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現在地と前後の項目 ◎は詳し目の解説あり/◎平行線と角1/平行線と角2/◎平行線と角3/三角形の内角の和/外角/◎多角形,正多角形/◎二等辺三角形の角/練習問題1/練習問題2/四角形の性質/直線図形(入試問題)/
多角形の外角
よくある間違い:図１のように、多角形の１つの辺とこれに隣接する辺の延長とがなす角を外角という. 外角は内角の補角である. 外角は図２のような角ではない. 注意: 各内角には２つの外角があるが,外角の大きさというときにはそのうちの１つだけを指す. |
図 1
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多角形の外角の和
多角形の外角の和は360°である.
(証明)外角を辺に沿って集めると,１点の周りの角になる. １点のまわりの角は360°であるから,外角の和は360°になる. |
(クリック)→集める (クリック)→外角に分ける 図 4  |
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ｎ角形の内角の和
ｎ角形の内角の和は180°×(n−2).
(証明 1)ｎ角形の頂点の個数はｎ個である. (図5) ｎ個の内角とｎ個の外角の総和は, |
図5
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(証明 2) １つの三角形の内角の和は180°. 図6で示されるように, ｎ角形はn−2個の三角形に分けられるから,内角の和は(n−2)×180°. |
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問題 1
1.xの大きさを求めなさい.
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(外角)=180°−110°=70° | ||||||||||||||||||
2.xの大きさを求めなさい.
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三角形の内角の和は180°だから50°+30°+∠a=180° ∠a=100° 内角と外角の和は180°. ∠x=180°−∠a=180°−100°=80° |
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3.x+y+zの大きさを求めなさい.
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三角形の内角の和は180°だから∠a+∠b+∠c=180° 各々の内角,外角の組は対頂角だから等しい. ∠x=∠a ∠y=∠b ∠z=∠c ゆえに, ∠x+∠y+∠z=∠a+∠b+∠c=180° |
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4.xの大きさを求めなさい.
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外角の和は360°だから 70°+110°+∠x+120°=360° ゆえに, ∠x=60° |
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5.xの大きさを求めなさい.
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５角形の内角の和は180°×3=540°. 120°+80°+110°+95°+∠x=540° ゆえに, ∠x=135° |
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正多角形
すべての辺の長さが等しく,すべての内角の大きさが等しい多角形を正多角形という.
(証明)正多角形の１つの外角の大きさは  360°n正多角形の１つの内角の大きさは 180°− 360°n•多角形の外角の和は360°. 正多角形のすべての内角の大きさは等しく,すべての外角の大きさは等しい. したがって,正ｎ角形の１つの外角の大きさは 360°n•(内角)=180°−(外角) したがって,正ｎ角形の１つの内角は 180°− 360°n
(別の証明)
多角形の内角の和は 180°×(n−2). 正多角形のすべての内角の大きさは等しいから,正ｎ角形の１つの内角の大きさは  (n−2)×180°n=180°−360°n |
例 • 正三角形外角= 360°3 =120°内角=180°−120° =60°  • 正方形外角= 360°4 =90°内角=180°−90° =90°  • 正五角形外角= 360°5 =72°内角=180°−72° =108° |
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問題 2
1.xの大きさを求めなさい.
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正六角形の１つの内角の大きさは 180°− 360°6=120° |
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2.xの大きさを求めなさい.
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正八角形の１つの内角の大きさは 180°− 360°8=135° |
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3.xの大きさを求めなさい.
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正十角形の外角の大きさは360°10=36° |