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現在地と前後の項目 *** 用語 ***/平面図形の用語/空間図形の用語/*** 対称図形 ***/線対称な図形/点対称な図形/線対称と点対称/線対称移動，点対称移動/*** 面積と体積 ***/三角形の面積/扇形の面積/扇形の面積,円錐の表面積/立体の体積/立体の表面積/球の体積と表面積/扇形の面積（高校入試問題）/ ■（例題対比）扇形の面積，円錐の表面積  【円の面積】円周率をπで表わすとき，半径 r の円の面積 S は r は円の直径ではなく，半径であることに注意 ［例題１］  (1) 半径の長さが 3 の円の面積を求めなさい．（答案） S=π×32=9π …（答）  (2) 右図の水色で示した図形の面積を求めなさい．（答案） 水色で示した大きい円の半径は 4，白で示した小さい円の半径は 2 だから， S=π×42−π×22=16π−4π=12π …（答）  (3) 右図のような競技場の面積を求めなさい．（答案） 正方形の面積は 10000(m2)，半円２つ（=円）の面積は π×502=2500π(m2) だから，S=2500π+10000(m2) …（答） |
注意書き ○ π は 3.141592 ··· のような無限に続く小数になる． 数学の答案では，正確な値 π を使って表わすことが多い．近似値（およその値）が必要になったときは π として小数第2位までの値 3.14 を使えば，ほとんどの場合十分なので長々と覚える必要はない． ○ たとえば，左の公式で 半径 2 のとき，円の面積 S は，正確な値で S=4π と答えるのがよく，S=12.56 は近似値に過ぎないので S=12.56 と答えるのはよくない． ○ 「半径の長さが 2 の円の面積と１辺の長さが 3 の正方形の面積では，どちらが大きいか」というような問題では， S1=4π のままでは S2=9 と比べられないので， S1=12.56 と S2=9 を比べて，円の方が大きいと答える．  ［問題１］(1) 右図の水色で示した輪の面積を求めなさい． 採点する やり直す 解説 (1) 大きな円の面積は π ×22=4π，小さな円の面積は π ×12=π だから，求める輪の面積は 4π−π=3π (2) 大きな円の面積は π ×22=4π，小さな円の面積は各々 π ×12=π だから，求める輪の面積は 4π−2π=2π |
【半円，４分円，６分円の面積】 ［例題２］ ○ 半円の面積は円の面積の半分に等しい．半径 r の円の半円の面積は  πr22○ ４分円の面積は円の面積の４分の１に等しい． 半径 r の円の４分円（右図のように中心角が 90° の扇形）の面積は πr24○ 半径 r の円の中心角が 60° の扇形の面積は πr26１辺の長さが 2 の正方形において右図のように弧を描くとき，水色で示した部分の面積を求めなさい．  （答案）正方形の面積は 4 ４分円の面積は π224=πだから，4−π …（答） |
［問題２］ (1) 右図の水色で示した部分の面積を求めなさい．採点する やり直す 解説(1) ４分円の面積  π224=π から底辺の長さが 2，高さが 2の直角三角形の面積 2×22=2 を引くと π- 2(2) 正方形の面積 4 から４分円×4の面積 πを引くと 4−π |
 【扇形の面積】 半径 r， 中心角 x° の扇形の面積はπr2×  x360 （解説）ミカンやグレープフルーツを横に切って見ると，中心角が２倍，３倍，･･･になると扇形の面積も２倍，３倍，･･･となることが分かる． すなわち，扇形の面積は中心角に比例する．  そこで，扇形の面積を S，円の面積を πr2 とおくと，S : πr2=x : 360 360S=πr2x S=πr2× x360例 上で述べた半円は，中心角 180° だから S=πr2× 180360=πr22に等しい． ［例題３］ 半径 4，中心角 72° の扇形の面積を求めなさい． （答案） S=π×42× 72360=16π5 …（答） |
［問題３］ (1) 半径 6，中心角 120° の扇形の面積を求めなさい．採点する やり直す 解説 (1) S=π×62× 120360=12π(2) S=π×42× 45360=2π |
 ○ 中学校で「円錐」といえば「直円錐」のことをいう．直円錐では，頂点から底面にひいた垂線は円の中心で交わる．また，母線の長さはどこで測っても等しい． 以下において「直円錐」のことを単に「円錐」という． 【円錐の表面積】  ○ 底面の半径が r，母線の長さが R の円錐の表面積を求めるには，右図のように展開図で考え，底面積=円と側面積=扇形の面積を各々求めて加えるとよい．○ 底面は半径 r の円だから，その面積は πr2 …(1) ○ 側面の扇形の面積を求めるためには，その中心角を求めることが重要になる． 円錐の展開図において，扇形の「弧の長さ」が底面の「円周の長さ」と等しいことから扇形の中心角が求められる． 弧は，半径 R の円の一部分で，その長さは中心角に比例する．中心角が 360° のときは円になって 2πR 中心角が x° のとき，弧の長さは 2πR× x360 これが底面の円周の長さ 2πr に等しいことから， 2πR× x360=2πrx= 360rR半径 R，中心角 360rR の扇形の面積を求めるとπR2× x360=πR2×rR=πRr …(2)(1)(2)を加えて，πr2+πRr  ［例題４］右図の円錐の表面積を求めなさい． （答案） 底面積は π×22=4π …(1) 展開図における扇形の中心角を x° とおくと 2π×6× x360=2π×2x=120° 側面積は π×62× 120360=12π …(2)(1)(2)より 16π …（答） |
［問題４］ (1) 右の円錐において，採点する やり直す 解説 (1) 底面は半径 2 の円だから，底面積は π×22=4π 展開図において扇形の中心角を x° とおくと，扇形の弧の長さが底面の円周の長さと等しくなるから， 2π×8× x360=2π×2x=90° 側面積（扇形の面積）は，π×82× 90360=16π底面積と側面積（扇形の面積）を加えると，表面積は 20π (2) 底面は半径 3 の円だから，底面積は π×32=9π 展開図において扇形の中心角を x° とおくと，扇形の弧の長さが底面の円周の長さと等しくなるから， 2π×6× x360=2π×3x=180° 側面積（扇形の面積）は，π×62× 180360=18π底面積と側面積（扇形の面積）を加えると，表面積は 27π (3) 底面は半径 6 の円だから，底面積は π×62=36π 展開図において扇形の中心角を x° とおくと，扇形の弧の長さが底面の円周の長さと等しくなるから， 2π×9× x360=2π×6x=240° 側面積（扇形の面積）は，π×92× 240360=54π底面積と側面積（扇形の面積）を加えると，表面積は 90π |
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