中二／証明 no1

【解説】
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「猫ならば動物である．」という文章のように，
「○○ならば□□である．」「PならばQである」という形の文章において○○やPの部分を仮定といい，□□やQの部分を結論といいます．

例１
「正三角形ならば三辺の長さが等しい．」という文章では，仮定は「正三角形」，結論は「三辺の長さが等しい」です．
例２
「x>1 ならば x>0」という文章において，仮定は「x>1」，結論は「x>0」です．
注意：「ブルドッグならば犬です．」「犬ならば動物です．」
この二つの文章において「犬」は結論にも仮定にもなっています．このように「犬」だけを取り出しても，仮定なのか結論なのかは決まっていません．文章を決めないと仮定か結論かは決まりません．

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「猫は動物である．」という文章は数学上は，「猫ならば動物である．」を省略していったものと考えます．だから，この場合，仮定は「猫」，結論は「動物」です．

例３
「雪は白い．」という文章において，「雪」は仮定，「白い」は結論です．

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　もとの文章「金ならば光る．」に対して，仮定と結論を取り替えたもの「光るならば金である．」としたものをもとの文章の逆といいます．

例４
「 x=0 ならば x²=0 」の逆は「 x²=0 ならば x=0 」です．
例５
「猫ならば動物である」の逆は「動物ならば猫である」です．

もとの文章が正しくても，逆は正しいことも,正しくないこともあります．上の例では，例４の逆は真ですが例５の逆は真ではありません．次の例は，逆が真でない有名な例です．

例６
「金ならば光る」の逆は「光るならば金である」．

逆は必ずしも真でない．

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　「△ＡＢＣにおいて，２辺の長さが等しいならば両底角は等しい．」の場合において「２辺の長さが等しい」は仮定で，「両底角は等しい」は結論ですが，「△ＡＢＣにおいて」は前提といいます．前提は，以下の文章をいう枠組みを示しています．
　内容を正確に表現するためには，前提をはっきりさせなければならないことがあります．例えば，「偶数でないならば奇数である」という文章は，「整数において，偶数でないならば奇数である」の意味ならば正しいのですが「どんな場合でも，偶数でないならば奇数である」といえば正しくありません．（偶数でないものには小数や分数もあります．）
　前提は，逆にとっても前提とします．

例７
　「△ＡＢＣにおいて，２辺の長さが等しいならば両底角が等しい．」の逆は「△ＡＢＣにおいて，両底角が等しいならば２辺の長さが等しい．」です．
例８
　「日本の山の中で，一番高い山は富士山です．」の逆は「日本の山の中で，富士山は一番高い山です．」となります．