD（弧ADに対する円周角）…(#2)
　∠GAB=∠DAC…(#5)
• (#1)(#2)(#5)により，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，△ABG≡△ACD（証明終わり）
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【問題10】
　右の図のように，円周上に異なる点A, B, C, D, Eがあり，AC=AE，BC=DEである。線分BEと線分AC, ADとの交点をそれぞれ点F, Gとする。
　このとき，次の問いに答えなさい。
　ただし，BC, DEは，それぞれ短い方の弧を指すものとする。
(1)　△ABC≡△AGEを証明しなさい。
(2)　AB=4cm, AE=6cm, DG=3cmとするとき，次の問いに答えなさい。
　①　線分AFの長さを求めなさい。
　②　△ABGと△CEFの面積比を求めなさい。

（解答）
(1)
△ABCと△AGEについて
• AC=AE（仮定）…(#1)
• ∠BCA=∠GEA（弧ABに対する円周角）…(#2)
　∠CAB=∠EAG…(#5)
• (#1)(#2)(#5)により，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，△ABC≡△AGE（証明終わり）
(2)←ここをクリック
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