分数の符号

■分数の符号

■割り算と符号

○　割り算の符号は次の左欄のように決められます。これを分数で表すと右欄のようになります。

（正）÷（正）＝（正）		.（正）（正）nnn ＝（正）
（正）÷（負）＝（負）		.（正）（負）nnn ＝（負）
（負）÷（負）＝（正）		.（負）（負）nnn ＝（正）
（負）÷（正）＝（負）		.（負）（正）nnn ＝（負）

(I)　分数の符号の「基本」：

■分数の符号の書き方

○　分数の符号は「分数の左側」または「分子」にまとめて１つだけ書くのが普通です。
　また、正の符号は省略できます。

例

(+2)(+3)nnn= + .

23n　または　.

(+2)(+3)nnn= .

23n

(+3)(−4)nnn= − .

34n　または　.

(+3)(−4)nnn= .

−34nn

(−5)(−7)nnn= + .

57n　または　.

(−5)(−7)nnn= .

57n

(−2)(+5)nnn= − .

25n　または　.

(−2)(+5)nnn= .

−25nn

右上に続く↑

→続き
○　分数の符号は、途中経過では「分数の左側」「分子」「分母」のいずれにも付いていることがありますが、最後にまとめるときは「分数の左側」または「分子」にまとめて１つだけ書くのが普通です。
　また、正の符号は省略できます。

例

(+2)(−3)nnn　→（１個だから負）→　− .

23n または .

−23nn

− .

(+2)(−3)nnn　→（２個だから正）→　.

23n

− .

(−3)(−4)nnn　→（３個だから負）→　− .

34n または .

−34nn

−(−4)(−7)nnnnn　→（３個だから負）→　− .

47n または .

−47nn

− .

−(−3)(−5)nnnnn　→（４個だから正）→　.

35n

(II)　分数の符号の「応用」：

≪問題１≫　次の各数を分数の左側に符号をまとめた形で表すとどうなりますか。正しいものを選んでください。ただし、正の符号は省略するものとします。

(1)(−4)÷(+3)= .

43n

(2)(−5)÷(−6)= .

65n

(3).

(+3)(−4)nnnn= .

34n − .

34n .

43n − .

43n

(4).

2−(−5)nnnnn= .

52n − .

52n .

25n − .

25n

(5)− .

8−5nn= .

58n − .

58n .

85n − .

85n

≪問題２≫　次の各分数について、分子に符号をまとめた形で表すとどうなりますか。正しいものを選んでください。ただし、正の符号は省略するものとします。

(1)3÷(−7)= .

37n .

−37nn .

73n .

−73nn

(2).

−(−9)−7nnnnn= .

97n .

−97nn .

79n .

−79nn

(3)− .

−2−7nn= .

72n .

−72nn .

27n .

−27nn

(4)− .

−(−3)8nnnnn= .

38n .

−38nn .

83n .

−83nn

(5)− .

−5−(−7)nnnnn= .

57n .

−57nn .

75n .

−75nn

★参考：負の数を割った余り、負の数で割った余り★

　中学校１年では（いや高校３年でも）以上の解説で十分で、「結局のところ、分数の符号なんてどこに付いていても同じ」と考えることができます。
　だから、例えば

−abnn= .

a−bnn= − .

abn

が常に成り立ちます。
　しかし、「これは分数で表す場合」の話です。「分数で表すとは限らない場合としては、余りを求める場合」があります。

(1) まず、正の整数を正の整数で割ったときの商と余り、分数の整数部分と小数部分について

「9÷4 の商は2、余りは1」⇔「9=2·4+1」

「.

94n=2+.

14nの整数部分は2、小数部分は0.25」

ここまでは、誰でも納得します。
さらに数学の参考書では、割られる数が負の整数である場合も含めて、割る数が正の整数である限り余りは０以上となっています。
a , b(b>0)が整数のとき，a=bq+r (0≦r<b)

(2) それでは、負の整数で割ったときの余りや負の数を分母とする分数の小数部分はどのように決めるのでしょうか。

9÷(−4) の商と余りはいくらになるのか？

9−4nnの整数部分、小数部分はいくらになるか？

　この問題に対する解決方法はいくつかあり、筆者の考えでは「どれが正しいか」ではなく「どの定義が便利か」「どの定義を使っている人が多いか」という話になると思われる。特に、コンピュータでは「処理系」によって結果が異なるとされていることが参考になる。

a,b,q,rは整数 a=bq+r	(I) 余りは正の数と決める。0≦r<\|b\| 余りが常に０以上になる。	(II) 余りは絶対値が最も小さくなるように決める。-\|b\|/2≦r<\|b\|/2 整数部分が「四捨五入」の計算に対応している。	(III) 余りの符号は、被除数aの符号に一致させる (JavaScriptの % 演算子，VBAの演算子 a MOD b など)	(IV) 余りの符号は除数bの符号に一致させる (Excelのワークシート関数:MOD(a,b)，Rの%%演算子など) 小数部分が常に０以上になる。
9÷4 .94n	商は2、余りは1 ⇔　9=2·4+1 ⇔　.94n=2+.14n ⇔　.94nの整数部分は2、小数部分は0.25	同左ただし、次の分数では同じにならない。 ⇔　.114nn=3+.−14nn=3+(−0.25)	同左	同左
(−9)÷4 .−94nn	商は−3、余りは3 ⇔　−9=−3·4+3 ⇔　.−94nn=−3+.34n ⇔　.−94nnの整数部分は−3、小数部分は0.75	商は−2、余りは−1 ⇔　−9=−2·4−1 ⇔　.−94nn=−2+.−14nn ⇔　.−94nnの整数部分は−2、小数部分は−0.25	商は−2、余りは−1 ⇔　−9=−2·4−1 ⇔　.−94nn=−2+.−14nn ⇔　.−94nnの整数部分は−2、小数部分は−0.25	商は−3、余りは3 ⇔　−9=−3·4+3 ⇔　.−94nn=−3+.34n ⇔　.−94nnの整数部分は−3、小数部分は0.75
9÷(−4) .9−4nn	商は−2、余りは1 ⇔　9=(−2)·(−4)+1 ⇔　.9−4nn=−2+.1−4nn ⇔　.9−4nnの整数部分は−2、小数部分は−0.25	同左ただし、他の数の場合にも常に一致するわけではない	商は−2、余りは1 ⇔　9=(−2)·(−4)+1 ⇔　.9−4nn=−2+.1−4nn ⇔　.9−4nnの整数部分は−2、小数部分は−0.25	商は−3、余りは−3 ⇔　9=(−3)·(−4)+(−3) ⇔　.9−4nn=−3+.−3−4nn ⇔　.9−4nnの整数部分は−3、小数部分は0.75
(−9)÷(−4) .−9−4nn	商は3、余りは3 ⇔　−9=3·(−4)+3 ⇔　.−9−4nn=3+.3−4nn ⇔　.−9−4nnの整数部分は3、小数部分は−0.75	商は2、余りは−1 ⇔　−9=2·(−4)+(−1) ⇔　.−9−4nn=2+.−1−4nn ⇔　.−9−4nnの整数部分は2、小数部分は0.25	商は2、余りは−1 ⇔　−9=2·(−4)+(−1) ⇔　.−9−4nn=2+.−1−4nn ⇔　.−9−4nnの整数部分は2、小数部分は0.25	商は2、余りは−1 ⇔　−9=2·(−4)+(−1) ⇔　.−9−4nn=2+.−1−4nn ⇔　.−9−4nnの整数部分は2、小数部分は0.25

○　整数問題などをよく扱う人は(I)がなじみやすく、小数計算をよく扱う人（例えば桁数は常用対数の整数部分(+1)に対応）は(IV)が便利に感じるかもしれない。

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