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中学数学>> 中学１年 >>平面図形･空間図形

　右図１のような三角形の面積は、いずれも （底辺）×（高さ）÷２ 　で求められます。
　次のように分数の形で書くこともできます。

　右図２の三角形の面積は、4×3=12ではなく、4×3÷2=6になります。

　右図３の三角形ABCで、底辺BCに対する高さは6になりますから、面積は5×6÷2=15になります。

　右図４の多角形ABCDEは長方形ABCFから三角形DFEを取り除いたものになっているから、その面積を求めるには：
長方形ABCFの面積4×5=20から
三角形DFEの面積3×4÷2=6を引いて
14になります。

　右図５の三角形ABCは正方形から３個の三角形を取り除いたものだから、その面積は16−(2+4+4)=6になります。

　右図６の凹四角形ABCDは三角形ABDから三角形BDCを取り除いたものだから、その面積は

　右図７は実際の地形で500(m)に相当する長さを1(cm)で表した設計図だとします。このとき、実際の地形で三角形ABCの面積を求めるには：
BD=3×500=1500(m)
AC=4×500=2000(m)
三角形ABCの面積は1500×2000÷2=1500000(m2)になります。

（面積）＝.（底辺）×（高さ）2nnnnnnnnnnnnnnn

→ （高さ）＝.2×（面積）（底辺）nnnnnnnn

→ （底辺）＝.2×（面積）（高さ）nnnnnnnn

　右図８において三角形ABCの面積は9×12÷2=54です。
　一方で、ACを底辺と見ると、三角形ABCは面積と底辺が分かっていることになり、
　54=15×BD÷2よりBD=7.2

(1)　左の△ABCの面積は

10 16 20 32 40

　

(2)　左の△ABCの面積は

2 6 7 9 12

　

(3)　左の△ABCの面積が48であるとき、ADの長さは

6 8 10 12 14

　

　三角形の面積は （底辺）×（高さ）÷２ 　で求められますので、（底辺）の長さが等しい２つの三角形の面積の比は（高さ）の比に等しくなります。

　（高さ）が等しい２つの三角形の面積の比は（底辺）の比に等しくなります。

　右図９において三角形ABCとBCDとは、底辺BCの長さが等しいから、
△ABC=BC×5÷2
△BCD=BC×3÷2
それらの面積の比は、△ABC:△BCD=5:3になります。
（BCの長さが書いてなくても、面積の比は求められます。）

　右図10において三角形ABCとCDAとは、高さhが等しいから、
△ABC=4×h÷2
△CDA=7×h÷2
それらの面積の比は、△ABC:△CDA=4:7になります。
（高さhが書いてなくても、面積の比は求められます。）

　右図11においてABCDはAD/BCの台形とする。このとき、三角形ABDとBCDとは、高さが等しいから面積の比は底辺の比に等しく、3:5になります。

　右図12においてABCDはAD/BCの台形とする。このとき、三角形ABCとBCDとは、底辺が共通で高さが等しいから面積が等しい。次に、共通に含まれる三角形BCEを取り除くと、三角形ABEの面積と三角形CDEの面積は等しくなります。
　これらの面積が等しいのは、AD/BCのためであり、ABとDCは平行でないから、三角形AEDの面積と三角形BCEの面積は等しくない（AD≠BCである限り、等しいとは限らない）。

　右図13のように、２つの三角形の辺が１つの斜辺上にあるとき、これらの三角形の高さの比は斜辺の長さの比に等しくなります。

　右図13において△BEDと△BFAは相似だから、AF:DE=AB:DB

　右図14において△DEGと△DFAは相似だから、AF:GE=AD:GD

　右図13において△BCDと△BCAは、底辺が共通だからそれらの面積比は高さの比に等しく、DB:ABに等しい。

　右図14において△BCGと△BCAは、底辺が共通だからそれらの面積比は高さの比に等しく、GD:ADに等しい。

(1)　左図において四角形ABCDがAD//BCとなる台形であるとき、三角形ADCと三角形ABCの面積比を求めてください。

△ADC:△ABC=
3:4 3:5 3:7 4:15 5:7

　

(2)　左図において△ABDと△BCDの面積比を求めてください。
△ABD:△BCD=
1:3 2:3 3:5 5:7 6:7

(3)　左図において△ABDと△CADの面積比を求めてください。
△ABD:△CAD=
2:3 3:4 4:5 5:6 8:15

　

　右図15のように、２つの三角形について１つの角が共通であるとき、これらの三角形の面積の比は共通な角を挟む２辺の積の比になります。

　右図15において△BEDと△BCAの底辺（BC上にとるものとする）の比は、3:7
　また、高さの比は2:5だから
△BEDと△BCAの面積の比は3·2 : 7·5=6 : 35
（△BEDや△BCAの面積が6と35になるということではない。それらの比が求まるということ。）

　右図16において△BCEと△ACDの底辺の比は、13:7、高さの比は3:5だから、△BCEと△ACDの面積の比は39:35

(1)　左図において三角形DBEと三角形ABCの面積比を求めてください。

△DBE:△ABC=
2:3 3:4 3:10 4:5 8:15

　

(2)　左図において△ABPと△BCPの面積比を求めてください。
△ABP:△BCP=
6:5 7:4 7:11
21:10 21:22

　

(3)　左図において△ABPと△CDPの面積比を求めてください。
△ABP:△CDP=
3:7 4:5 7:12 12:35 15:28