== 直線図形と角 ==（入試問題）

【要点】
(1)　三角形の内角の和は180°に等しい．
(2)　三角形の外角は，それと隣り合わない２つの内角の和に等しい．
≪例≫
(1)　上の図において∠A+∠B+∠C=180°
(2)　上の図において∠ACD=∠A+∠B
【例題１】
　右の図のような△ABCがあります。∠xの大きさを求めなさい。
（北海道2017年入試問題）
（解答）
三角形の外角は，それと隣り合わない２つの内角の和に等しいから
∠x=62°+42°=103°…（答）
（別解）
三角形の内角の和は180°に等しいから
62°+42°+∠C=180°
∠C=77°
ゆえに
∠x=180°−77°=103°…（答）

【問題１】
(1)
　図のように，３つの直線が交わっている。∠xの大きさは何度か，求めなさい。
（兵庫県2016年入試問題）
∠x=° 採点する
(2)
　右の図で，∠xの大きさを求めなさい。
（栃木県2016年入試問題）
∠x=° 採点する

(3)
　右の図において，四角形ABCDは平行四辺形である。∠xの大きさを求めなさい。
（栃木県2017年入試問題）
∠x=° 採点する
(4)
　図１のように，∠A=37°, ∠E=20°, ∠CFD=97°の図形がある。∠xの大きさを求めなさい。
（北海道2017年入試問題）
∠x=° 採点する

【要点】
二等辺三角形の２つの底角は等しい．
その逆も成り立つ．
≪例≫
右図において
AB=ACのとき，∠B=∠Cが成り立つ．
逆に，∠B=∠Cのとき，AB=ACが成り立つ．
【例題】
　右の図のような，BA=BCの二等辺三角形ABCがある。
　このとき，∠xの大きさを求めなさい。
（山梨県2016年入試問題）
（解答）
∠ACB=180°−114°=66°
BA=BCの二等辺三角形だから，∠A=∠C=66°
さらに，三角形の内角の和は180°だから
∠x+66°+66°=180°
∠x=48°…（答） 		【問題２】
(1)
　右の図のように，∠BAC=42°, AB=ACの二等辺三角形ABCがあり，辺AC上にAD=BDとなる点Dをとる。このとき，∠xの大きさを求めなさい。
（山口県2015年入試問題）
∠x=° 採点する

(2)
　右の図Ⅰは，平行四辺形ABCDで，対角線ACと対角線BDの交点をOとする。
　DO=DCのとき，∠xの大きさを求めなさい。
（鳥取県2016年入試問題）
∠x=° 採点する
(3)
　右の図のような平行四辺形ABCDがあり，CA=CBである。対角線AC上に，２点A, Cと異なる点Eをとり，点Dと点Eを結ぶ。
　∠ABC=72°, ∠AED=104°であるとき，∠CDEの大きさは何度か。
（香川県2016年入試問題）
∠x=° 採点する

(4)
　右の図のように，∠ABC=78°のひし形ABCDがある。辺BC上にAB=AEとなる点Eをとる。点Dから線分AEに垂線をひき，線分AEとの交点をFとする。このとき，∠FDCの大きさを求めよ。
（高知県2016年入試問題）
∠x=° 採点する
(5)
　右の図で，四角形ABCDは長方形であり，△ACEはAC=AEの二等辺三角形である。線分BDと線分AEの交点をFとする。
　∠BAC=34°, ∠BFE=98°であるとき，∠xの大きさを求めなさい。
（三重県2015年入試問題）
∠x=° 採点する

【要点】
(1)　対頂角は等しい．
(2)　平行線の同位角は等しい．
(3)　平行線の錯角は等しい．
(4)　平行線の同側内角の和は180°に等しい．
≪例≫
(1)　右図で∠a=∠c, ∠b=∠d
以下，右図においてl//mとするとき
(2)　∠p=∠s
(3)　∠q=∠s
(3)　∠r+∠s=180°
【例題】
　右の図で，四角形ABCDは平行四辺形である。xの値を求めなさい。
（岐阜県2015年入試問題）
（解答）
平行線の錯角は等しいから
∠ADB=28°
平行線の同側内角の和は180°だから
110°+∠ADC=180°
∠ADC=70°
ゆえに
x°=70°−28°=42°
x=42…（答）
平行四辺形の性質「2組の向かい合う角はそれぞれ等しい」を使って，∠C=110°を求めてから
x+28+110=180
を解く方法も考えられる

【問題３】
(1)
　図２で，直線lと直線mが平行であるとき，∠xの大きさを求めなさい。
（沖縄県2015年入試問題）
∠x=° 採点する

(2)
　右図でl//mのとき，∠xの大きさは何度か。
（鹿児島県2017年入試問題）

∠x=° 採点する
(3)
　右の図で，２直線l, mは平行である。このとき，∠xの大きさを求めなさい。
（秋田県2016年入試問題）

∠x=° 採点する

(4)
　右の図のように，平行な２直線２直線l, mと△ABCがある。△ABCはAB=ACの二等辺三角形であり，頂点Cはm上にある。
　このとき，∠xの大きさを求めなさい。
（宮崎県2017年入試問題）

∠x=° 採点する
(5)
　右の図のように，正三角形ABCのAC上に点Dをとり，長方形BDEFうをつくる。EFとABの交点をGとする。∠ADB=73°であるとき，∠FGBの大きさを求めなさい。
（青森県2017年入試問題）

∠x=° 採点する

【要点】
(1)　多角形の外角の和は，360°に等しい．
※それぞれの内角に対して，外角は２つずつありますが，「外角の和」というときはそのうち1つずつの和を言います．
（解説）
右のアニメーションで分かるように，多角形の外角を１点の周りに集めると，ちょうど360°になります．
**ここを↓クリック**
≫外角を集める≪
≪外角を広げる≫
≪例≫
三角形の外角の和は360°
四角形の外角の和も360°
五角形の外角の和も360°
…
【要点】
(2)　ｎ角形の内角の和は180°×(n−2)に等しい．
（解説1）
ｎ角形の周りに平角(180°)がｎ個ある．
180°×n
そのうちで外角の和が360°だから，内角の和は
180°×n−360°
=180°×(n−2)
（解説2）
右の表のように，ｎ角形を三角形に分けると，
ｎ−2個の三角形になるから，
内角の和は
180°×(n−2)
になる．
≪例≫
三角形の内角の和は180°
四角形の外角の和も360°
五角形の外角の和も540°
…
【要点】
(3)　正ｎ角形の１つの内角の大きさはに等しい．
（解説1）
上記の要点(2)から，内角の和は
180°×(n−2)=180°×n−360°
だから，１つの内角の大きさは

（解説2）
上記の要点(2)が試験会場でスラスラと出て来るとは限らないので，右のような図を書いて，(3)の公式をその場で作ればよい
求めるものはx+y（実はx=yも成り立つ）
三角形の内角の和は180°だから
【例題】
　図１において，∠xの大きさは何度か，求めなさい。

（兵庫県2017年入試問題）

（解答）
各頂点の外角は，右図のようになるから
∠x+84°+55°+90°+58°=360°
∠x=73°…（答）
【問題４】
(1)
　右の図のように，五角形ABCDEがあり，頂点A, Cにおける内角がそれぞれ114°, 130°であり，頂点D, Eにおける外角がそれぞれ78°, 65°であるとき，頂点Bの内角の大きさは何度か。
（高知県2017年入試問題）
∠x=° 採点する

(2)
　右の図は，正五角形です。
　このとき，∠xの大きさを求めなさい。
（岩手県2016年入試問題）
∠x=° 採点する
(3)
　右の図で，五角形ABCDEは正五角形である，l//mである。このとき，∠xの大きさを求めよ。
（京都府2017年入試問題）

∠x=° 採点する

(4)
　右の図のように，正五角形ABCDEの頂点B, Dを通る直線をそれぞれl, mとする。l//mであるとき，∠xの大きさを求めなさい。
（青森県2015年入試問題）

∠x=° 採点する
(5)
　右の図のように，四角形ABCDがあり，点Eは∠ABCの二等分線と辺CDの交点，点Fは∠BADの二等分線と線分BEの交点である。∠ADC=80°, ∠BCD=74°のとき，∠xの大きさを求めなさい。
（秋田県2017年入試問題）
∠x=° 採点する
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