合同の利用１
【解説】
■　辺の長さが等しいことを証明するために，三角形の合同を用いることができます．
　上のような，２つの三角形△ＡＢＣ，△ＤＥＣについてＡＢ＝ＤＥを証明するためには
 
三角形の合同条件の内の１つが成立することを示す
△ＡＢＣ△ＤＥＣ 
が言える
ＡＢ=ＤＥが言える
 証明においては，見通しを立てることがとくに大切で，
三角形の合同条件の内の１つが成立するとを示せばよい
△ＡＢＣ△ＤＥＣ 
が言えればよい
ＡＢ=ＤＥを言うためには
のように，「～を示すためには」「～を示せばよい」という見通しを立てないとできません．
　今までに習ってきた (－３)［－５（ｘ－１）2＋｛３（ｘ＋１）2－５｝］ のような計算問題の場合には，とにかく変形していけばできました．しかし，証明問題では，ある結論にたどり着くためには，その前に何を言わなければならないかという形で「逆を読む」ことが大切です．
　実際に証明を行うためには，「どの三角形の合同に持ち込むか」を決めることが特に重要です．


【問題】
(1)
　次の図において正三角形ＡＢＣ，正三角形ＣＤＥの頂点を結ぶ線分ＡＤと線分ＢＥの長さが等しいことを証明するためには，どの三角形とどの三角形の合同を示せばよいか．
△ＡＢＣ△ＥＣＤを示せばよい 

△ＡＢＥ△ＥＤＡを示せばよい 

△ＡＣＤ△ＢＣＥを示せばよい 

△ＡＣＥ△ＤＡＢを示せばよい 

△ＢＣＤ△ＡＣＥを示せばよい 
 

(2)
　次の図において平行四辺形ＡＢＣＤの対角線の交点をＰとするとき，ＰＥ＝ＰＦを証明するためには，どの三角形とどの三角形の合同を示せばよいか．

△ＡＰＥ△ＣＰＦを示せばよい 

△ＤＰＥ△ＢＰＦを示せばよい 

△ＡＢＰ△ＣＤＰを示せばよい 

△ＡＰＤ△ＣＰＢを示せばよい 
仮定から結論を導く方法（証明）は１つだけとは限りません．次のイラストで示すように，いくつかの道筋が考えられることがあります．上の問題(2)は，解答が２つあります．


【解説】
■　次のような，２つの三角形△ＡＢＣ，△ＤＥＣについてＡＢ＝ＤＥを証明するために
△ＡＢＣ△ＤＥＣを利用するときは，三角形の合同条件
１　対応する３辺の長さがそれぞれ等しい．
２　２辺とその間の角がそれぞれ等しい． 
３　１辺とその両端の角がそれぞれ等しい. 
のうち，どれでも使えるわけではありません．辺の長さが分らないから，三角形の合同を利用しているのだから，その辺を使わずに言える合同条件を探します．（「２辺とその間の角」または「１辺のその両端の角」で示すことになります．）

【問題】
(1)
　図のように平行四辺形ＡＢＣＤの１つの対角線ＡＣ上にＡＰ＝ＣＱとなるように点Ｐ，Ｑをとるとき，ＢＰ＝ＤＱとなることを証明するために，△ＡＢＰ△ＣＤＱを使うには
（ＡＢＣＤは平行四辺形，ＡＰ＝ＣＱ　→　△ＡＢＰ△ＣＤＱ　→　ＢＰ＝ＤＱ　の順に示す見通しのとき）
三角形△ＡＢＰと△ＣＤＱが合同となるための条件のうち，どれを示せばよいか．
　対応する３辺の長さがそれぞれ等しいことを示す．
　２辺とその間の角がそれぞれ等しいことを示す． 
　１辺とその両端の角がそれぞれ等しいことを示す．示す 
(2)
　上の証明の流れは
 
ＡＢ＝ＣＤ･･････（平行四辺形の向かい合う２辺だから）
ＡＰ＝ＣＱ　　　･･････（仮定）
ＢＡＰ＝ＤＣＱ･･････（ア）
　　　↓
△ＡＢＰ△ＣＤＱ
　　↓
ＢＰ＝ＤＱ　
となります．（ア）のところにはどんな理由が入りますか．
対頂角は等しい

平行線の同位角は等しい

平行線の錯角は等しい

二等辺三角形の両底角は等しい
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