■方程式の解き方
方程式3x−1=x+5 から（正しい変形をして） x=3 のように変形することを，方程式を解くといいます．（得られた結果を方程式の解といいます） ○ 方程式を解くために使うことのできる（正しい変形）は，次の(1)～(4)です．これらを組み合わせて使います．
(1)両辺に同じ数や同じ式を足してもよい．
［例］
方程式x−3=2 の両辺に3を足すと x−3+3=2+3 ここで−3+3=0, 2+3=5だから x=5 となって，方程式が解けます ［例］ 
方程式−x=−2x+4 の両辺に2xを足すと −x+2x=−2x+2x+4 ここで−x+2x=x, −2x+2x=0だから x=4 となって，方程式が解けます |
［＃よくある間違い＃］
（元の方程式）x−3=2x=2−3 x=−1
−2xは−2×xです．このうちの−2だけとかxだけを足したり引いたりすることは,できません．
（元の方程式）−x=−2x+4−x+x=−2+4 0x=2 ??? |
|
「検算」する習慣を身に付けよう！
x−5+5=3+58−5=3 だから答は合っています． x+0=3+5 x=8 と変形して(4)が答になります． |
「検算」する習慣を身に付けよう！
−3x+4x=−4x+4x+2−3×2=(−6)=−4×2+2 だから答は合っています． x=0+2 x=2 と変形して(4)が答になります． |
|
(2)両辺から同じ数や同じ式を引いてもよい．
［例］
方程式x+5=9 の両辺から5を引くと x+5−5=9−5 ここで+5−5=0, 9−5=4だから x=4 となって，方程式が解けます ［例］ 
方程式3x=2x+6 の両辺から2xを引くと 3x−2x=2x−2x+6 ここで3x−2x=x, 2x−2x=0だから x=6 となって，方程式が解けます |
［＃よくある間違い＃］
この問題でも，「移項」を中途半端に覚えて（符号を変えることを忘れて）5をそのまま右辺に持ってくる答案が多く見られます．
（元の方程式）x+5=9x=9+5 x=14 
［＃よくある間違い＃］ （元の方程式）3x=2x+6 3x−x=2+4 ???
2xは2×xです．このうちの2だけとかxだけを足したり引いたりすることは,できません．
横断歩道=を渡るときは， 係数と文字とが離れ離れにならないように，しっかりと手をつなごう． |
|
「検算」する習慣を身に付けよう！
x−3+3=−4+3−1−3=−4 だから答は合っています． x+0=−1 x=−1 と変形して(2)が答になります． |
「検算」する習慣を身に付けよう！
4x−3x=3x−3x−34×(−3)=(−12)=3×(−3)−3 だから答は合っています． x=0−3 x=−3 と変形して(1)が答になります． |
|
(3)両辺に同じ数を掛けてもよい．
［例］（正確に言えば，同じ式も掛けてもよいが，中学校１年では分母に文字式が来ることはないので，両辺に同じ文字式を掛けなければならないことは起りません．） 
方程式 x3=2の両辺に3を掛けると x3×3=2×3ここで左辺の分母と分子（横にあるのは上にあるのと同じ） x3×31=2×3の3は約分で消えるから x=6 となって，方程式が解けます |
［＃よくある間違い＃］
分母の3をそのまま右辺に持ってくる答案が多く見られます．
（元の方程式）x3=2x= 23
マイナスがあると「移項の話」と「掛け算・割り算」で迷ってしまい，頭が真っ白になることがあるようです．
（元の方程式）x−3=2x=2+3 x=5 （この問題の場合は，正しくはx=−6になります） |
|
「検算」する習慣を身に付けよう！
 122=6だから答は合っています． x2×2=6×2x=12 と変形して(4)が答になります． |
「検算」する習慣を身に付けよう！
−24−2=12だから答は合っています． x−2×(−2)=12×(−2)x=−24 と変形して(1)が答になります． |
|
(4)両辺を同じ数で割ってもよい．（ただし，0で割ることを除く）
［例］（正確に言えば，同じ式で割ってもよいが，中学校１年では両辺を同じ文字式で割らなければならないことは起りません．） 
方程式3x=2 の両辺を3で割る（ 13を掛ける）と3x× 13=2×13ここで左辺の分母と分子の3は約分で消えるから（横にあるのは上にあるのと同じ） 3x1×13=2×13x= 23となって，方程式が解けます |
［例］
方程式2x3=54の両辺に 32を掛けると2x3×32=54×32ここで左辺の分母と分子の3, 2は約分で消えるから x= 158となって，方程式が解けます |
|
「検算」する習慣を身に付けよう！
4x×4×(−5)=−20 だから答は合っています． 14=−20×14ここで，左辺の分母と分子の4は約分で消えるから（横にあるのは上にあるのと同じ） 4x1×14=−20×14x=−5 と変形して(3)が答になります． |
「検算」する習慣を身に付けよう！
34×415=15だから答は合っています． 34x×43=15×43ここで，左辺の分母と分子の3, 4は約分で消えるから x= 415と変形して(3)が答になります． |
|
■方程式の解き方（ここまでのまとめ）
(1)と(2)
○ x−a=bから−aを取り除くには，両辺にaを足します．
その「結果を見ると」と
x−a=b → x=b+a
となり，左辺の−aを「符号を変えて右辺に持ってくる」ことになります．
○ x+a=bから+aを取り除くには，両辺からaを引きます．
◎ どちらの場合でも，定数項−aまたは+aは，
その「結果を見ると」と
x+a=b → x=b−a
となり，左辺の+aを「符号を変えて右辺に持ってくる」ことになります．
【例】 x−3=2 → x=2+3 x+3=2 → x=2−3  |
(3)と(4)
○ xc=dからcを取り除くには，両辺にcを掛けます．xc=d → x=cd
○ cx=dからcを取り除くには，両辺に 1cを掛けます．
cx=d → x=
dc
◎ さらに，一般に
dcx=eからdcを取り除くには，両辺にcdを掛けます．dcx=e → x=e×cd
右辺が分数の場合でも，同様です
dcx=fe → x=fe×cd |
|
■方程式の解き方…(1)(2)(3)(4)が組み合わされている問題
【例１】
（解説）方程式2x−5=4x+7を解いてください．
文字xと定数項とが左辺と右辺の両方にあるときは，「移項」によって
4xの符号を変えて−4xにして，左辺に持ってきます．⇒ 文字の部分を左辺に集め，定数項を右辺に集めます． −5の符号を変えて+5にして，右辺に持ってきます． 2x−4x=7+5 係数を計算して簡単にします． −2x=12
(3)で説明した「係数を掛ける」話と，(4)で説明した「係数で割る」話は，「逆数を掛ける」とまとめることができます
文字xの係数−2を取り除くには，両辺にその逆数1−2を掛けます．−2 x× 1−2=12×1−2
答が出たら「ゆだん」してしまうのが普通の生徒の甘さ⇒「検算」を忘れないようにしましょう．
−2x=122×(−6)−5→−17←4×(−6)+7 だからＯＫ～♪ x=−6
【例２】
（解説）方程式5(x+3)=3(x−1)を解いてください．
かっこ（ ）があるときは，はじめにかっこ（ ）をはずすと分かりやすくなります
両辺のかっこ（ ）をはずします5x+15=3x−3 3xの符号を変えて−3xにして，左辺に持ってきます． 15の符号を変えて−15にして，右辺に持ってきます． 5x−3x=−3−15 係数を計算して簡単にします． 2x=−18 文字xの係数2を取り除くには，両辺にその逆数 12を掛けます．
「検算」をします
2 x×5(−9+3) → −30 ← 3(−9−1) だからＯＫ～♪ 12=−18×12x=−9
【例３】
（解説）方程式 x−32=x+23を解いてください．
分数をいつまでも引きずっていると計算間違いが起りやすいので，「分数があれば，はじめに分母を払う」と決めるとよい
左辺の分母を払うには2を掛ける必要があり，右辺の分母を払うには3を掛ける必要があります．両方とも払うには，両辺に6を掛けます x−32×6=x+23×63(x−3)=2(x+2) かっこ（ ）をはずします 3x−9=2x+4
「検算」をします
文字に関係している項を左辺に集め，定数項を右辺に集めます13−32 → 5 ← 13+23だからＯＫ～♪ 3x−2x=4+9 x=13
【例４】
（解説）方程式 23x+5=x4−3を解いてください．
分数をいつまでも引きずっていると計算間違いが起りやすいので，「分数があれば，はじめに分母を払う」と決めるとよい
左辺の分母を払うには3を掛ける必要があり，右辺の分母を払うには4を掛ける必要があります．両方とも払うには，両辺に12を掛けます このとき，定数項5と−3にも12を掛けることを忘れないようにします． 正確に，左辺の全体，右辺の全体に12を掛けるためには，かっこ（ ）を付けて掛けます ( 23x+5)×12=(x4−3)×12かっこ（ ）をはずします 8x+60=3x−36 文字に関係している項を左辺に集め，定数項を右辺に集めます 8x−3x=−36−60 5x=−96 文字xの係数5を取り除くには，両辺にその逆数 15を掛けます．5 x× 15=−96×15x=− 965
「検算」をします
（左辺）= 23×(−965)+5=−645+5=−395（右辺）= 14×(−965)−3=−245−3=−395だからＯＫ～♪ |
3を右辺に2xを左辺に移項します
5x−2x=−9−3 3x=−12 両辺にxの係数3の逆数を掛けます
「検算」
3 x×5×(−4)+3 → −17 ← 2×(−4)−9 だから答は合っています． 13=−12×13x=−4 と変形して(2)が答になります．
はじめに，かっこ（ ）をはずします
8x+4=5x−5 文字に関係している項を左辺に集め，定数項を右辺に集めます 8x−5x=−5−4 3x=−9 両辺にxの係数3の逆数を掛けます
「検算」
3 x×（左辺）=4(2×(−3)+1)=−20 （右辺）=5(−3−1)=−20 13=−9×13x=−3 と変形して(1)が答になります．
はじめに，分母を払います．左辺の分母が3で，右辺の分母が2だから，それらの「最小公倍数」の6を掛けます
x+33×6=x+12×62(x+3)=3(x+1) かっこ（ ）を外します 2x+6=3x+3 文字に関係している項を左辺に集め，定数項を右辺に集めます 2x−3x=3−6 −x=−3 両辺にxの係数−1の逆数 1−1=−1を掛けます
「検算」
−x×(−1)=−3×(−1)3+33 → 2 ← 3+12x=3 と変形して(4)が答になります．
はじめに，分母を払います．左辺の分母が4で，右辺の分母が6だから，それらの「最小公倍数」の12を掛けます（「最小公倍数」に自信がない場合は，やむを得ず「分母の積」24を掛けてもできますが，その場合は数字が大きくなります）
( x4+2)×12=(3−x6)×12かっこ（ ）を外します 3x+24=36−2x 文字に関係している項を左辺に集め，定数項を右辺に集めます 3x+2x=36−24 5x=12 両辺にxの係数5の逆数 15を掛けます5x× 15=12×15x= 125と変形して(2)が答になります．
「検算」
はじめに x4やx6にx=125を代入するとどうなるのか，正しく求めなければなりません． （分子）にあることは（横）にあることと全く同じなので， x4はx× 14です．x6はx×16です．だから，x= 125のときx4=125×14=35になります．また， x6=125×16=25になります．そこで， （左辺）= 125×14+2=35+2=135（右辺）=3− 125×16=3−25=135となって，ＯＫ～♪です |
...メニューに戻る