漸化式と一般項（階差形）

※高校数学Bの「数学的帰納法と漸化式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓帰納法とは（読み物）
↓数学的帰納法（等式）
↓整数の累乗(入試問題)
↓数学的帰納法（不等式）
↓数学的帰納法（問題一覧）

↓漸化式と一般項（階差形）-現在地
↓同（等比形）
三項間漸化式の一般項

【an+1=an+f(n)の形の漸化式】

　２項間漸化式が
.an+1=an+f(n) …(1)

の形で与えられているとき，一般項anは

.an=a1+n−1Σk=1Σif(k) …(2)

で求めることができます．

※この形の２項間漸化式の特徴はanの係数が1になっているということです．
すなわち(1)式のように
.an+1=1an+f(n)

となっているときに，この公式を適用します．

※anの係数が１でないときは，他の公式を考えます．

（ア）　a1=1
（イ）　n≧2のとき
.an=2n−1
したがって，n≧1のときan=2n−1

　運転免許試験で「左右確認しているかどうか」だけをチェックしているのと同様に，採点官はn=1の場合と，n≧2の場合を分けているかどうかだけを見ているので，最後のまとめを「すべての自然数nについて...」と書いていても，「n≧1のとき...」と書いていても，単に「an=2n−1」と書いていてもほとんど気にしていない．したがって，これらのいずれでもよい．

an=2n−1
（n=1のときもこれでよい）

例と答１

　≪この形の問題と解答≫

(1)

a1=3
an+1=an+2

のとき数列{an}の一般項を求めてください．

階差数列を{bn}とおくと bn=an+1−an=2
（ア） n≧2のとき

a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} 2

= 3 + 2 (n - 1) = 2 n + 1

（イ）　n=1のとき，a1=3
ゆえに，すべての自然数nについて，an=2n+1 …（答）

（初歩的な注意）

\sum_{k = 1}^{n - 1} 2

は2+2+2...+2　（←ｎ-1項の和）だから
2(n−1)になります．

一般にcを定数とするとき，

\sum_{k = 1}^{n} c = c n

だから

\sum_{k = 1}^{n - 1} c = c (n - 1)

です

(2)

a1=2
an+1=an+3

のとき数列{an}の一般項を求めてください．

階差数列を{bn}とおくと bn=an+1−an=3
（ア） n≧2のとき

a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} 3

= 2 + 3 (n - 1) = 3 n - 1

（イ）　n=1のとき，a1=2
ゆえに，すべての自然数nについて，an=3n−1 …（答）

（初歩的な注意）

\sum_{k = 1}^{n - 1} 3

は3+3+3...+3　（←ｎ-1項の和）だから
3(n−1)になります．

(3)

a1=1
an+1=an+n−2

のとき数列{an}の一般項を求めてください．

階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=n−2
（ア） n≧2のとき

an=a1+n−1Σk=1Σi(k−2)

=1+.

12n(n−1)n−2(n−1)

12n(2+n2−n−4n+4)

12n(n2−5n+6)

12n(n−2)(n−3)

（イ）　n=1のとき，a1=1

ゆえに，n≧1のとき，an=.

12n(n−2)(n−3) …（答）

（初歩的な注意）

nΣk=1Σik=.

12nn(n+1)　だから

n−1Σk=1Σik=.

12n(n−1)n　となります.

(4)

a1=4
an+1=an+2n+3

のとき数列{an}の一般項を求めてください．

階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=2n+3
n≧2のとき

an=a1+n−1Σk=1Σi(2k+3)

=4+2×.

12n(n−1)n+3(n−1)

=4+n2−n+3n−3
=n2+2n+1
=(n+1)2

これは，n=1のときも成り立つ．
ゆえに，an=(n+1)2 …（答）

（初歩的な注意）

nΣk=1Σik=.

12nn(n+1)　だから

n−1Σk=1Σik=.

12n(n−1)n　となります.

(5)

a1=1
an+1=an+n2+1

のとき数列{an}の一般項を求めてください．

階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=n2+1
n≧2のとき

an=a1+n−1Σk=1Σi(k2+1)

=1+.

16n(n−1)n(2n−1)+(n−1)

16n(6+2n3−3n2+n+6n−6)

16n(2n3−3n2+7n)

16nn(2n2−3n+7)

これは，n=1のときも成り立つ．

ゆえに，an=.

16nn(2n2−3n+7) …（答）

（初歩的な注意）

nΣk=1Σik2=.

16nn(n+1)(2n+1)　だから

n−1Σk=1Σik2=.

16n(n−1)n(2n−1)　となります.

(6)

a1=2
an+1=an+n2+3n+2

のとき数列{an}の一般項を求めてください．

階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=n2+3n+2
n≧2のとき

an=a1+n−1Σk=1Σi(k2+3k+2)

=2+.

16n(n−1)n(2n−1)+.

32n(n−1)n+2(n−1)

16n(12+2n3−3n2+n+9n2−9n+12n−12)

16n(2n3+6n2+4n)

26nn(n2+3n+2)

13nn(n+1)(n+2)

これは，n=1のときも成り立つ．

ゆえに，an=.

13nn(n+1)(n+2) …（答）

（初歩的な注意）

nΣk=1Σik2=.

16nn(n+1)(2n+1)　だから

n−1Σk=1Σik2=.

16n(n−1)n(2n−1)　となります.

また

nΣk=1Σik=.

12nn(n+1)　だから

n−1Σk=1Σik=.

12n(n−1)n　となります.

例と答２

(7)

a1=1
an+1=an+n3

のとき数列{an}の一般項を求めてください．

階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=n3
n≧2のとき

an=a1+n−1Σk=1Σik3

=1+{ .

(n−1)n2nnnnnn}2

14n{ 4+(n2−2n+1)n2 }

14n(n4−2n3+n2+4)

これは，n=1のときも成り立つ．

ゆえに，an=.

14n(n4−2n3+n2+4) …（答）

（初歩的な注意）

nΣk=1Σik3={ .

n(n+1)2nnnnnn}2=.

n2(n+1)24nnnnnnn　だから

n−1Σk=1Σik3={ .

(n−1)n2nnnnnn}2=.

(n−1)2n24nnnnnnn　となります.

(8)

a1=0
an+1=an+n(n+1)(n+2)

のとき数列{an}の一般項を求めてください．

階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=n(n+1)(n+2)
n≧2のとき

an=a1+n−1Σk=1Σik(k+1)(k+2)

an=a1+n−1Σk=1Σi(k3+3k2+2k)

(n−1)2n24nnnnnnn+.

3(n−1)n(2n−1)6nnnnnnnnnnnnn+2.

(n−1)n2nnnnnn

(n−1)2n24nnnnnnn+.

(n−1)n(2n−1)2nnnnnnnnnnnn+(n−1)n

14n(n−1)n{ (n−1)n+2(2n−1)+4 }

14n(n−1)n(n2+3n+2)

14n(n−1)n(n+1)(n+2)

これは，n=1のときも成り立つ．

ゆえに，an=.

14n(n−1)n(n+1)(n+2) …（答）

（参考）
この形でΣ以後を求めるには

nΣk=1Σik(k+1)(k+2)=.

14nn(n+1)(n+2)(n+3)

という公式を使って

n−1Σk=1Σik(k+1)(k+2)=.

14n(n−1)n(n+1)(n+2)

と答える短縮答案が可能です.

(9)

a1=1
an+1=an+2n

のとき数列{an}の一般項を求めてください．

階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=2n
n≧2のとき

an=a1+n−1Σk=1Σi2k

=1+.

2(2n−1−1)2−1nnnnnnnn=1+(2n−2)=2n−1

これは，n=1のときも成り立つ．
ゆえに，an=2n−1 …（答）

（初歩的な注意）
初項a，公比r (≠1)，項数nの等比数列の和は，次の公式で求められます．

.S=.

a(rn−1)r−1nnnnnn …(*)

Σ記号からこの公式を使って和に直すためには，ここまでに登場した「定数」「１次式」「２次式」「３次式」の和のように，nの代わりにn−1を代入するという方法では無理なので，
等比数列の和の公式が適用できるように「３要素に分けて読み取って」(*)に代入します．

例えば，nΣk=1Σi3kの場合は

k=1を代入すると3k=3だから初項は3
k=1,2,3,..を代入すると3,9,27,..となるから公比は3
k=1からk=nまでn個あるから項数はn

したがって，nΣk=1Σi3k=.

3(3n−1)3−1nnnnnn

とします．

また，例えば，n−1Σk=1Σi2kの場合は

k=1を代入すると2k=2だから初項は2
k=1,2,3,..を代入すると2,4,8,..となるから公比は2
k=1からk=n−1までn−1個あるから項数はn−1

したがって，n−1Σk=1Σi2k=.

2(2n−1−1)2−1nnnnnnnn=2n−2

とします．

(10)

a1=4
an+1=an+3×2n+1

のとき数列{an}の一般項を求めてください．

階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=3×2n+1
n≧2のとき

an=a1+n−1Σk=1Σi3×2k+1

=4+.

12(2n−1−1)2−1nnnnnnnnn=4+(6×2n−12)=6×2n−8

これは，n=1のときも成り立つ．
ゆえに，an=6×2n−8 …（答）

（初歩的な注意）
初項a，公比r (≠1)，項数nの等比数列の和は，次の公式で求められます．

.S=.

a(rn−1)r−1nnnnnn …(*)

例えば，nΣk=1Σi3kの場合は

k=1を代入すると3k=3だから初項は3
k=1,2,3,..を代入すると3,9,27,..となるから公比は3
k=1からk=nまでn個あるから項数はn

したがって，nΣk=1Σi3k=.

3(3n−1)3−1nnnnnn

とします．

また，例えば，n−1Σk=1Σi3×2k+1の場合は

k=1を代入すると3×2k+1=12だから初項は12
k=1,2,3,..を代入すると12,24,48,..となるから公比は2
k=1からk=n−1までn−1個あるから項数はn−1

したがって，n−1Σk=1Σi3×2k+1=.

12(2n−1−1)2−1nnnnnnnn

=6×2n−12
とします．
（※元の式でΣ内部が3×2k+1であることによって，項数は何も影響されません．また，3は公比に影響しません．）

(11)

a1=1
an+1=an+.

1n(n+1)nnnnnn

のとき数列{an}の一般項を求めてください．

階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=.

1n(n+1)nnnnnn
n≧2のとき

an=a1+n−1Σk=1Σi.

1k(k+1)nnnnnn

=1+n−1Σk=1Σi(.

1kn−.

1k+1nnn )

=1+(1−.

1nn)=2−.

1nn

これは，n=1のときも成り立つ．

ゆえに，an=2−.

1nn …（答）

（初歩的な注意）

n−1Σk=1Σi.

1k(k+1)nnnnnnを求めるには，部分分数分解を

利用します．

n−1Σk=1Σi.

1k(k+1)nnnnnn=n−1Σk=1Σi=(.

1kn−.

1k+1nnn )

ここから先を「見えも外聞も関係なく」「安全確実に」進めるには，次のように縦書きにするとよいでしょう．

11n−.

12n )

+(.

12n−.

13n )

+(.

13n−.

14n )

+...

+(.

1n−1nnn−.

1nn )

=1−.

1nn

※ビジュアル系のきれいな答案にすることもできますが，無理して間違ってはいけません．

(12)

a1=0
an+1=an+.

1(2n−1)(2n+1)nnnnnnnnnnnn

のとき数列{an}の一般項を求めてください．

階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=.

1(2n−1)(2n+1)nnnnnnnnnnn
n≧2のとき

an=a1+n−1Σk=1Σi.

1(2k−1)(2k+1)nnnnnnnnnnn

=0+.

12n(n−1Σk=1Σi(.

12k−1nnnn−.

12k+1nnnn )

12n(1−.

12n−1nnnn )=.

n−12n−1nnnn

これは，n=1のときも成り立つ．

ゆえに，an=.

n−12n−1nnnn …（答）

（初歩的な注意）

n−1Σk=1Σi.

1(2k−1)(2k+1)nnnnnnnnnnnnを求めるには，部分分数分解を

利用します．

n−1Σk=1Σi.

1(2k−1)(2k+1)nnnnnnnnnnnn=n−1Σk=1Σi.

12n(.

12k−1nnnn−.

12k+1nnnn )

ここから先を「見えも外聞も関係なく」「安全確実に」進めるには，次のように縦書きにするとよいでしょう．

12n(.

11n−.

13n )

12n(.

13n−.

15n )

12n(.

15n−.

17n )

+...

12n(.

12n−3nnnn−.

12n−1nnnn )

12n(1−.

12n−1nnnn )

※ビジュアル系のきれいな答案にすることもできますが，無理して間違ってはいけません．

階差数列を{bn}とおくと bn=an+1−an=3
（ア） n≧2のとき

a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} 3

= 2 + 3 (n - 1) = 3 n - 1

（イ）　n=1のとき，a1=2
ゆえに，すべての自然数nについて，an=3n−1 …（答）

(2)

a1=4
an+1=an+2n+3

階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=2n+3
n≧2のとき

an=a1+n−1Σk=1Σi(2k+3)

=4+2×.

12n(n−1)n+3(n−1)

=4+n2−n+3n−3
=n2+2n+1
=(n+1)2

これは，n=1のときも成り立つ．
ゆえに，an=(n+1)2 …（答）

（初歩的な注意）

nΣk=1Σik=.

12nn(n+1)　だから

n−1Σk=1Σik=.

12n(n−1)n　となります.

(3)

a1=2
an+1=an+n2+3n+2

階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=n2+3n+2
n≧2のとき

an=a1+n−1Σk=1Σi(k2+3k+2)

=2+.

16n(n−1)n(2n−1)+.

32n(n−1)n+2(n−1)

16n(12+2n3−3n2+n+9n2−9n+12n−12)

16n(2n3+6n2+4n)

26nn(n2+3n+2)

13nn(n+1)(n+2)

これは，n=1のときも成り立つ．

ゆえに，an=.

13nn(n+1)(n+2) …（答）

（初歩的な注意）

nΣk=1Σik2=.

16nn(n+1)(2n+1)　だから

n−1Σk=1Σik2=.

16n(n−1)n(2n−1)　となります.

また

nΣk=1Σik=.

12nn(n+1)　だから

n−1Σk=1Σik=.

12n(n−1)n　となります.

(4)

a1=0
an+1=an+n(n+1)(n+2)

階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=n(n+1)(n+2)
n≧2のとき

an=a1+n−1Σk=1Σik(k+1)(k+2)

an=a1+n−1Σk=1Σi(k3+3k2+2k)

(n−1)2n24nnnnnnn+.

3(n−1)n(2n−1)6nnnnnnnnnnnnn+2.

(n−1)n2nnnnnn

(n−1)2n24nnnnnnn+.

(n−1)n(2n−1)2nnnnnnnnnnnn+(n−1)n

14n(n−1)n{ (n−1)n+2(2n−1)+4 }

14n(n−1)n(n2+3n+2)

14n(n−1)n(n+1)(n+2)

これは，n=1のときも成り立つ．

ゆえに，an=.

14n(n−1)n(n+1)(n+2) …（答）

（参考）
この形でΣ以後を求めるには

nΣk=1Σik(k+1)(k+2)=.

14nn(n+1)(n+2)(n+3)

という公式を使って

n−1Σk=1Σik(k+1)(k+2)=.

14n(n−1)n(n+1)(n+2)

と答える短縮答案が可能です.

階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=2n
n≧2のとき

an=a1+n−1Σk=1Σi2k

=1+.

2(2n−1−1)2−1nnnnnnnn=1+(2n−2)=2n−1

これは，n=1のときも成り立つ．
ゆえに，an=2n−1 …（答）

（初歩的な注意）
初項a，公比r (≠1)，項数nの等比数列の和は，次の公式で求められます．

.S=.

a(rn−1)r−1nnnnnn …(*)

例えば，nΣk=1Σi3kの場合は

k=1を代入すると3k=3だから初項は3
k=1,2,3,..を代入すると3,9,27,..となるから公比は3
k=1からk=nまでn個あるから項数はn

したがって，nΣk=1Σi3k=.

3(3n−1)3−1nnnnnn

とします．

また，例えば，n−1Σk=1Σi2kの場合は

k=1を代入すると2k=2だから初項は2
k=1,2,3,..を代入すると2,4,8,..となるから公比は2
k=1からk=n−1までn−1個あるから項数はn−1

したがって，n−1Σk=1Σi2k=.

2(2n−1−1)2−1nnnnnnnn=2n−2

とします．

(6)

a1=1
an+1=an+.

1n(n+1)nnnnnn

階差数列を{bn}とおくとbn=an+1−an=.

1n(n+1)nnnnnn
n≧2のとき

an=a1+n−1Σk=1Σi.

1k(k+1)nnnnnn

=1+n−1Σk=1Σi(.

1kn−.

1k+1nnn )

=1+(1−.

1nn)=2−.

1nn

これは，n=1のときも成り立つ．

ゆえに，an=2−.

1nn …（答）

（初歩的な注意）

n−1Σk=1Σi.

1k(k+1)nnnnnnを求めるには，部分分数分解を

利用します．

n−1Σk=1Σi.

1k(k+1)nnnnnn=n−1Σk=1Σi=(.

1kn−.

1k+1nnn )

ここから先を「見えも外聞も関係なく」「安全確実に」進めるには，次のように縦書きにするとよいでしょう．

11n−.

12n )

+(.

12n−.

13n )

+(.

13n−.

14n )

+...

+(.

1n−1nnn−.

1nn )

=1−.

1nn

※ビジュアル系のきれいな答案にすることもできますが，無理して間違ってはいけません．

例と答1の(4)の(ア)で Σ(k+3)となってますがΣ(2k+3)の間違いではないですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．そのほか，Σの上につく末項の位置がずれていましたので直しました．

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961 /electro/recurr_series1_m.htm から同（等比形）などのページがつながっておりませんスマフォからみてるのでソースまでは見てませんが相対リンクが./mobile/ページhtmlになってるようです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのページは古い方のリンクで現在表示できないはずになっているのですが，どこかに古いルートが生きているのかもしれませんので調べます．なお，正しくは階差型，等比型です．

○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています．
○感想の内で，どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては，可能な限り対応するようにしています．（※なお，攻撃的な文章になっている場合は，それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので，採用しません．）