![]() ![]() *** 遘醍岼 *** 謨ー竇�繝サ�。謨ー竇。繝サ�「謨ー竇「鬮伜穀繝サ螟ァ蟄ヲ蛻晏ケエ蠎ヲ *** 蜊伜� *** 蠑上→險シ譏�轤ケ縺ィ逶エ邱�蜀�霆瑚キ。縺ィ鬆伜沺荳芽ァ帝未謨ー 謖�焚髢「謨ー蟇セ謨ー髢「謨ー蠕ョ蛻�荳榊ョ夂ゥ榊�螳夂ゥ榊� 鬮俶ャ。譁ケ遞句シ�謨ー蛻�貍ク蛹門シ上→謨ー蟄ヲ逧�クー邏肴ウ� 蟷ウ髱「繝吶け繝医Ν遨コ髢薙�繧ッ繝医Ν遒コ邇��蟶� 窶サ鬮俶�。謨ー蟄ヲB縺ョ縲梧焚蟄ヲ逧�クー邏肴ウ輔→貍ク蛹門シ上阪↓縺、縺�※�後%縺ョ繧オ繧、繝医↓縺ッ谺。縺ョ謨呎攝縺後≠繧翫∪縺呻シ�
縺薙�鬆√∈Google繧ШAHOO ! 縺ェ縺ゥ縺ョ讀懃エ「縺九i逶エ謗・譚・縺ヲ縺励∪縺」縺溘�縺ァ縲悟燕謠舌→縺ェ縺」縺ヲ縺�k蜀�ョケ縺悟�縺九i縺ェ縺�阪→縺�≧蝣エ蜷医d縲後%縺ョ鬆√�蛻�°縺」縺溘′繧ゅ▲縺ィ蠢懃畑蝠城。後r隕九◆縺�阪→縺�≧蝣エ蜷医��御サ悶�鬆√r隕九※縺上□縺輔>��縲 縺檎樟蝨ィ蝨ー縺ァ縺呻シ� 竊�蟶ー邏肴ウ輔→縺ッ�郁ェュ縺ソ迚ゥ�� 竊�謨ー蟄ヲ逧�クー邏肴ウ包シ育ュ牙シ擾シ� 竊�謨エ謨ー縺ョ邏ッ荵�(蜈・隧ヲ蝠城。�) 竊�謨ー蟄ヲ逧�クー邏肴ウ包シ井ク咲ュ牙シ擾シ� 竊�謨ー蟄ヲ逧�クー邏肴ウ包シ亥撫鬘御ク隕ァ�� 竊�貍ク蛹門シ上→荳闊ャ鬆�シ磯嚴蟾ョ蠖「��-迴セ蝨ィ蝨ー 竊�蜷鯉シ育ュ画ッ泌ス「�� 荳蛾��俣貍ク蛹門シ上�荳闊ャ鬆� |
解説
【an+1=an+f(n)の形の漸化式】
(解説)2項間漸化式が an+1=an+f(n) …(1) の形で与えられているとき,一般項anは an=a1+n−1Σk=1 f(k) …(2) で求めることができます.
※この形の2項間漸化式の特徴はanの係数が1になっているということです.
(1)式をan+1−an=f(n)と変形すると,anの階差数列の第n項すなわち(1)式のように an+1=1an+f(n) となっているときに,この公式を適用します. ※anの係数が1でないときは,他の公式を考えます. bn=an+1−an が bn=f(n) として与えられていることになるから,階差数列から元の数列の一般項を求める公式 an=a1+n−1Σk=1 bk ![]() an=a1+n−1Σk=1 f(k) |
※初歩的な注意として,次の点を押さえておきましょう. □ (2)式において,Σ記号の内部では文字nをkに書き換えて使います.したがって,f(n)はf(k)に変わります. an=a1+n−1Σk=1 f(k) □ (2)式において,Σ記号の上に乗っているのはnではなくn−1です.すなわち,このΣは f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n−1) を表します. an=a1+n−1Σk=1 f(k) □ (2)式においては階差数列の和だけで元の数列が求まるのではなく,元の数列の第1項も足さなければなりません. an=a1+n−1Σk=1 f(k) □ (2)式は,高校数学におけるΣ記号の使い方の約束として,Σ記号で表される式が少なくとも1つの項を含んでいることを前提としています.だから(2)式はn=1の場合を表しません.そこで,答案では次の例のように,途中経過においてn=1の場合と,n≧2の場合を分けて作成しなければなりません.
(ア) a1=1
ほとんどの場合,結果的にn=1の場合は,n≧2の一般項を「1まで延長した」ものになりますが,そうだからといって「途中経過において分けて求めるという手続きを省略してはいけません.」慣れてくれば,次の例のように別途求めて,結果的に吸収したというスタイルでもよい.
(イ) n≧2のとき an=2n−1 したがって,n≧1のときan=2n−1
運転免許試験で「左右確認しているかどうか」だけをチェックしているのと同様に,採点官はn=1の場合と,n≧2の場合を分けているかどうかだけを見ているので,最後のまとめを「すべての自然数nについて...」と書いていても,「n≧1のとき...」と書いていても,単に「an=2n−1」と書いていてもほとんど気にしていない.したがって,これらのいずれでもよい.
an=2n−1
(n=1のときもこれでよい) |
例と答1
≪この形の問題と解答≫
(1)
階差数列を{bn}とおくと
bn=an+1−an=2![]() an+1=an+2 のとき数列{an}の一般項を求めてください. (ア) n≧2のとき ゆえに,すべての自然数nについて,an=2n+1 …(答)
(初歩的な注意)
2(n−1)になります. 一般にcを定数とするとき, だから です |
(2)
階差数列を{bn}とおくと
bn=an+1−an=3![]() an+1=an+3 のとき数列{an}の一般項を求めてください. (ア) n≧2のとき ゆえに,すべての自然数nについて,an=3n−1 …(答)
(初歩的な注意) 3(n−1)になります. |
(3)
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=n−2![]() an+1=an+n−2 のとき数列{an}の一般項を求めてください. (ア) n≧2のとき an=a1+n−1Σk=1 (k−2) (イ) n=1のとき,a1=1=1+ ![]() = ![]() = ![]() = ![]() ゆえに,n≧1のとき,an= ![]() (初歩的な注意)
nΣk=1 k= ![]() n−1Σk=1 k= ![]() |
(4)
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=2n+3![]() an+1=an+2n+3 のとき数列{an}の一般項を求めてください. n≧2のとき an=a1+n−1Σk=1 (2k+3) これは,n=1のときも成り立つ.=4+2× ![]() =4+n2−n+3n−3 =n2+2n+1 =(n+1)2 ゆえに,an=(n+1)2 …(答) (初歩的な注意)
nΣk=1 k= ![]() n−1Σk=1 k= ![]() |
(5)
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=n2+1![]() an+1=an+n2+1 のとき数列{an}の一般項を求めてください. n≧2のとき an=a1+n−1Σk=1 (k2+1) これは,n=1のときも成り立つ.=1+ ![]() = ![]() = ![]() = ![]() ゆえに,an= ![]() (初歩的な注意)
nΣk=1 k2= ![]() n−1Σk=1 k2= ![]() |
(6)
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=n2+3n+2![]() an+1=an+n2+3n+2 のとき数列{an}の一般項を求めてください. n≧2のとき an=a1+n−1Σk=1 (k2+3k+2) これは,n=1のときも成り立つ.=2+ ![]() ![]() = ![]() = ![]() = ![]() = ![]() ゆえに,an= ![]() (初歩的な注意)
nΣk=1 k2= ![]() n−1Σk=1 k2= ![]() またnΣk=1 k= ![]() n−1Σk=1 k= ![]() |
例と答2
(7)
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=n3![]() an+1=an+n3 のとき数列{an}の一般項を求めてください. n≧2のとき an=a1+n−1Σk=1 k3 これは,n=1のときも成り立つ.=1+{ ![]() = ![]() = ![]() ゆえに,an= ![]() (初歩的な注意)
nΣk=1 k3={ ![]() ![]() n−1Σk=1 k3={ ![]() ![]() |
(8)
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=n(n+1)(n+2)![]() an+1=an+n(n+1)(n+2) のとき数列{an}の一般項を求めてください. n≧2のとき an=a1+n−1Σk=1 k(k+1)(k+2) これは,n=1のときも成り立つ.an=a1+n−1Σk=1 (k3+3k2+2k) = ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() = ![]() = ![]() = ![]() ゆえに,an= ![]() (参考)
この形でΣ以後を求めるには nΣk=1 k(k+1)(k+2)= ![]() という公式を使って n−1Σk=1 k(k+1)(k+2)= ![]() と答える短縮答案が可能です. |
(9)
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=2n![]() an+1=an+2n のとき数列{an}の一般項を求めてください. n≧2のとき an=a1+n−1Σk=1 2k これは,n=1のときも成り立つ.=1+ ![]() ゆえに,an=2n−1 …(答) (初歩的な注意)
初項a,公比r (≠1),項数nの等比数列の和は,次の公式で求められます. S= ![]() Σ記号からこの公式を使って和に直すためには,ここまでに登場した「定数」「1次式」「2次式」「3次式」の和のように,nの代わりにn−1を代入するという方法では無理なので, 等比数列の和の公式が適用できるように「3要素に分けて読み取って」(*)に代入します. 例えば,nΣk=1 3kの場合は k=1を代入すると3k=3だから初項は3 また,例えば,n−1Σk=1 2kの場合はk=1,2,3,..を代入すると3,9,27,..となるから公比は3 k=1からk=nまでn個あるから項数はn したがって,nΣk=1 3k= ![]() とします. k=1を代入すると2k=2だから初項は2 k=1,2,3,..を代入すると2,4,8,..となるから公比は2 k=1からk=n−1までn−1個あるから項数はn−1 したがって,n−1Σk=1 2k= ![]() とします. |
(10)
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=3×2n+1![]() an+1=an+3×2n+1 のとき数列{an}の一般項を求めてください. n≧2のとき an=a1+n−1Σk=1 3×2k+1 これは,n=1のときも成り立つ.=4+ ![]() ゆえに,an=6×2n−8 …(答) (初歩的な注意)
初項a,公比r (≠1),項数nの等比数列の和は,次の公式で求められます. S= ![]() Σ記号からこの公式を使って和に直すためには,ここまでに登場した「定数」「1次式」「2次式」「3次式」の和のように,nの代わりにn−1を代入するという方法では無理なので, 等比数列の和の公式が適用できるように「3要素に分けて読み取って」(*)に代入します. 例えば,nΣk=1 3kの場合は k=1を代入すると3k=3だから初項は3 また,例えば,n−1Σk=1 3×2k+1の場合はk=1,2,3,..を代入すると3,9,27,..となるから公比は3 k=1からk=nまでn個あるから項数はn したがって,nΣk=1 3k= ![]() とします. k=1を代入すると3×2k+1=12だから初項は12 k=1,2,3,..を代入すると12,24,48,..となるから公比は2 k=1からk=n−1までn−1個あるから項数はn−1 したがって,n−1Σk=1 3×2k+1= ![]() =6×2n−12 とします. (※元の式でΣ内部が3×2k+1であることによって,項数は何も影響されません.また,3は公比に影響しません.) |
(11)
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=![]() an+1=an+ ![]() のとき数列{an}の一般項を求めてください. ![]() n≧2のとき an=a1+n−1Σk=1 これは,n=1のときも成り立つ.![]() =1+n−1Σk=1 ( ![]() ![]() =1+(1− ![]() ![]() ゆえに,an=2− ![]() (初歩的な注意)
n−1Σk=1 ![]() 利用します. n−1Σk=1 ![]() ![]() ![]() ここから先を「見えも外聞も関係なく」「安全確実に」進めるには,次のように縦書きにするとよいでしょう. ( ※ビジュアル系のきれいな答案にすることもできますが,無理して間違ってはいけません.![]() ![]() +( ![]() ![]() +( ![]() ![]() +...+( ![]() ![]() =1− ![]() |
(12)
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=![]() an+1=an+ ![]() のとき数列{an}の一般項を求めてください. ![]() n≧2のとき an=a1+n−1Σk=1 これは,n=1のときも成り立つ.![]() =0+ ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ゆえに,an= ![]() (初歩的な注意)
n−1Σk=1 ![]() 利用します. n−1Σk=1 ![]() ![]() ![]() ![]() ここから先を「見えも外聞も関係なく」「安全確実に」進めるには,次のように縦書きにするとよいでしょう. ![]() ![]() ![]() + ![]() ![]() ![]() + ![]() ![]() ![]() +...+ ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() |
問題
【問題】 …(簡単な再現問題=上と同じ問題=です)次の漸化式で定義される数列の一般項を求めてください. 各々正しい選択肢をクリック
(1)
an=2n−3
an=2n+1
an=3n−1
an=3n+2![]() an+1=an+3 解説
階差数列を{bn}とおくと
bn=an+1−an=3
(ア) n≧2のとき ゆえに,すべての自然数nについて,an=3n−1 …(答)
(2)
an=(n−1)2
an=n2
an=(n+1)2![]() an+1=an+2n+3 解説
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=2n+3
n≧2のとき an=a1+n−1Σk=1 (2k+3) これは,n=1のときも成り立つ.=4+2× ![]() =4+n2−n+3n−3 =n2+2n+1 =(n+1)2 ゆえに,an=(n+1)2 …(答) (初歩的な注意)
nΣk=1 k= ![]() n−1Σk=1 k= ![]()
(3)
an=(n−1)(n+1)
an=n(n+1)
an=(n+1)(n+2)
an=![]() an+1=an+n2+3n+2 ![]() 解説
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=n2+3n+2
n≧2のとき an=a1+n−1Σk=1 (k2+3k+2) これは,n=1のときも成り立つ.=2+ ![]() ![]() = ![]() = ![]() = ![]() = ![]() ゆえに,an= ![]() (初歩的な注意)
nΣk=1 k2= ![]() n−1Σk=1 k2= ![]() またnΣk=1 k= ![]() n−1Σk=1 k= ![]()
(4)
an=![]() an+1=an+n(n+1)(n+2) ![]() ![]() an= ![]() ![]() 解説
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=n(n+1)(n+2)
n≧2のとき an=a1+n−1Σk=1 k(k+1)(k+2) これは,n=1のときも成り立つ.an=a1+n−1Σk=1 (k3+3k2+2k) = ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() = ![]() = ![]() = ![]() ゆえに,an= ![]() (参考)
この形でΣ以後を求めるには nΣk=1 k(k+1)(k+2)= ![]() という公式を使って n−1Σk=1 k(k+1)(k+2)= ![]() と答える短縮答案が可能です.
(5)
an=2n−1
an=2n+1![]() an+1=an+2n an=2n+1−1 an=2n−1+1 解説
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=2n
n≧2のとき an=a1+n−1Σk=1 2k これは,n=1のときも成り立つ.=1+ ![]() ゆえに,an=2n−1 …(答) (初歩的な注意)
初項a,公比r (≠1),項数nの等比数列の和は,次の公式で求められます. S= ![]() Σ記号からこの公式を使って和に直すためには,ここまでに登場した「定数」「1次式」「2次式」「3次式」の和のように,nの代わりにn−1を代入するという方法では無理なので, 等比数列の和の公式が適用できるように「3要素に分けて読み取って」(*)に代入します. 例えば,nΣk=1 3kの場合は k=1を代入すると3k=3だから初項は3 また,例えば,n−1Σk=1 2kの場合はk=1,2,3,..を代入すると3,9,27,..となるから公比は3 k=1からk=nまでn個あるから項数はn したがって,nΣk=1 3k= ![]() とします. k=1を代入すると2k=2だから初項は2 k=1,2,3,..を代入すると2,4,8,..となるから公比は2 k=1からk=n−1までn−1個あるから項数はn−1 したがって,n−1Σk=1 2k= ![]() とします.
(6)
an=1−![]() an+1=an+ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 解説
階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=
![]() n≧2のとき an=a1+n−1Σk=1 これは,n=1のときも成り立つ.![]() =1+n−1Σk=1 ( ![]() ![]() =1+(1− ![]() ![]() ゆえに,an=2− ![]() (初歩的な注意)
n−1Σk=1 ![]() 利用します. n−1Σk=1 ![]() ![]() ![]() ここから先を「見えも外聞も関係なく」「安全確実に」進めるには,次のように縦書きにするとよいでしょう. ( ※ビジュアル系のきれいな答案にすることもできますが,無理して間違ってはいけません.![]() ![]() +( ![]() ![]() +( ![]() ![]() +...+( ![]() ![]() =1− ![]() |
|
![]() ![]() |
■[個別の頁からの質問に対する回答][漸化式と一般項(階差形)について/18.8.20]
例と答1の(4)の(ア)で
Σ(k+3)となってますがΣ(2k+3)の間違いではないですか?
■[個別の頁からの質問に対する回答][漸化式と一般項(階差形)について/17.9.22]
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました.そのほか,Σの上につく末項の位置がずれていましたので直しました. http://www.geisya.or.jp/~mwm48961 /electro/recurr_series1_m.htm
から
同(等比形)
などのページがつながっておりません
スマフォからみてるのでソースまでは見てませんが
相対リンクが./mobile/ページhtmlになってるようです
=>[作者]:連絡ありがとう.そのページは古い方のリンクで現在表示できないはずになっているのですが,どこかに古いルートが生きているのかもしれませんので調べます.なお,正しくは階差型,等比型です. |
笆�縺薙�繧オ繧、繝亥�縺ョGoogle讀懃エ「笆� |