展開公式

【 $(a \pm b)^2$ の展開】
$(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2$ …(1)
$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2$ …(2)

（解説）
(1)←
$(a + b)^2$ すなわち $(a + b)(a + b)$ の展開を行うには，右図のように「総当たり」になるように順に掛けて，できた項を足します．

　≪この公式の図形的な意味≫
　右図のような１辺の長さが $a + b$ である正方形の面積 $(a + b)^2$ は

正方形２個 $a^2$ と $b^2$
長方形２個 $ab$ と $ba$

の和になるが，そのうち２つの長方形は掛け算の順序が違うだけで同じものなので $2ab$ とまとめると，結局
$a^2 + 2ab + b^2$
に等しいということを示しています．

(2)についても図形的な解釈をやろうと思えばできますが，３乗，４乗･･･の展開もいずれ登場することを考えると，いつまでも簡単な図形で示せるとは限りません．ここでは文字式としての「計算方法」だけは身に付けるようにします･･･文字式の変形規則は，少々複雑になっても混乱しないようにうまくできているので，基本の部分をしっかり身に付けるようにしましょう．
　(2)の公式も次のように示すことができます． $(a - b)^2=(a-b)(a-b)$
$=a^2 -ab -ba + b^2$
$=a^2 -2ab + b^2$

次の項目

○指数法則 $(ab)^2=a^2 b^2$ の公式と混同しないように

指数法則の公式は，掛け算だけでできていて，書ける順序を入れ替えてもよいということを表しています．
$(ab)^2=(ab)(ab)=aabb=a^2 b^2$
はこれで正しい．

しかし，見かけの似ているこの話につられて足し算や引き算の２乗のときに次のように考えると間違いですので注意しましょう．
$(a + b)^2=a^2 + b^2$ は間違い．

正しくは，次のように $a^2$ と $b^2$ 以外にそれらの混合物 $ab$ が入っています．
$(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2$ …(1)
$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2$ …(2)

○公式を使うとは，結果を使って「省エネ」「エコ」で行うということ

　例えば(1)式を証明するときに
$(a + b)^2$ …(*1)
$=(a + b)(a + b)$ …(*2)
$=aa + ab + ba + bb$ …(*3)
$=a^2 + 2ab + b^2$ …(*4)
のように計算しましたが，このように計算するのは公式の証明のときだけです．

　すなわち，普通の計算問題をやるときに次のように行うと，「公式を使ったことにはなりません」．
$(2x + 3)^2$ …(*1)
$=(2x + 3)(2x + 3)$ …(*2)
$=(2x)\cdot(2x) + (2x)\cdot(3) + (3)\cdot(2x) + (3)\cdot(3)$ …(*3)
$=4x^2 + 12x + 9$ …(*4)

　上の(*2)(*3)のような「総当たり計算」を毎回行うのは時間と労力の無駄が多いので，「総当たり計算は公式にまかせておいて」(*1)の入口に入ったら直ちに(*4)の出口から出てくるということが「公式を使う」ということの意味です．だからこの計算を「公式を使って」行うと次のようになります．
$(2x + 3)^2$ …(*1)
$=(2x)^2 + 2\cdot (2x)\cdot 3 + 3^2$ …(*4)
$=4x^2 + 12x + 9$

○(2)の公式で $b^2$ の符号もプラスであることに注意

$(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2$ …(1)
の公式はなんとか覚えたとして，うっかりしていると
$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2$ …(2)
の公式の $b^2$ の符号がマイナスだと思い込んでしまう生徒がときどきいるので注意しましょう．
　公式の証明を見れば分かるように， $(a$ − $b)^2$ となっていても

(− $b)\times$ (− $b)$ → $b^2$

となって符号はプラスになります．

○２乗は２倍とは違う

(1)(2)の公式では２乗の計算がしばしば登場します．「ついうっかり」２乗の計算と２を掛ける計算を間違うことが多いので，気を付けましょう．

	よくある間違い	正しくは
$3^2$	$6$	$9$
$(\frac{1}{3})^2$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{9}$

次の項目

	問題	答	計算
(1)	$(x+ 1)^2$	$x^2+2x+1$	[？]
(2)	$(a+3)^2$	$a^2+6a+9$	[？]
(3)	$(x-2)^2$	$x^2-4x+4$	[？]
(4)	$(y-4)^2$	$y^2-8y+ 16$	[？]

(5)	$(x+ \frac{1}{2})^2$	$x^2+x+\frac{1}{4}$	[？]
(6)	$(a+ \frac{1}{3})^2$	$a^2+\frac{2}{3}a+\frac{1}{9}$	[？]
(7)	$(x- \frac{3}{2})^2$	$x^2-3x +\frac{9}{4}$	[？]
(8)	$(a- \frac{1}{4})^2$	$a^2-\frac{1}{2}a +\frac{1}{16}$	[？]

(9)	$(2x+ 3)^2$	$4x^2+ 12x + 9$	[？]
(10)	$(3a-2)^2$	$9a^2-12a + 4$	[？]
(11)	$(-2x+ 5)^2$	$4x^2-20x + 25$	[？]
(12)	$(-3y-5)^2$	$9y^2+ 30y + 25$	[？]

(13)	$(\frac{1}{3}x+ 1)^2$	$\frac{1}{9}x^2+ \frac{2}{3}x + 1$	[？]
(14)	$(\frac{1}{2}x+ \frac{1}{3})^2$	$\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{9}$	[？]
(15)	$(\frac{a}{2}- \frac{1}{7})^2$	$\frac{a^2}{4} - \frac{a}{7} + \frac{1}{49}$	[？]
(16)	$(-\frac{y}{5}+ \frac{1}{4})^2$	$\frac{y^2}{25} - \frac{y}{10} + \frac{1}{16}$	[？]

(17)	$(2x+ 3y)^2$	$4x^2+ 12xy + 9y^2$	[？]
(18)	$(2a-\frac{b}{3})^2$	$4a^2-\frac{4}{3}ab + \frac{b^2}{9}$	[？]
(19)	$(\frac{x}{4}+\frac{y}{2})^2$	$\frac{x^2}{16}+\frac{xy}{4} + \frac{y^2}{4}$	[？]
(20)	$(\frac{2a}{3}-\frac{3b}{4})^2$	$\frac{4a^2}{9}-ab + \frac{9b^2}{16}$	[？]

次の項目

【問題】
　次の式を展開してください．
　はじめに左欄の問題を選び，続いて右欄の展開式を選んでください．やり直すときは，右欄を連打するのでなく，左欄の問題を選び直すことから始めてください．

(1)

$(x +3 )^2$

HELP

$(x + 3 )^2$
$=x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2$
$=x^2 + 6x + 9$

$x^2 + 2x + 3$

$x^2 + 2x + 9$

$x^2 + 6x + 6$

$x^2 + 6x + 9$

(2)

$(a + 5)^2$

HELP

$(a + 5 )^2$
$=a^2 + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2$
$=a^2 + 10a + 25$

$a^2 + 2a + 10$

$a^2 + 2a + 25$

$a^2 + 10a + 10$

$a^2 + 10a + 25$

(3)

$(x-4)^2$

HELP

$(x - 4 )^2$
$=x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2$
$=x^2 - 8x + 16$

$x^2 - 8x + 16$

$x^2 + 8x - 16$

$x^2 - 16$

$x^2 - 2x - 16$

(4)

$(2x - 1)^2$

HELP

$(2x - 1 )^2$
$=(2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2$
$=4x^2 - 4x + 1$

$2x^2 - 2x + 1$

$2x^2 - 4x + 1$

$4x^2 - 2x + 1$

$4x^2 - 4x + 1$

次の項目

(1)

$(x - \frac{1}{2} )^2$

HELP

$(x - \frac{1}{2} )^2$
$=x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$
$=x^2 - x + \frac{1}{4}$

$x^2 - x + 1$

$x^2 - x + \frac{1}{4}$

$x^2 -2x + 1$

$x^2 - 2x + \frac{1}{4}$

(2)

$(a + \frac{2}{3})^2$

HELP

$(a + \frac{2}{3} )^2$
$=a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{2}{3} + (\frac{2}{3})^2$
$=a^2 + \frac{4}{3}a + \frac{4}{9}$

$a^2 + \frac{2}{3}a + \frac{4}{3}$

$a^2 + \frac{2}{3}a + \frac{4}{9}$

$a^2 + \frac{4}{3}a + \frac{4}{3}$

$a^2 + \frac{4}{3}a + \frac{4}{9}$

(3)

$(y-\frac{3}{4})^2$

HELP

$(y - \frac{3}{4} )^2$
$=y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^2$
$=y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}$

$y^2 - \frac{3}{2}y - \frac{3}{2}$

$y^2 - \frac{3}{2}x - \frac{9}{16}$

$y^2 - \frac{3}{2}y + \frac{3}{2}$

$y^2 - \frac{3}{2}y + \frac{9}{16}$

(4)

$(x + \frac{3}{2})^2$

HELP

$(x + \frac{3}{2} )^2$
$=x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2$
$=x^2 + 3x + \frac{9}{4}$

$x^2 + 3x + 3$

$x^2 + 3x + \frac{9}{4}$

$x^2 + 6x + 3$

$x^2 + 6x + \frac{9}{4}$

次の項目

(1)

$(2a - 3 )^2$

HELP

$(2a - 3)^2$
$=(2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot 3 + 3^2$
$=4a^2 - 12a + 9$

$4a^2 - 6a + 9$

$4a^2 - 6a -9$

$4a^2 -12a + 9$

$4a^2 - 12a -9$

(2)

$(-3x + 5)^2$

HELP

$(-3x + 5)^2$
$=(-3x)^2 + 2 \cdot (-3x) \cdot 5 + 5^2$
$=9x^2 - 30x + 25$

$6x^2 + 30x + 10$

$-6x^2 -15x + 10$

$9x^2 + 30x + 25$

$9x^2 - 30x + 25$

(3)

$(\frac{x}{5}-\frac{2}{3})^2$

HELP

$(\frac{x}{5} - \frac{2}{3} )^2$
$=(\frac{x}{5})^2 - 2 \cdot (\frac{x}{5}) \cdot \frac{2}{3} + (\frac{2}{3})^2$
$=\frac{y^2}{25} - \frac{4}{15}y + \frac{4}{9}$

$\frac{x^2}{25} - \frac{4}{15}x + \frac{4}{9}$
$\frac{x^2}{25} - \frac{2}{15}x + \frac{4}{9}$
$\frac{x^2}{10} - \frac{4}{15}x + \frac{4}{9}$
$\frac{x^2}{10} - \frac{2}{15}x + \frac{4}{9}$

(4)

$(-\frac{y}{3}+ \frac{3}{2})^2$

HELP

$(- \frac{y}{3} + \frac{3}{2} )^2$
$=(-\frac{y}{3})^2 + 2 \cdot (-\frac{y}{3}) \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2$
$=\frac{y^2}{9} - y + \frac{9}{4}$

$-\frac{y^2}{9} - y + \frac{9}{4}$
$-\frac{y^2}{9} + 3y + \frac{9}{4}$
$\frac{y^2}{9} - y + \frac{9}{4}$
$\frac{y^2}{9} - 3y + \frac{9}{4}$

次の項目

(1)

$(3x + 4y)^2$

HELP

$(3x + 4y)^2$
$=(3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (4y) + (4y)^2$
$=9x^2 + 24xy + 16y^2$

$3x^2 + 2xy + 4y^2$

$6x^2 + 2xy + 8y^2$

$9x^2 + 24xy + 16y^2$

$9x^2 + 12xy + 16y^2$

(2)

$(3a - \frac{b}{3})^2$

HELP

$(3a - \frac{b}{3})^2$
$=(3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot (\frac{b}{3}) + (\frac{b}{3})^2$
$=9a^2 - 2ab + \frac{b^2}{9}$

$9a^2 - ab + \frac{b^2}{9}$

$9a^2 - 2ab + \frac{b^2}{9}$

$9a^2 - ab + \frac{2}{3}b^2$

$9a^2 - 2ab + \frac{2}{3}b^2$

(3)

$(\frac{x}{2}+\frac{y}{4})^2$

HELP

$(\frac{x}{2} + \frac{y}{4} )^2$
$=(\frac{x}{2})^2 + 2 \cdot (\frac{x}{2}) \cdot (\frac{y}{4}) + (\frac{y}{4})^2$
$=\frac{x^2}{4} + \frac{xy}{4} + \frac{y^2}{16}$

$\frac{x^2}{4} + \frac{xy}{4} + \frac{y^2}{16}$
$x^2 + \frac{xy}{4} + \frac{y^2}{2}$
$x^2 + 2xy + \frac{y^2}{2}$
$\frac{x^2}{4} + 2xy + \frac{y^2}{16}$

(4)

$(\frac{3a}{2} - \frac{2b}{3})^2$

HELP

$(\frac{3a}{2} - \frac{2b}{3} )^2$
$=(\frac{3a}{2})^2 - 2 \cdot (\frac{3a}{2}) \cdot (\frac{2b}{3}) + (\frac{2b}{3})^2$
$=\frac{9}{4}a^2 - 2ab + \frac{4}{9}b^2$

$\frac{3}{2}a^2 - 2ab + \frac{2}{3}b^2$
$\frac{3}{2}a^2 - ab + \frac{2}{3}b^2$
$\frac{9}{4}a^2 - ab + \frac{4}{9}b^2$
$\frac{9}{4}a^2 - 2ab + \frac{4}{9}b^2$

*** END ***

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