![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数 指数関数対数関数微分不定積分定積分 高次方程式数列漸化式と数学的帰納法 平面ベクトル空間ベクトル確率分布 ※高校数学Bの「数学的帰納法と漸化式」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください. が現在地です. ↓帰納法とは(読み物) ↓数学的帰納法(等式) ↓数学的帰納法(不等式) ↓漸化式と一般項(階差形) ↓同(等比形)-現在地 三項間漸化式の一般項 |
基本
【
(解説)定数
初項
の等比数列になるので,一般項を求めることができます.公比 もし問題が ![]() ![]() |
≪変形のポイント≫
(2)式を(2’)式に変形するためのポイントは
−2α=2
となって
α=−1 を と係数比較することにより で求めることができます.(p≠1が前提です) |
初歩的注意
※初歩的な注意として,次の点を押さえておきましょう.〇 この形の漸化式ではp≠1が前提です.p=1のときは,(2”)式においてαが求められないことから気付きます. p=1のときは,≪階差形の漸化式≫という別の解き方を使います. 〇 この形の漸化式について
α=pα+q
を特性方程式と呼び,その解αを求めるという覚え方があります.これは,一般によく使われる解き方ですが,「特性方程式」や「その解」が何を表しているのかということを消化不良のまま使ってしまうと,危険な落とし穴にはまってしまう高校生が多いのです. ![]()
では,この方程式は何を解いているのか.
よく分からないままに,とりあえず真似をしてその解は何を表しているのか. としてしまう. としてしまう. としてしまう. |
(A)はp=1の場合なので,階差形の解き方を考えるべきです. (B)は特性方程式においてqが定数である場合にだけ使えるのに,その箇所にnによって変化する項があるのに使っています. (C)はpが定数である場合にだけ特性方程式が使えるのに,その箇所にnによって変化する係数があるのに使っています.
2項間漸化式が,p≠1,p, qとも定数の場合にしか使えない特性方程式を,適用できない場面で使ってしまうと無意味な答案になります.
![]() ここでは,(2)式を と と係数比較する 〇 この考え方で行けば,(A)(B)(C)のような問題でも,工夫すれば解けます. → → → → ![]() → → → → → ![]() → → |
例と答1
≪この形の問題と解答≫次の漸化式で与えられる数列の一般項を求めてください.
(1)
(解答)![]() (途中経過)
初項が1で公比が2の等比数列だから,一般項は
(初歩的な注意)
(次の項)=2×(前の項) ということを表しており ○初項が公比がである等比数列の一般項は, で求められます. (もっと初歩的な話ですが・・・) 階差数列から元の数列を求めるときは,途中経過をn≧2の場合とn=1の場合に分けて記述しなければなりませんが,等比数列の第n項を求めるときは,分ける必要はありません. の公式はn=1の場合でも成り立つからです. |
(2)
(解答)![]() (途中経過)
初項が2で公比が3の等比数列だから,一般項は
(初歩的な注意)
|
(3)
(解答)![]() (途中経過)
原式:
![]()
−α=3 → α=−3
(いまさら聞けない話)
![]() ![]() ![]() この値は凹レンズの焦点のように,そこから光が出てくる場所になっています. |r|<1のときは,n→∞のときにだんだん近づいていく目標地点という意味があります.凸レンズの焦点のようなものです.この場合もあるnの値でan=αになると,an+1−α=r(an−α)=0となって,それ以後のan+1 , an+2 , an+3 , ...はすべてαになって抜け出せなくなります. |
(4)
(解答)![]() (途中経過)
原式:
![]()
2α=2 → α=1
{an−1}は公比−1の等比数列
(いまさら聞けない話)
![]() nが奇数なら0,nが偶数なら2と答えてもよいのではないか. ![]() 1つの式で書くと美的に見えるので,上のように書いただけです. |
(5)
(解答)![]() (途中経過)
原式:
![]()
(いまさら聞けない話)
![]() ![]() ![]() |
(6)
(解答)![]() (途中経過)
原式:
![]()
(いまさら聞けない話)
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ここでは,仮想的に延長していったらということです. |
例と答2[難]
(7)
(解答)![]() (途中経過)
原式:
![]()
(いまさら聞けない話)
![]() ![]() 実際に数列を書きならべてみると, (これは有名な等差数列) ![]() そう言われたら分かる. |
(8)
(解答)![]() (途中経過)
原式:
![]() この
(いまさら聞けない話)
![]() ![]() |
(9)
(解答)![]() (途中経過)
原式:
![]() この
ここで |
(参考)次の(A)または(B)が普通の答案です.ただ,このように書くととても長い答案になり,テストなどで時間内に書けるかどうかあやしくなります.
(A)
an+1 , anのままでは,定数係数にならずnの項が残るので,階差数列を作って定数係数に直す・・・階差数列では元の漸化式よりも次数が下がることを利用します.
階差数列の第n項はbn=an+1−anで定義されるので 階差数列の第n+1項はbn+1=an+2−an+1です. −) ここで,
これを用いて元の数列 (ア) n≧2のとき (イ) n=1のときも結果は一致する. ゆえに, |
(B) 両辺を2n+1で割ります
この
(ア) n≧2のとき 等差k×等比 −) { }内は初項 (イ) n=1のときも結果は一致する. ゆえに, |
(10)
(解答)![]() (途中経過)
原式:
![]() とおくと
〇 この問題では,参考書などに載っている標準的な解き方は長くなり過ぎるので紹介しません.
〇 ここで紹介する解き方は, → となるF(n)を見つける方法です. 〇 このような関数F(n)は (ア) r≠1のときは,元の関数f(n)と同次の式で見つけることができ (イ) r=1のとき(階差形の問題の場合)は,元の関数f(n)よりも1次だけ次数の高い式で見つけることができます. 〇 この問題ではr=2 (≠1), 〇 1つ前の問題ではr=2 (≠1),f(n)=nだからF(n)=αn+βとなる定数α, βを求めればよいことになります. 〇 原式と係数を比較すると → |
(11)
(解答)![]() (途中経過)
原式:
![]() 原式と係数を比較するとα=1 |
(12)
(解答)![]() (途中経過)
原式:
![]() 原式と係数を比較するとα=−1 |
テスト
【問題】 …(この頁で解説した問題と全く同じものの再現問題です)次の漸化式で定義される数列の一般項を求めてください. 下の選択肢の中から正しいものをクリック
(1)
![]() 解説
原式:
![]()
−α=3 → α=−3
|
(2)
![]() 解説
原式:
![]() |
(3)
![]() 解説
原式:
![]() |
(4)
![]() 解説
原式:
![]() この
ここで |
(5)
![]() 解説
原式:
![]() この
ここで |
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