現在地と前後の項目 *** 用語 ***/平面図形の用語/空間図形の用語/*** 対称図形 ***/線対称な図形/点対称な図形/線対称と点対称/線対称移動,点対称移動/*** 面積と体積 ***/三角形の面積/扇形の面積/扇形の面積,円錐の表面積/立体の体積/立体の表面積/球の体積と表面積/扇形の面積(高校入試問題)/ ■(例題対比)扇形の面積,円錐の表面積 ![]() 円周率をπで表わすとき,半径 r の円の面積 S は r は円の直径ではなく,半径であることに注意 [例題1] ![]() (答案) S=π×32=9π …(答) ![]() (答案) 水色で示した大きい円の半径は 4,白で示した小さい円の半径は 2 だから, S=π×42−π×22=16π−4π=12π …(答) ![]() (答案) 正方形の面積は 10000(m2),半円2つ(=円)の面積は π×502=2500π(m2) だから,S=2500π+10000(m2) …(答) |
注意書き ○ π は 3.141592 ··· のような無限に続く小数になる. 数学の答案では,正確な値 π を使って表わすことが多い.近似値(およその値)が必要になったときは π として小数第2位までの値 3.14 を使えば,ほとんどの場合十分なので長々と覚える必要はない. ○ たとえば,左の公式で 半径 2 のとき,円の面積 S は,正確な値で S=4π と答えるのがよく,S=12.56 は近似値に過ぎないので S=12.56 と答えるのはよくない. ○ 「半径の長さが 2 の円の面積と1辺の長さが 3 の正方形の面積では,どちらが大きいか」というような問題では, S1=4π のままでは S2=9 と比べられないので, S1=12.56 と S2=9 を比べて,円の方が大きいと答える. ![]() (1) 右図の水色で示した輪の面積を求めなさい. 採点する やり直す 解説 (1) 大きな円の面積は π ×22=4π,小さな円の面積は π ×12=π だから,求める輪の面積は 4π−π=3π (2) 大きな円の面積は π ×22=4π,小さな円の面積は各々 π ×12=π だから,求める輪の面積は 4π−2π=2π |
【半円,4分円,6分円の面積】 [例題2]![]() 半径 r の円の半円の面積は ![]() ○ 4分円の面積は円の面積の4分の1に等しい. 半径 r の円の4分円(右図のように中心角が 90° の扇形)の面積は ![]() ○ 半径 r の円の中心角が 60° の扇形の面積は ![]() 1辺の長さが 2 の正方形において右図のように弧を描くとき,水色で示した部分の面積を求めなさい. ![]() 正方形の面積は 4 4分円の面積は ![]() だから,4−π …(答) |
[問題2]![]() (1) 4分円の面積 ![]() 直角三角形の面積 ![]() (2) 正方形の面積 4 から4分円×4の面積 πを引くと 4−π |
![]() πr2× ![]() ![]() ミカンやグレープフルーツを横に切って見ると,中心角が2倍,3倍,・・・になると扇形の面積も2倍,3倍,・・・となることが分かる. すなわち,扇形の面積は中心角に比例する. ![]() S : πr2=x : 360 360S=πr2x S=πr2× ![]() 例 上で述べた半円は,中心角 180° だから S=πr2× ![]() ![]() に等しい. [例題3] 半径 4,中心角 72° の扇形の面積を求めなさい. (答案) S=π×42× ![]() ![]() |
[問題3]![]() 採点する やり直す 解説 (1) S=π×62× ![]() (2) S=π×42× ![]() |
![]() 直円錐では,頂点から底面にひいた垂線は円の中心で交わる.また,母線の長さはどこで測っても等しい. 以下において「直円錐」のことを単に「円錐」という. 【円錐の表面積】 ![]() ○ 底面は半径 r の円だから,その面積は πr2 …(1) ○ 側面の扇形の面積を求めるためには,その中心角を求めることが重要になる. 円錐の展開図において,扇形の「弧の長さ」が底面の「円周の長さ」と等しいことから扇形の中心角が求められる. 弧は,半径 R の円の一部分で,その長さは中心角に比例する.中心角が 360° のときは円になって 2πR 中心角が x° のとき,弧の長さは 2πR× ![]() これが底面の円周の長さ 2πr に等しいことから, 2πR× ![]() x= ![]() 半径 R,中心角 ![]() πR2× ![]() ![]() (1)(2)を加えて,πr2+πRr ![]() 右図の円錐の表面積を求めなさい. (答案) 底面積は π×22=4π …(1) 展開図における扇形の中心角を x° とおくと 2π×6× ![]() x=120° 側面積は π×62× ![]() (1)(2)より 16π …(答) |
[問題4]![]() 採点する やり直す 解説 (1) 底面は半径 2 の円だから,底面積は π×22=4π 展開図において扇形の中心角を x° とおくと,扇形の弧の長さが底面の円周の長さと等しくなるから, 2π×8× ![]() x=90° 側面積(扇形の面積)は,π×82× ![]() 底面積と側面積(扇形の面積)を加えると,表面積は 20π (2) 底面は半径 3 の円だから,底面積は π×32=9π 展開図において扇形の中心角を x° とおくと,扇形の弧の長さが底面の円周の長さと等しくなるから, 2π×6× ![]() x=180° 側面積(扇形の面積)は,π×62× ![]() 底面積と側面積(扇形の面積)を加えると,表面積は 27π (3) 底面は半径 6 の円だから,底面積は π×62=36π 展開図において扇形の中心角を x° とおくと,扇形の弧の長さが底面の円周の長さと等しくなるから, 2π×9× ![]() x=240° 側面積(扇形の面積)は,π×92× ![]() 底面積と側面積(扇形の面積)を加えると,表面積は 90π |
鬯ッ�ョ�ス�ォ�ス�ス�ス�ィ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス鬯ッ�ゥ隰ウ�セ�ス�ス�ス�オ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�コ鬯ッ�ョ�ス�ヲ�ス�ス�ス�ョ鬮ッ�キ�ス�サ�ス�ス�ス�サ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス鬯ッ�ゥ陝キ�「�ス�ス�ス�「�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ァ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�オ鬯ッ�ゥ陝キ�「�ス�ス�ス�「�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ァ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�、鬯ッ�ゥ陝キ�「�ス�ス�ス�「鬮ォ�エ闕オ證ヲ�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�コ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�・�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス鬯ッ�ゥ隰ウ�セ�ス�ス�ス�オ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�コ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ョGoogle鬯ッ�ョ�ス�ォ�ス�ス�ス�カ�ス�ス邵コ�、�つ鬯ョ�ォ�ス�イ髯晢スキ�ス�「�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�エ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�「鬯ッ�ョ�ス�ォ�ス�ス�ス�ィ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス |