$a_{n+1}=p{a}_n+q$

$a_{n+1}-\alpha =p(a_n-\alpha )$

初項$a_1-\alpha$
公比$p$

$a_{n+1}-\alpha =3(a_n-\alpha )$

$a_{n+1}=3(a_n-\alpha )+\alpha$
$a_{n+1}=3a_n-2\alpha$

−2α=2
α=−1

$a_{n+1}+1=3(a_n+1)$ …(2’)

$a_{n+1}=p{a}_n+q$

$a_{n+1}-\alpha =p(a_n-\alpha )$

$a_{n+1}=p(a_n-\alpha )+\alpha =p{a}_n+(1-p)\alpha$
を
$a_{n+1}=p{a}_n+q$
と係数比較することにより
$(1-p)\alpha =q$
$\alpha ={\displaystyle \frac{q}{1-p}}$ …(2”)
で求めることができます．（p≠1が前提です）

（初歩的な注意）
$a_{n+1}=2a_n$は
（次の項）＝２×（前の項）
ということを表しており
$a_1=1$ → $a_2=2$ → $a_3=4,\cdots$のように順に２を掛けていくと数列ができることを示しています．
○初項が公比がである等比数列の一般項は，
.$a_n=a_1\times r^{n-1}$
で求められます．
（もっと初歩的な話ですが･･･）
階差数列から元の数列を求めるときは，途中経過をn≧2の場合とn=1の場合に分けて記述しなければなりませんが，等比数列の第ｎ項を求めるときは，分ける必要はありません．
.$a_n=a_1\times r^{n-1}$
の公式はn=1の場合でも成り立つからです．

（初歩的な注意）
$2\times 3^{n-1}$は$6^{n-1}$にはなりません．

−α=3 → α=−3
$a_{n+1}+3=2(a_n+3)$となるから

$a_n+3=(a_1+3)\times 2^{n-1}$
$a_n=5\times 2^{n-1}-3$ …（答）

（いまさら聞けない話）
なんで$a_{n+1}-\alpha =2(a_n-\alpha )$とおくのかな？
$a_{n+1}+\alpha =2(a_n+\alpha )$の方が解きやすいじゃないか

答を出すだけならどちらでもできますが，$a_{n+1}-\alpha =2(a_n-\alpha )$ の解α=−3には不動点という重要な意味がありますが，$a_{n+1}+{\alpha }^{\prime }=2(a_n+{\alpha }^{\prime })$の解α'=3には何も意味がないので，数学の答案としては$a_{n+1}-\alpha =2(a_n-\alpha )$の方が歓迎されます．
　たとえば，|r|>1のとき，あるｎの値でan=αになると，an+1−α=r(an−α)=0となって，それ以後のan+1 , an+2 , an+3 , ...はすべてαになって抜け出せなくなります（蟻地獄）．
　この値は凹レンズの焦点のように，そこから光が出てくる場所になっています．
　|r|<1のときは，n→∞のときにだんだん近づいていく目標地点という意味があります．凸レンズの焦点のようなものです．この場合もあるｎの値でan=αになると，an+1−α=r(an−α)=0となって，それ以後のan+1 , an+2 , an+3 , ...はすべてαになって抜け出せなくなります．

2α=2 → α=1
$a_{n+1}-1=(-1)(a_n-1)$となるから

$a_n=(-1{)}^n+1$
$a_n-1=(a_1-1)\times (-1{)}^{n-1}$ …（答）

（いまさら聞けない話）
$a_n=(-1{)}^n+1$なら，0 → 2 → 0 → と入れ替わりに登場するだけだから
nが奇数なら0，nが偶数なら2と答えてもよいのではないか．

その通りです．
1つの式で書くと美的に見えるので，上のように書いただけです．

${\displaystyle \frac{2}{3}\alpha =\frac{2}{3}}$ → ${\displaystyle \alpha =1}$
${\displaystyle a_{n+1}-1=\frac{1}{3}(a_n-1)}$となるから

${\displaystyle a_n-1=(a_1-1){\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}}$
${\displaystyle a_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}+1=\frac{1}{3^{n-1}}+1}$ …（答）

（いまさら聞けない話）
凸レンズになっていて，1に近づくという話はどうなった？

2.000 →1.333 →1.111 →1.037 →1.012 →1.004 →1.001 → ... となって，あっという間に1に近づくのです．

${\displaystyle -\frac{1}{2}\alpha =\frac{1}{2}}$ → α=−1
${\displaystyle a_{n+1}+1=\frac{3}{2}(a_n+1)}$となるから

${\displaystyle a_n+1=(a_1+1){\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}}$
${\displaystyle a_n=2{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}-1}$ …（答）

（いまさら聞けない話）
|r|>1のときは凹レンズになっているという話はどうなった？

a0 ,a-1 ,a-2 と延長していくと，→(a-2=)-0.407 →(a-1=)-0.111 →(a0=)0.333 →(a1=)1.000 →(a2=)2.000 →(a3=)3.500 → ... となって，−1を焦点として広がってくるということが分かる．
a0とかa-1なんて話を子供に聞かせてもよいのか？

教科書には出てきませんが，入試問題ではa0から始まる数列は，時々出てきます．
ここでは，仮想的に延長していったらということです．

$b_{n+1}=b_n$
$\{b_n\}$は公比1の等比数列になる．
${\displaystyle b_n=b_1\times 1^{n-1}=b_1=\frac{a_1}{1}=a_1=1}$

（いまさら聞けない話）
　$a_{n+1}={\displaystyle \frac{n+1}{n}}{a}_n$は公比${\displaystyle \frac{n+1}{n}}$の等比数列じゃないのですか？


　等比数列というのは，項の番号nに依存しない定数rを使って$a_{n+1}=r{a}_n$と書けるもののこと．
$a_{n+1}={\displaystyle \frac{n+1}{n}}{a}_n$のように毎回比率が変わるようでは「公比」（皆に共通の比率）とは言えないから，これは等比数列ではない．

実際に数列を書きならべてみると，

$a_1=1$
$a_2={\displaystyle \frac{2}{1}}{a}_1=2$
$a_3={\displaystyle \frac{3}{2}}{a}_2=3$
$a_4={\displaystyle \frac{4}{3}}{a}_1=4$

などという数列は等比数列とは言わない．
（これは有名な等差数列）

　そう言われたら分かる．

この$b_n$は階差数列ではなく，単に式に付けた名前です．

$b_{n+1}=b_n$
$\{b_n\}$は公比1の等比数列になる．
$b_n=b_1\times 1^{n-1}=b_1={\displaystyle \frac{a_1}{1!}}=1$

（いまさら聞けない話）
　(n+1)!で割るような変形は思いつかない～


きれにまとめる方法を急に思いつくのは難しいですが，次のような答案でもよい．

$a_2=2a_1=2\cdot 1=2!$
$a_3=3a_2=3\cdot 2\cdot 1=3!$
$a_4=4a_3=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=4!$
$\cdots \cdots$
$a_n=n{a}_{n-1}=n\cdot (n-1)\cdots 3\cdot 2\cdot 1=n!$

この$b_n$は階差数列ではなく，単に式に付けた名前です．

$b_{n+1}=2b_n$
$\{b_n\}$は公比2の等比数列になる．
$b_n=b_1\times 2^{n-1}$
ここで$b_1=a_1+1+1=2$だから
$b_n=2\times 2^{n-1}=2^n$

an+1 , anのままでは，定数係数にならずnの項が残るので，階差数列を作って定数係数に直す･･･階差数列では元の漸化式よりも次数が下がることを利用します．
階差数列の第ｎ項はbn=an+1−anで定義されるので
階差数列の第ｎ＋１項はbn+1=an+2−an+1です．

ここで，$a_1=0,a_2=2a_1+1=1$だから

この$b_n$は階差数列ではなく，単に式に付けた名前です．

等差k×等比${\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^{k+1}}$の式で作られる${\displaystyle \frac{k}{2^{k+1}}}$のような数列は循環数列とも呼ばれますが，高校の授業ではその結果を覚えなさいとは言いません．次のように「S−rS」を作れば等比数列の和になるので，「求め方を覚えておきなさい」と教えます．

〇　この問題では，参考書などに載っている標準的な解き方は長くなり過ぎるので紹介しません．
〇　ここで紹介する解き方は，
$a_{n+1}=r{a}_n+f(n)$
→ $a_{n+1}-F(n+1)=r\{a_n-F(n)\}$
となるF(n)を見つける方法です．
〇　このような関数F(n)は
（ア）　r≠1のときは，元の関数f(n)と同次の式で見つけることができ
（イ）　r=1のとき（階差形の問題の場合）は，元の関数f(n)よりも１次だけ次数の高い式で見つけることができます．

〇　この問題ではr=2 (≠1)，$f(n)=n^2$だから$F(n)=\alpha n^2+\beta n+\gamma$となる定数α, β, γを求めればよいことになります．

〇　１つ前の問題ではr=2 (≠1)，f(n)=nだからF(n)=αn+βとなる定数α, βを求めればよいことになります．

〇　$f(n)=3^n$のような指数関数になるときは，次数は∞？などと難しいことは言わなくても$F(n)=\alpha \times 3^n$とおけば定数αが求められます．

−α=3 → α=−3
$a_{n+1}+3=2(a_n+3)$となるから

$a_n+3=(a_1+3)\times 2^{n-1}$
$a_n=5\times 2^{n-1}-3$ …（答）

${\displaystyle \frac{2}{3}\alpha =\frac{2}{3}}$ → α=1
${\displaystyle a_{n+1}-1=\frac{1}{3}(a_n-1)}$となるから

$a_n-1=(a_1-1){\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{n-1}$
${\displaystyle a_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}+1=\frac{1}{3^{n-1}}+1}$ …（答）

$b_{n+1}=b_n$
$\{b_n\}$は公比1の等比数列になる．
$b_n=b_1\times 1^{n-1}=b_1=\frac{a_1}{1}=a_1=1$

この$b_n$は階差数列ではなく，単に式に付けた名前です．

$b_{n+1}=2b_n$
$\{b_n\}$は公比2の等比数列になる．
$b_n=b_1\times 2^{n-1}$
ここで$b_1=a_1+1+1=2$だから
$b_n=2\times 2^{n-1}=2^n$

この$b_n$は階差数列ではなく，単に式に付けた名前です．

$b_{n+1}=2b_n$
$\{b_n\}$は公比2の等比数列になる．
$b_n=b_1\times 2^{n-1}$
ここで$b_1=a_1+1+1=2$だから
$b_n=2\times 2^{n-1}=2^n$