■漸化式と一般項(階差形)[→PC版はこちら]
窶サ鬮俶�。謨ー蟄ヲB縺ョ縲梧焚蟄ヲ逧�クー邏肴ウ輔→貍ク蛹門シ上€阪↓縺、縺�※�後%縺ョ繧オ繧、繝医↓縺ッ谺。縺ョ謨呎攝縺後≠繧翫∪縺呻シ�
縺薙�鬆√∈Google繧ШAHOO ! 縺ェ縺ゥ縺ョ讀懃エ「縺九i逶エ謗・譚・縺ヲ縺励∪縺」縺溘�縺ァ縲悟燕謠舌→縺ェ縺」縺ヲ縺�k蜀�ョケ縺悟�縺九i縺ェ縺�€阪→縺�≧蝣エ蜷医d縲後%縺ョ鬆√�蛻�°縺」縺溘′繧ゅ▲縺ィ蠢懃畑蝠城。後r隕九◆縺�€阪→縺�≧蝣エ蜷医��御サ悶�鬆√r隕九※縺上□縺輔>��縲€ 縺檎樟蝨ィ蝨ー縺ァ縺呻シ�
竊�蟶ー邏肴ウ輔→縺ッ�郁ェュ縺ソ迚ゥ��
竊�謨ー蟄ヲ逧�クー邏肴ウ包シ育ュ牙シ擾シ�
竊�謨エ謨ー縺ョ邏ッ荵�(蜈・隧ヲ蝠城。�)
竊�謨ー蟄ヲ逧�クー邏肴ウ包シ井ク咲ュ牙シ擾シ�
竊�謨ー蟄ヲ逧�クー邏肴ウ包シ亥撫鬘御ク€隕ァ��
竊�貍ク蛹門シ上→荳€闊ャ鬆�シ磯嚴蟾ョ蠖「��-迴セ蝨ィ蝨ー
竊�蜷鯉シ育ュ画ッ泌ス「��
荳蛾��俣貍ク蛹門シ上�荳€闊ャ鬆�

解説
an+1=an+f(n)の形の漸化式】

 2項間漸化式が
.an+1=an+f(n) …(1)
の形で与えられているとき,一般項an
.an=a1+n−1Σk=1Σif(k) …(2)
で求めることができます.
(解説)
※この形の2項間漸化式の特徴はanの係数が1になっているということです.
すなわち(1)式のように
.an+1=1an+f(n)
となっているときに,この公式を適用します.

anの係数が1でないときは,他の公式を考えます.
 (1)式をan+1−an=f(n)と変形すると,anの階差数列の第n項
.bn=an+1−an

.bn=f(n)
として与えられていることになるから,階差数列から元の数列の一般項を求める公式
.an=a1+n−1Σk=1Σibk
を用いると,一般項が次の形で表されます.
.an=a1+n−1Σk=1Σif(k)
※初歩的な注意として,次の点を押さえておきましょう.

□ (2)式において,Σ記号の内部では文字nkに書き換えて使います.したがって,f(n)f(k)に変わります.
.an=a1+n−1Σk=1Σif(k)
□ (2)式において,Σ記号の上に乗っているのはnではなくn−1です.すなわち,このΣは
.f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n−1)
を表します.
.an=a1+n−1Σk=1Σif(k)
□ (2)式においては階差数列の和だけで元の数列が求まるのではなく,元の数列の第1項も足さなければなりません.
.an=a1+n−1Σk=1Σif(k)
□ (2)式は,高校数学におけるΣ記号の使い方の約束として,Σ記号で表される式が少なくとも1つの項を含んでいることを前提としています.だから(2)式はn=1の場合を表しません.そこで,答案では次の例のように,途中経過においてn=1の場合と,n≧2の場合を分けて作成しなければなりません.
(ア) a1=1
(イ) n≧2のとき
.an=2n−1
したがって,n≧1のときan=2n−1
 運転免許試験で「左右確認しているかどうか」だけをチェックしているのと同様に,採点官はn=1の場合と,n≧2の場合を分けているかどうかだけを見ているので,最後のまとめを「すべての自然数nについて...」と書いていても,「n≧1のとき...」と書いていても,単に「an=2n−1」と書いていてもほとんど気にしていない.したがって,これらのいずれでもよい.
 ほとんどの場合,結果的にn=1の場合は,n≧2の一般項を「1まで延長した」ものになりますが,そうだからといって「途中経過において分けて求めるという手続きを省略してはいけません.」慣れてくれば,次の例のように別途求めて,結果的に吸収したというスタイルでもよい.
an=2n−1
n=1のときもこれでよい)

例と答1
 ≪この形の問題と解答≫
(1)
a1=3
an+1=an+2

のとき数列{an}の一般項を求めてください.
階差数列を{bn}とおくと bn=an+1−an=2
(ア) n≧2のとき
an=a1+k=1n12
=3+2(n1)=2n+1
(イ) n=1のとき,a1=3
ゆえに,すべての自然数nについて,an=2n+1 …(答)
(初歩的な注意)
k=1n122+2+2...+2 (←n-1項の和)だから
2(n−1)になります.
一般にcを定数とするとき,
k=1nc=cn
だから
k=1n1c=c(n1)
です
(2)
a1=2
an+1=an+3

のとき数列{an}の一般項を求めてください.
階差数列を{bn}とおくと bn=an+1−an=3
(ア) n≧2のとき
an=a1+k=1n13
=2+3(n1)=3n1
(イ) n=1のとき,a1=2
ゆえに,すべての自然数nについて,an=3n−1 …(答)
(初歩的な注意)
k=1n133+3+3...+3 (←n-1項の和)だから
3(n−1)になります.
(3)
a1=1
an+1=an+n−2

のとき数列{an}の一般項を求めてください.
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=n−2
(ア) n≧2のとき
an=a1+n−1Σk=1Σi(k−2)
=1+.12n(n−1)n−2(n−1)
=.12n(2+n2−n−4n+4)
=.12n(n2−5n+6)
=.12n(n−2)(n−3)
(イ) n=1のとき,a1=1
ゆえに,n≧1のとき,an=.12n(n−2)(n−3) …(答)
(初歩的な注意)
nΣk=1Σik=.12nn(n+1) だから
n−1Σk=1Σik=.12n(n−1)n となります.
(4)
a1=4
an+1=an+2n+3

のとき数列{an}の一般項を求めてください.
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=2n+3
n≧2のとき
an=a1+n−1Σk=1Σi(2k+3)
=4+2×.12n(n−1)n+3(n−1)
=4+n2−n+3n−3
=n2+2n+1
=(n+1)2
これは,n=1のときも成り立つ.
ゆえに,an=(n+1)2 …(答)
(初歩的な注意)
nΣk=1Σik=.12nn(n+1) だから
n−1Σk=1Σik=.12n(n−1)n となります.
(5)
a1=1
an+1=an+n2+1

のとき数列{an}の一般項を求めてください.
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=n2+1
n≧2のとき
an=a1+n−1Σk=1Σi(k2+1)
=1+.16n(n−1)n(2n−1)+(n−1)
=.16n(6+2n3−3n2+n+6n−6)
=.16n(2n3−3n2+7n)
=.16nn(2n2−3n+7)
これは,n=1のときも成り立つ.
ゆえに,an=.16nn(2n2−3n+7) …(答)
(初歩的な注意)
nΣk=1Σik2=.16nn(n+1)(2n+1) だから
n−1Σk=1Σik2=.16n(n−1)n(2n−1) となります.
(6)
a1=2
an+1=an+n2+3n+2

のとき数列{an}の一般項を求めてください.
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=n2+3n+2
n≧2のとき
an=a1+n−1Σk=1Σi(k2+3k+2)
=2+.16n(n−1)n(2n−1)+.32n(n−1)n+2(n−1)
=.16n(12+2n3−3n2+n+9n2−9n+12n−12)
=.16n(2n3+6n2+4n)
=.26nn(n2+3n+2)
=.13nn(n+1)(n+2)
これは,n=1のときも成り立つ.
ゆえに,an=.13nn(n+1)(n+2) …(答)
(初歩的な注意)
nΣk=1Σik2=.16nn(n+1)(2n+1) だから
n−1Σk=1Σik2=.16n(n−1)n(2n−1) となります.
また
nΣk=1Σik=.12nn(n+1) だから
n−1Σk=1Σik=.12n(n−1)n となります.

例と答2
(7)
a1=1
an+1=an+n3

のとき数列{an}の一般項を求めてください.
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=n3
n≧2のとき
an=a1+n−1Σk=1Σik3
=1+{ .(n−1)n2nnnnnn}2
=.14n{ 4+(n2−2n+1)n2 }
=.14n(n4−2n3+n2+4)
これは,n=1のときも成り立つ.
ゆえに,an=.14n(n4−2n3+n2+4) …(答)
(初歩的な注意)
nΣk=1Σik3={ .n(n+1)2nnnnnn}2=.n2(n+1)24nnnnnnn だから
n−1Σk=1Σik3={ .(n−1)n2nnnnnn}2=.(n−1)2n24nnnnnnn となります.
(8)
a1=0
an+1=an+n(n+1)(n+2)

のとき数列{an}の一般項を求めてください.
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=n(n+1)(n+2)
n≧2のとき
an=a1+n−1Σk=1Σik(k+1)(k+2)
an=a1+n−1Σk=1Σi(k3+3k2+2k)
=.(n−1)2n24nnnnnnn+.3(n−1)n(2n−1)6nnnnnnnnnnnnn+2.(n−1)n2nnnnnn
=.(n−1)2n24nnnnnnn+.(n−1)n(2n−1)2nnnnnnnnnnnn+(n−1)n
=.14n(n−1)n{ (n−1)n+2(2n−1)+4 }
=.14n(n−1)n(n2+3n+2)
=.14n(n−1)n(n+1)(n+2)
これは,n=1のときも成り立つ.
ゆえに,an=.14n(n−1)n(n+1)(n+2) …(答)
(参考)
この形でΣ以後を求めるには
nΣk=1Σik(k+1)(k+2)=.14nn(n+1)(n+2)(n+3)
という公式を使って
n−1Σk=1Σik(k+1)(k+2)=.14n(n−1)n(n+1)(n+2)
と答える短縮答案が可能です.
(9)
a1=1
an+1=an+2n

のとき数列{an}の一般項を求めてください.
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=2n
n≧2のとき
an=a1+n−1Σk=1Σi2k
=1+.2(2n−1−1)2−1nnnnnnnn=1+(2n−2)=2n−1
これは,n=1のときも成り立つ.
ゆえに,an=2n−1 …(答)
(初歩的な注意)
初項a,公比r (≠1),項数nの等比数列の和は,次の公式で求められます.
.S=.a(rn−1)r−1nnnnnn …(*)
Σ記号からこの公式を使って和に直すためには,ここまでに登場した「定数」「1次式」「2次式」「3次式」の和のように,nの代わりにn−1を代入するという方法では無理なので,
等比数列の和の公式が適用できるように「3要素に分けて読み取って」(*)に代入します.
例えば,nΣk=1Σi3kの場合は
k=1を代入すると3k=3だから初項は3
k=1,2,3,..を代入すると3,9,27,..となるから公比は3
k=1からk=nまでn個あるから項数はn
したがって,nΣk=1Σi3k=.3(3n−1)3−1nnnnnn
とします.
また,例えば,n−1Σk=1Σi2kの場合は
k=1を代入すると2k=2だから初項は2
k=1,2,3,..を代入すると2,4,8,..となるから公比は2
k=1からk=n−1までn−1個あるから項数はn−1
したがって,n−1Σk=1Σi2k=.2(2n−1−1)2−1nnnnnnnn=2n−2
とします.
(10)
a1=4
an+1=an+3×2n+1

のとき数列{an}の一般項を求めてください.
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=3×2n+1
n≧2のとき
an=a1+n−1Σk=1Σi3×2k+1
=4+.12(2n−1−1)2−1nnnnnnnnn=4+(6×2n−12)=6×2n−8
これは,n=1のときも成り立つ.
ゆえに,an=6×2n−8 …(答)
(初歩的な注意)
初項a,公比r (≠1),項数nの等比数列の和は,次の公式で求められます.
.S=.a(rn−1)r−1nnnnnn …(*)
Σ記号からこの公式を使って和に直すためには,ここまでに登場した「定数」「1次式」「2次式」「3次式」の和のように,nの代わりにn−1を代入するという方法では無理なので,
等比数列の和の公式が適用できるように「3要素に分けて読み取って」(*)に代入します.
例えば,nΣk=1Σi3kの場合は
k=1を代入すると3k=3だから初項は3
k=1,2,3,..を代入すると3,9,27,..となるから公比は3
k=1からk=nまでn個あるから項数はn
したがって,nΣk=1Σi3k=.3(3n−1)3−1nnnnnn
とします.
また,例えば,n−1Σk=1Σi3×2k+1の場合は
k=1を代入すると3×2k+1=12だから初項は12
k=1,2,3,..を代入すると12,24,48,..となるから公比は2
k=1からk=n−1までn−1個あるから項数はn−1
したがって,n−1Σk=1Σi3×2k+1=.12(2n−1−1)2−1nnnnnnnn
=6×2n−12
とします.
(※元の式でΣ内部が3×2k+1であることによって,項数は何も影響されません.また,3は公比に影響しません.)
(11)
a1=1
an+1=an+.1n(n+1)nnnnnn

のとき数列{an}の一般項を求めてください.
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=.1n(n+1)nnnnnn
n≧2のとき
an=a1+n−1Σk=1Σi.1k(k+1)nnnnnn
=1+n−1Σk=1Σi(.1kn.1k+1nnn )
=1+(1−.1nn)=2−.1nn
これは,n=1のときも成り立つ.
ゆえに,an=2−.1nn …(答)
(初歩的な注意)
n−1Σk=1Σi.1k(k+1)nnnnnnを求めるには,部分分数分解を
利用します.
n−1Σk=1Σi.1k(k+1)nnnnnn=n−1Σk=1Σi=(.1kn.1k+1nnn )
ここから先を「見えも外聞も関係なく」「安全確実に」進めるには,次のように縦書きにするとよいでしょう.
(.11n.12n )
+(.12n.13n )
+(.13n.14n )
+...
+(.1n−1nnn.1nn )
=1−.1nn
※ビジュアル系のきれいな答案にすることもできますが,無理して間違ってはいけません.
(12)
a1=0
an+1=an+.1(2n−1)(2n+1)nnnnnnnnnnnn

のとき数列{an}の一般項を求めてください.
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=.1(2n−1)(2n+1)nnnnnnnnnnn
n≧2のとき
an=a1+n−1Σk=1Σi.1(2k−1)(2k+1)nnnnnnnnnnn
=0+.12n(n−1Σk=1Σi(.12k−1nnnn.12k+1nnnn )
=.12n(1−.12n−1nnnn )=.n−12n−1nnnn
これは,n=1のときも成り立つ.
ゆえに,an=.n−12n−1nnnn …(答)
(初歩的な注意)
n−1Σk=1Σi.1(2k−1)(2k+1)nnnnnnnnnnnnを求めるには,部分分数分解を
利用します.
n−1Σk=1Σi.1(2k−1)(2k+1)nnnnnnnnnnnn=n−1Σk=1Σi.12n(.12k−1nnnn.12k+1nnnn )
ここから先を「見えも外聞も関係なく」「安全確実に」進めるには,次のように縦書きにするとよいでしょう.
.12n(.11n.13n )
+.12n(.13n.15n )
+.12n(.15n.17n )
+...
+.12n(.12n−3nnnn.12n−1nnnn )
=.12n(1−.12n−1nnnn )
※ビジュアル系のきれいな答案にすることもできますが,無理して間違ってはいけません.

問題
【問題】 …(簡単な再現問題=上と同じ問題=です)
 次の漸化式で定義される数列の一般項を求めてください.
 各々正しい選択肢をクリック

(1)
a1=2
an+1=an+3

an=2n−3 an=2n+1
an=3n−1 an=3n+2


(2)
a1=4
an+1=an+2n+3

an=(n−1)2 an=n2 an=(n+1)2

(3)
a1=2
an+1=an+n2+3n+2

an=(n−1)(n+1) an=n(n+1)
an=(n+1)(n+2) an=.13nn(n+1)(n+2)

(4)
a1=0
an+1=an+n(n+1)(n+2)

an=.12n(n−2)(n−3) an=.12n(n−1)(n−2)


an=.13nn(n+1)(n+2) an=.14n(n−1)n(n+1)(n+2)

(5)
a1=1
an+1=an+2n

an=2n−1 an=2n+1


an=2n+1−1 an=2n−1+1

(6)
a1=1
an+1=an+.1n(n+1)nnnnnn

an=1−.1nn an=1+.1nn an=2−.1nn an=2+.1nn


...(携帯版)メニューに戻る

...(PC版)メニューに戻る

■[個別の頁からの質問に対する回答][漸化式と一般項(階差形)について/18.8.20]
例と答1の(4)の(ア)で Σ(k+3)となってますがΣ(2k+3)の間違いではないですか?
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました.そのほか,Σの上につく末項の位置がずれていましたので直しました.
■[個別の頁からの質問に対する回答][漸化式と一般項(階差形)について/17.9.22]
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961 /electro/recurr_series1_m.htm から 同(等比形) などのページがつながっておりません スマフォからみてるのでソースまでは見てませんが 相対リンクが./mobile/ページhtmlになってるようです
=>[作者]:連絡ありがとう.そのページは古い方のリンクで現在表示できないはずになっているのですが,どこかに古いルートが生きているのかもしれませんので調べます.なお,正しくは階差型,等比型です.

笆�縺薙�繧オ繧、繝亥�縺ョGoogle讀懃エ「笆�

笆ウ縺薙�繝壹�繧ク縺ョ蜈磯�ュ縺ォ謌サ繧銀無
縲� 繧「繝ウ繧ア繝シ繝磯€∽ソ。 縲�
… 縺薙�繧「繝ウ繧ア繝シ繝医�謨呎攝謾ケ蝟��蜿り€�↓縺輔○縺ヲ縺�◆縺�縺阪∪縺�

笆�縺薙�鬆√↓縺、縺�※�瑚憶縺�園�梧が縺�園�碁俣驕輔>縺ョ謖�遭�後◎縺ョ莉悶�諢滓Φ縺後≠繧後�騾∽ソ。縺励※縺上□縺輔>��
笳区枚遶�縺ョ蠖「繧偵@縺ヲ縺�k諢滓Φ縺ッ蜈ィ驛ィ隱ュ縺セ縺帙※繧ゅi縺」縺ヲ縺�∪縺呻シ�
笳区─諠ウ縺ョ蜀�〒�後←縺ョ蝠城。後′縺ゥ縺�〒縺ゅ▲縺溘°繧呈ュ」遒コ縺ェ譁�ォ�縺ァ莨昴∴縺ヲ縺�◆縺�縺�◆謾ケ蝟�ヲ∵悍縺ォ蟇セ縺励※縺ッ�悟庄閭ス縺ェ髯舌j蟇セ蠢懊☆繧九h縺�↓縺励※縺�∪縺呻シ趣シ遺€サ縺ェ縺奇シ梧判謦�噪縺ェ譁�ォ�縺ォ縺ェ縺」縺ヲ縺�k蝣エ蜷医��後◎繧後r蜈ャ髢九☆繧九→遲�€�□縺代〒縺ェ縺剰ェュ閠�b隱ュ繧€縺薙→縺ォ縺ェ繧翫∪縺吶�縺ァ�梧治逕ィ縺励∪縺帙s�趣シ�


雉ェ蝠上↓蟇セ縺吶k蝗樒ュ斐�荳ュ蟄ヲ迚医�縺薙�鬆��碁ォ俶�。迚医�縺薙�鬆�縺ォ縺ゅj縺セ縺�