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現在地と前後の項目 *** 基本 ***/単項式と多項式/同類項をまとめる/多項式の和差1/多項式の和差2/*** かっこ ***/かっこをはずす1/かっこをはずす2/かっこをはずす3/かっこをはずす4/かっこをはずす5/かっこをはずす6/「中かっこ」のはずし方/かっこでくくる/*** 単項式の乗除 ***/単項式[乗法]/単項式[累乗]/単項式[除法]/単項式[指数法則]/単項式の乗除1 /単項式の乗除2 /単項式の乗除3 /*** 分数 ***/分数道場(約分)/分数道場(通分1)/分数道場(通分2)/分数道場(通分3)/*** 式の変形 ***/式の値/文字式による説明/等式の変形1/等式の変形2/等式の変形3/等式の変形(入試問題)/等式の変形(発展学習) /
I. 偶数、奇数
nを自然数（正の整数）とするとき (1)偶数（２の倍数）→2nとおける。 (2)2nの「形」で書ける数→偶数といえる。 (3)奇数（２で割り切れない数）→2n−1とおける。 (4)2n−1の「形」で書ける数→奇数といえる。
【例】
２つの奇数を各々2m−1, 2n−1とおく。（m, nは自然数）←(3)「２つの自然数がともに奇数であるとき、それらの和は偶数になる」ことの説明の仕方
(3)の字面にこだわって2n−1, 2n−1とおいてはいけない。このようにおくと、２つの奇数が同じという仮定を勝手に持ち込んでしまうことになる。したがって、元の内容を表すには別の文字m, nを使って表さなければならない。このように表しておくと、これらの奇数が「たまたま」等しい場合もm=nとすれば表せる。
これらの和は(2m−1)+(2n−1)=2(m+n−1)
もちろん、2a−1, 2b−1（a, bは自然数）とおいてもよいが、異なる文字であることが重要
m+n−1は１つの自然数になるからこれをNで表すと、和は2Nになる。
2(m+n−1)は偶数だから、奇数の和は偶数になる。←(2)
(2)においては、2n（nは自然数）の形で書ける数は偶数と見なせるという所が重要で、和が2Nの形に書けることから偶数といえる。 慣れてくれば、2(m+n−1)は２×（整数）の形をしていると言ってもよい。 |
○ 偶数は次のように書ける。
すなわち、偶数は2n （nは自然数）と書ける。…(1) 逆に、2n （nは自然数）の形で書ける数は、上の表の左からn番目にあるから、偶数であるといってよい。…(2) ○ 奇数は次のように書ける。
すなわち、奇数は2n−1 （nは自然数）と書ける。…(3) 逆に、2n−1 （nは自然数）の形で書ける数は、上の表の左からn番目にあるから、奇数であるといってよい。…(4) |
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II. ２けたの整数、３けたの整数、···
２けたの整数の十の位の数をa、一の位の数をbとおくとき、この整数は10a+bと表される。 3けたの整数の百の位の数をa、十の位の数をb、一の位の数をcとおくとき、この整数は100a+10b+cと表される。
【例】
「２けたの自然数で、18, 27, 36のように各位の数を足せば9になる数は9で割り切れる」ことの説明の仕方
（目標）9で割り切れることを示すには9n（nは自然数）の形に書けることを言えばよい。
十の位の数をa、一の位の数をbとおくとき、この整数は10a+bと表される。各位の数を足せば9になるから a+b=9 …(1) このとき 10a+b=9a+(a+b)=9a+9=9(a+1) …(2) は9で割り切れる。
(2)の変形を思いつかないという人へ
仮定の(1)を使わなければ問題は解けない。何とかして(1)を使うにはどうしたらよいかを考えると、普通は(1)を使って「代入（→１文字消去）」を行う。 a+b=9だからb=9−a これにより、10a+b=10a+(9−a)=9a+9=9(a+1) 慣れてきたら(2)のような短縮答案がスマートに決まる。 |
※ 27のように２つの数字を続けて書けば２けたの整数を表すことができるが、abのように２つの文字を続けて書くと、これらは「文字式の約束」によって掛け算：a×bを表してしまう。 十進法で表された数は、たとえば 27=2×10+7 589=5×100+8×10+9 のように、書くことができるから、２けたの整数の十の位の数をa、一の位の数をbとおくとき、この整数は10a+bと表される。 3けたの整数の百の位の数をa、十の位の数をb、一の位の数をcとおくとき、この整数は100a+10b+cと表される。 |
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III. 連続する整数
連続する２つの整数はn, n+1などで表される。 連続する３つの整数はn, n+1, n+2などで表される。
【例】
連続する３つの偶数は2n, 2n+2, 2n+4（nは正の整数）とおける。2+4+6=12, 4+6+8=18のように連続する３つの偶数の和は6で割り切れる」ことの説明の仕方 これらの和は、(2n)+(2n+2)+(2n+4)=6n+6=6(n+1)だから6で割り切れる。
最後の部分をていねいに書くと：
n+1=Nとおくと、この和は6N（Nは自然数）の形に書けることになるから、６で割り切れる。･･･もっと正確に言えばn+1=N≧2になるが、「和が12以上になることを示せ」とは書かれていないから、そこまで言わなくてもよい） |
※ 2, 3、5, 6のように連続する２つの整数はn, n+1と表すことができる。 問題によっては、式が変形しやすいようにm−1, mのように表してもよい。（この場合、もとの数が自然数［1, 2, 3 , ···］という条件があるときは、m≧2になる） ※ 2, 3, 4、17, 18, 19のように連続する３つの整数はn, n+1, n+2と表すことができる。 問題によっては、m−1, m, m+1のように表してもよい。（この場合、もとの数が自然数［1, 2, 3 , ···］という条件があるときは、m≧2になる） |
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問題 次の空欄に入るものを右の選択肢から選んで、説明を完成しなさい。 （はじめに空欄を選び、続いて選択肢を選びなさい。正しければ代入されます。）
(1) ある月のカレンダーで、次の赤字で示したようにある日付から縦横２つずつ連続して合計４個の日付を選んだとき、これらの日付の数の和は４で割り切れることを示しなさい。
（答案）
左上の数字をnとおくと、 その右隣の数字は?、 下隣の数字は?、 右下の数字は? とおける。 これらの和は、 ?=4(?) と書けるから、４で割り切れる。 |
n−7 n−6 n−5 n−4 n−3 n−2 n−1 n n+1 n+2 n+3 n+4 n+5 n+6 n+7 n+8 2n−7 2n−6 2n−5 2n−4 2n−3 2n−2 2n−1 2n 2n+1 2n+2 2n+3 2n+4 2n+5 2n+6 2n+7 2n+8 4n−14 4n−12 4n−10 4n−8 4n−6 4n−4 4n−2 4n 4n+2 4n+4 4n+6 4n+8 4n+10 4n+12 4n+14 4n+16 |
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(2) ３けたの自然数が861のように各位の数が小さくなる順に並んでいるときに、元の数とその百の位の数と一の位の数を入れ替えたもの（168など）のとの差は99で割り切れることを示しなさい。
（答案）元の数をn=100a+10b+cとおくと、 その百の位の数と一の位の数を入れ替えたものはn’=?と書ける。 これらの差はn−n’=?=99(?) と書けるから、99で割り切れる。 |
a+b a+c b+a b+c c+a c+b a−b a−c b−a b−c c−a c−b abc acb bac bca cab cba 100a+10b+c 100a+10c+b 100b+10a+c 100b+10c+a 100c+10a+b 100c+10b+a 99a+99b 99a+99c 99b+99a 99b+99c 99c+99a 99c+99b 99a−99b 99a−99c 99b−99a 99b−99c 99c−99a 99c−99b 101a+101b 101a+101c 101b+101a 101b+101c 101c+101a 101c+101b 101a−101b 101a−101c 101b−101a 101b−101c 101c−101a 101c−101b |
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(3) 3+5+7=15=3×5; 9+11+13=33=3×11のように連続する３つの奇数の和を計算すると、奇数の３倍になっていることを示しなさい。
（答案）連続する３つの奇数を小さいものから順に 2n−1, ?, ?とおくと これらの和は?=3(?) と書けるから、奇数の３倍になる。 |
n n+1 n+2 n+3 n+4 n+5 n−1 n−2 n−3 n−4 n−5 n−6 2n 2n+1 2n+2 2n+3 2n+4 2n+5 6n 6n+1 6n+2 6n+3 6n+4 6n+5 |
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(4) （むずかしい）
（答案）7以上の自然数Nは2×（自然数）+3×（自然数）の形に書けることを示しなさい。 ア）Nが7以上の奇数のとき、N=2n−1 (n≧?)とおける。…(A) N=2n−1=2(?)+3×1 （ここで(A)により第１項は正） と書けるから、2×（自然数）+3×（自然数）の形に書ける。 イ）Nが8以上の偶数のとき、N=2n (n≧?)とおける。…(B) N=2n=2(?)+3×2 （ここで(B)により第１項は正） と書けるから、2×（自然数）+3×（自然数）の形に書ける。 以上により、7以上の自然数Nは2×（自然数）+3×（自然数）の形に書ける。 |
どんな自然数NでもN=3N+(−2N)と書けますが、その表し方では負の整数を使っていることになります。この問題では自然数m, nを使ってN=2m+3nと書けることを示してほしいということです。
≪ミニ実験で見通しを立てる≫ 3を奇数個（例えば１個）足せば奇数になり、偶数個足すと偶数になる事に注意すると 7=2×2+3×1 …(i) 8=2×2+3×2 …(ii) と書けます。（3を先に考えるところがミソ。2は残り。） 9, 11, 13 , ···は(i)に2, 4, 6, ···足せばよく、10, 12, 14, ···は(ii)に2, 4, 6, ···足せばできます。 以上の見通しを式にまとめるとできます。 |
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