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この頁では，次の項目について，解説と練習問題があります．次の表は直接ジャンプできるメニューになっています． |
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階級の幅
【例題１】
（解答）
表
右の表は，クラスの全生徒36人分のハンドボール投げの記録をまとめた度数分布表である。このとき，次の(1)～(3)に答えよ。
(1) 階級の幅は何ｍか。 (2)(3) 略 （長崎県2017年入試問題）
(1) この例のように資料を整理したものを度数分布表と言い，それぞれの階級の間隔の大きさを「階級の幅」といいます． |
（深く考える人へ）
ある階級が5以上10未満（すなわち5≦x<10）だったら，10はその階級に入っていないのではないか，実際には小数点以下第2位（0.01m=1cm）程度までしか測れないから，大きい方の端は9.99までしかないのではないのか？と疑う人へ 以上 ～ 未満 5 ～ 10 10 ～ 15 15 ～ 20 … となっているとき，階級の幅は「ある階級の先頭の値」から「次の階級の先頭の値」までの間隔と考えます．だから，この表で赤で示した値の間隔になるので， 5から10までの間隔の5になります． 
（よく似た話）改行幅は，右図のように行の先頭位置から次の行の先頭位置までで測ります．文字サイズではない． |
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【問題１】
右の表は，クラスの全生徒27人分の身長をまとめた度数分布表である。階級の幅は何cmか。
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【問題２】
右の表は，クラスの全生徒25人分の数学の得点をまとめた度数分布表である。階級の幅は何点か。
資料が整数値からなるときに，このような書き方をする場合がありますが，階級の幅は「それぞれの階級の先頭の値」から「次の階級の先頭の値」までで測ります．
1点から21点などから，21−1=20 20点…（答） |
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階級値
【例題２】
（解答）
右の表は，クラスの全生徒27人分の身長をまとめた度数分布表である。階級値の欄（ア～エ）を埋めなさい。
それぞれの階級の中央の値（両端の値を足して２で割った値）を階級値といいます． 上の表で，アは(150+160)÷2=155です． 同様にして，イ，ウ、エは順に165, 175,185になります． 右の表のように，階級幅が奇数になるときは，階級値は小数になりますが平気で使います．
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【問題３】
右の表は，クラスの全生徒35人分の体重をまとめた度数分布表である。アの欄に入る数字を答えなさい。
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［代表値 - - - 平均値，中央値，最頻値］ 資料全体の特徴を１つの値で表した数字を代表値といいます． 代表値には「平均値」「中央値」「最頻値」「範囲」などがあります．
「真理は1つだけでなければならない」などと決めつけてはいけません．どの代表値も長所短所があり，各自が資料を使って分析したいときに，ねらいを実現するために一番適した代表値を選んで使うようにします．
範囲は資料の「散らばり具合」を表します． 平均値
(1) 「平均値」とは，資料の値の合計を度数の合計で割ったものをいいます．
【例】4個の数値
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左の表では，
2.5の資料が1個，小計2.5
資料の個数の合計10個，資料の値の合計110だから，平均値は110÷10=11.0となります．
7.5の資料が3個，小計22.5 12.5の資料が4個，小計50.0 17.5の資料が2個，小計35.0 このように，度数分布表から平均値を求めるときは，（階級値）×（度数）の計算を繰り返し行うので，次の表のように（階級値）×（度数）の欄を付け足して，横に掛け算をしてから，縦に足すのが普通です．
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※以下に引用している入試問題では，元の問題は記述式問題ですが，ｗｅｂ上での読者の操作性をよくするために，このサイトでは，独自に選択問題にしています．選択肢の中から正しいものを１つクリックしてください．問題や選択肢に疑問があるときは，原著作者を煩わすことなく，このサイトの管理人に質問してください．
【問題４】
下の表は，あるクラスの生徒30人が１か月に読んだ本の冊数をまとめたものである。 このとき，このクラスの生徒が1か月に読んだ本の冊数の平均値を求めなさい．
（愛知県2017年入試問題）
この問題では，階級値が冊数として直接与えられていると考えて，次のように（冊数）×（度数）の欄を追加して，縦にかけてから横に足すとよいでしょう．
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【問題５】
20人の生徒に，20点満点の漢字の書き取りテストを行い，その結果を右の表にまとめた。ただし，得点はすべて整数の値であった。この表から考えられる平均点の最も大きな場合の値と最も小さな場合の値の差は 点である。
（岡山県立朝日高2017年入試問題）
もし，度数分布表に整理された資料の平均値は，階級値×度数を使って計算するのが自明の理であると解釈すると，この問題でいう平均点の差が生じる余地はなくなる．
そこで，「それぞれの階級の資料はその階級値にあるものとみなす」という通常の計算方法を採用せずに，「そもそも平均値は資料の値の総和を度数の合計で割った値とする」という原始的な定義に立ち戻って考えます．
これは，特別に難しい話ではありません．文章に書かれている「空気を読めば」誰でも分かるはずです．
得点は整数値であるということから，例えば20点未満とは19点以下のことです．そこで「各階級の人数がすべて最大値をとっている場合」と「すべて最小値をとっている場合」の平均値を求めるとよい．
左の表により，最大の場合の平均値を求めると (20×3+...+7×4)÷20 =278÷20=13.9 最小の場合の平均値を求めると (20×3+...+0×4)÷20 =224÷20=11.2 13.9−11.2=2.7…（答） |
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中央値
(2) 資料を大きさの順に並べたとき，中央にある値を「中央値」（または「メジアン」）といいます．
〇一般に，資料の個数が奇数個の場合は，大きい方から数えても小さい方から数えても中央に来る値が１つに決まり，その値が中央値です．
【例】5人の体重(kg) 〇資料の個数が偶数個の場合は，「中央に並ぶ２つの値の平均」を中央値とします． 【例】6人の体重(kg)
生の資料がなくて，度数分布表だけがあるときは，その階級の中に資料が均等に分布しているものとして中央値を求めます． 右の表では，合計13個の中央は小さい方から7番目（大きい方から７番目）の資料だから，10～15の階級の小さい方から2番目の値と考えます． 階級幅5の間隔に5個の資料が均等に並んでいるとすると，幅1だから，10,11,12,13,14のように並んでいるものと「見なします」．その2番目の値，11が中央値です． |
〇各世帯の年収のように，低所得層が圧倒的に多い中に１人だけ高額所得者がいる場合平均値は「極端値」「はずれ値」の影響を受けて引きずられやすく，例えばある町内の年収の分布が右図のようであるとき（単位100万円），計算上は平均値が336万円となっても，ほとんどの世帯の収入は平均値よりも少なくなります． これに対して中央値は少ない方からの（または多い方からの）順位なので，高額所得者の年収が1000万円であっても，１億円であってもその金額の影響は受けません． 
〇上の例とは逆に，簡単な復習テストのようにほとんどの生徒が満点になり，極端にできない生徒が１人しかいないような場合には，ほとんどの生徒は平均値よりも高い得点になっています．
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【問題６】
20 ,40 ,80 ,60 ,80 ,
右の資料は，中学２年生10人が行った，あるゲームの得点の記録である。この資料について，次の各問に答えなさい。30 ,60 ,50 ,90 ,20 (1) 略 (2) 10人の記録の中央値を求めなさい。 （三重県2017年入試問題）
小さい方から順に並べると
(50+60)÷2=55…（答） |
【問題７】
右の表は，３年生女子全体50人の握力の記録を，度数分布表にまとめたものである。
この50人の記録の中央値をふくむ階級について，階級値を答えなさい。 （山口県2017年入試問題）
中央値を求めよと言っているのではないことに注意．まず「中央値を含む階級を求めて」，次に「その階級値を答えよ」と述べているのです．
全体で50人の資料だから，中央は前から25番目と26番目の間です． 18～22の階級までに累積で12人，22～26の階級まで入れると累積で26人になるから，中央値を含む階級は「22～26の階級」 次に，その階級の階級値は(22+26)÷2=24(kg)…（答） |
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最頻値
(3) 度数分布表で，度数が最も多い階級の階級値を「
▼度数分布表に整理されていない生の資料，例えば次の例のような資料については最頻値は考えません．
【例】5人の体重(kg)
右の度数分布表において度数の一番多い値15が最頻値だと言っているのではありません． 度数が一番多い階級の階級値52.5が最頻値です．
右の表はある土産物店の１日の売り上げを度数分布表に整理したものだとします． この表から「売れ筋は500円から700円の価格帯，すなわち階級値600円の価格帯」だと言えます． この土産物店としては，売れ筋の価格帯の商品を増やそうなどと考えるとよい． |
〇右の表のように，度数が最大となる階級が１つでないときは，最頻値は１つに決らず，500も700も最頻値になります．
▼土産物店の売り上げを表にした上記のＡ表とＢ表を比べてみると，最頻値は階級の区切り方によって変わり，元の生の資料だけで決まる訳ではないと言えます． 
⇒
最頻値は，度数yの最大値ではない．
yが最大となるxの値：よく売れる価格帯（の階級値） ⇒
最頻値は，度数分布表の区切り方によって変わる．
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【問題８】
右の表は，ある年の２月の最低気温を調べて，度数分布表に整理したものである。最低気温の最頻値を求めなさい。
（徳島県2017年入試問題）
度数が最も多い値（この表では 9）が最頻値なのではありません．
度数が最大となる階級の階級値が最頻値です．
したがって，2～4（°C）の階級の階級値を求めます． (2+4)÷2=3(°C)…（答） |
【問題９】
表
右の表は，クラスの全生徒36人分のハンドボール投げの記録をまとめた度数分布表である。このとき，次の(1)～(3)に答えよ。
(2) 最頻値（モード）は何ｍか。 (1)(3) 略 （長崎県2017年入試問題）
度数が最も多い値（この表では 15）が最頻値なのではありません．
度数が最大となる階級の階級値が最頻値です．
したがって，10～15（m）の階級の階級値を求めます． (10+15)÷2=12.5(m)…（答） |
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範囲
(4) 資料の中の最大値と最小値の差を「範囲」（レンジ）といいます．
【例】5人の体重(kg)が次の値であるとき
範囲が大きければ，資料は広く散らばっていることになり，範囲が小さければ資料は密に集まっていることになります．このように，範囲によって資料の「散らばり具合」を表すことができます．右図において〇が資料を表しているとき， ＡよりもＢの方が平均値や中央値は大きい（右側にある）が範囲は同じくらいだと言えます． ＣよりもＤの方が範囲が大きい（散らばっている）が平均値や中央値はほぼ同じくらいだと言えます．
例えばこの図において〇がマラソン選手のタイムを表しているとき，Ｄのような分布になっていると道路の通行規制を長時間行わなければならないことになります．
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【問題10】
20 ,40 ,80 ,60 ,80 ,
右の資料は，中学２年生10人が行った，あるゲームの得点の記録である。この資料について，次の各問に答えなさい。30 ,60 ,50 ,90 ,20 (1) 10人の記録の範囲を求めなさい。 (2) 略 （三重県2017年入試問題）
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相対度数
〇度数分布表において，各階級の度数を度数の合計で割ったものを相対度数といいます．〇それぞれの階級に度数を対応させた表が度数分布表であるのに対して，それぞれの階級に相対度数を対応させた表を相対度数分布表といいます． 〇相対度数（相対度数分布表）を使うと比率の比較が簡単にできます．
左の度数分布表を相対度数分布表に書き換えると右のような表になります．
※度数の合計が100だから，それぞれの度数を100で割ると相対度数になる |
【例題３】
（解答）
右の表は，Ａ校の生徒80人とＢ校の生徒210人のある日の通学時間を度数分布表にまとめたものである。２校について，通学時間が15分以上20分未満の生徒の割合が大きいのはＡ校とＢ校のどちらであるか。そう判断した理由とあわせて書きなさい。
（石川県2017年入試問題）
通学時間が15分以上20分未満の生徒の割合は
Ａ校は20÷80=0.25
したがって，Ａ校の方が割合が大きい
Ｂ校は42÷210=0.2 |
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【問題11】
右の表は，ある中学校の２年女子40人の走り幅跳びの記録を度数分布表に整理したものである。
330cm以上360cm未満の階級の相対度数を求めなさい。 （富山県2017年入試問題）
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【問題12】
右の図は，ある中学校の3年1組の男子20人と3年2組の男子20人のハンドボール投げの記録を，それぞれヒストグラムに表したものである。例えば，3年1組の男子のヒストグラムにおいて，25～30の階級では，ハンドボール投げの記録が25m以上30m未満の男子が7人いることを表しています。
3年1組と3年2組の男子の合計40人の記録を，階級が右の図と同じヒストグラムに表したとき，① 略 ② 中央値が入っている階級の相対度数を求めなさい。 （熊本県2017年入試問題）
40人の中央値は少ない方から20番目と21番目の間だから，太字で示した20～25の階級になる． この階級の相対度数は 8÷40=0.2…（答） |
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■まとめの問題■
【問題13】
図２
あるクラスの生徒40人に実施したテストの得点をヒストグラムに表すと，図２のようになった。このとき，平均値，中央値（メジアン），最頻値（モード）の大小関係を正しく表したものを，次のア～エから１つ選んで，その符号を書きなさい。 ア （平均値）<（中央値）<（最頻値） イ （中央値）<（平均値）<（最頻値） ウ （最頻値）<（平均値）<（中央値） エ （最頻値）<（中央値）<（平均値） （兵庫県2017年入試問題）
まず，最頻値は9
次に，中央値は得点の低い方から20人目と21人目の間だから 8 平均値は，(階級値×度数の和)÷(度数の和)によって計算します． (4×3+6×4+7×6+8×10+9×12+10×5)÷40 =316÷40=7.9 以上により，（平均値）<（中央値）<（最頻値）→ア…（答） |
【問題14】
右の図は，あるクラスの生徒20人が冬休み中に読んだ本の冊数を，ヒストグラムに表したものである。この20人が読んだ本の冊数について述べた文として適切なものを，次のア～エのうちから１つ選び，符号で答えなさい。 ア 分布の範囲（レンジ）は，4冊である． イ ウ 中央値（メジアン）は，3冊である． エ 平均値は，2.3冊である。 （千葉県2017年入試問題）
範囲は，資料の中の最大値（5冊）と最小値（0冊）の差だから，5−0=5（冊）…アは×
最大値と最小値といっても，度数（図の縦方向の目盛り）の最大値(8)と最小値(1)の差のことではない！
最頻値とは，度数が最も多い階級の階級値のことだから，3冊…イは×資料の値（図の横方向の目盛り）の最大値（5冊）と最小値（0冊）の差のこと
最も多い度数（縦方向の目盛り）ではない，度数が最も多い階級の階級値（この図では横方向の目盛り）
20人の資料の中央値は，少ない方から10番目と11番目の間だから，図から3冊の階級に入ります…ウは〇平均値は (0×2+1×3+2×4+3×7+4×1+5×3)÷20=2.55…エは× |
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類似問題.総合復習
右の度数分布表は，ある中学校の１年生女子40人の立ち幅とびの記録をまとめたものである。度数が最も多い階級の相対度数を求めなさい。 （栃木県2018年入試問題）
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右の表は，ある中学校のバレーボール部員30人の身長をまとめた度数分布表である。 身長が170cm以上の人数は，このバレーボール部員30人の何％になるか，求めなさい。 （千葉県2018年入試問題）
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右の表は，ある中学校のバレーボール部員30人の身長をまとめた度数分布表である。 身長が170cm以上の人数は，このバレーボール部員30人の何％になるか，求めなさい。 （東京都2018年入試問題）
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右の表は，ある中学校の生徒30人の通学時間を度数分布表にまとめたものである。 ① 表中の[ ]に入れるのに適している数を書きなさい。 ② 次のア～エのうち，10分以上15分未満の階級の相対度数として正しいものはどれですか。一つ選び，記号を○で囲みなさい。 ア 6 イ 30 ウ 0.2 エ 0.6 （大阪府2018年入試問題）
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右の表は，ある中学校のハンドボール投げの記録を，度数分布表に表したものです。このクラスのハンドボール投げの記録の平均値を，度数分布表から求めなさい。 （埼玉県2018年入試問題）
で求められる．
階級値 したがって，この度数分布表から平均値を求めるときは の公式を使う． |
右の度数分布表は，あるクラスの生徒20人のハンドボール投げの記録をまとめたものである。度数分布表から求め記録の平均値を答えなさい。 １． 21.0m ２． 21.2m ３． 21.4m ４． 21.6m （神奈川県2018年入試問題）
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【問題2.7】
解説を読む下の図は，クラスの生徒33人が夏休みに読んだ本の冊数を，ヒストグラムに表したものである。このヒストグラムにおいて，平均値をa，中央値をb，最頻値をcとするとき，a, b, cの関係を表す不等式として最も適切なものを，あとのア～ウから1つ選び，記号で答えなさい。  （山形県2018年入試問題）
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右の資料は，関東7都県のはくさいの出荷量をまとめたものであり，次の文は，広志さんたちが数学の授業でこの資料について話し合ったときの会話の一部である。後の(1)，(2)の問いに答えなさい。 広志さん：
この資料の代表値としてどんな値を使えばいいかな。
優子さん：
代表値には，平均値や(ア)中央値，最頻値があるって習ったよね。教科書には，平均値が代表値としてよく使われるってあったよ。
良男さん：
でも，(イ)この資料の分布だと，平均値は代表値としてふさわしくないと思うよ。
(2) 下線部（イ）のようにいえるのはなぜか，この資料がもつ分布の特徴に着目して，説明しなさい。 （群馬県2018年入試問題）
（ア）
ｎ個の資料が直接与えられているとき，資料を大きさの順に並べて中央になる値を「中央値」という．（ｎが奇数のときは中央値は見ただけで分かる．ｎが奇数のときは，中央が2つの値のあいだになるので，これら２つの平均値を中央値とする．） ⇒この資料では埼玉県の出荷量が中央になる（大きい方から4番目，小さい方から4番目）から，14000(t)…（答）
「資料を大きさの順に並べて中央になる値を中央値という」の定義から，埼玉県が中央値なのではなく，14000(t)が中央値になることに注意
（イ）この資料のように，極端に大きな値（茨城県の値）が含まれている場合に，平均値を代表値に使うと，その代表値は茨城県の値に引きずられて他の県の値と無関係な値になりやすいから…（答）
このような極端値が含まれる資料の例として，年収の平均値は代表値としてどうなのかという議論がよくある．
例えば，町内5世帯の年収が，各々1億円，200万円，200万円，200万円，200万円のとき，この町内の年収の平均値は2160万円となるが，この年収は誰の年収にも近くない．実際には，その平均値のうちの2000万円は1人の影響で，160万円が残り4人の影響になっている． このように，代表値に平均値を使うと極端値（外れ値ともいう）の影響を受けやすい． これに対して，代表値に中央値を使うと極端値（外れ値ともいう）の影響を受けにくい． |
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【問題2.9】
解説を読むある中学校の体育の授業で，2kmの持久走を行った。 次の図は，１組の男子16人と２組の男子15人の記録をそれぞれヒストグラムに表したものである。 下の(1)，(2)に答えなさい。 
ア 範囲が大きいのは２組である。
(1) 市の駅伝大会に出場するために，１組と２組を合わせた31人の記録をよい順に並べ，上位6人を代表選手に選んだ。この6人のうち，１組の選手の記録の平均値が7分10秒，２組の選手の平均値が6分40秒であるとき，代表選手6人の記録の平均値は何分何秒か，求めなさい。イ 11分以上12分未満の階級の相対度数は同じである。 ウ 平均値，中央値，さいひんち最頻値の３つの値が，ほぼ同じ値になるのは，２組である。 エ 中央値が含まれる階級は，１組も２組も同じである。 オ 最頻値が大きいのは１組である。 （和歌山県2018年入試問題）
(1)
ア （範囲）=（最大値）−（最小値）だから，１組の記録の範囲は11−7=4，２組の記録の範囲は13−6=7 範囲は２組の方が大きいから，アは○ イ 11分以上12分未満の階級の相対度数は，１組では エ 中央値が含まれる階級は，１組２組とも9分以上10分未満だから，エは○ オ １組の最頻値は9分30秒，２組の最頻値は10分30秒だから，オは× 以上により，適切なものは，アエ…（答） (2) 8分未満が6人になるから，代表選手のうちで１組が2人，２組が4人になる． (7分40秒×2+6分40秒×4)÷6=6分50秒…（答） |
【問題2.10】
解説を読む
あるクラスの生徒20人について，１か月間に読んだ本の冊数を調査した。右の図は，その結果をヒストグラムに表したものである。次の問いに答えよ。 (1) 次のア～エのうち，正しいものはどれか。適当なものを１つ選び，その記号を書け。
ア 最頻値，平均値，中央値のうち，最も小さいのは平均値である。
(2) １か月間に読んだ本の冊数が7冊以上であった生徒の人数は，全体の何％か。イ 最頻値，平均値，中央値のうち，最も大きいのは中央値である。 ウ 最頻値は平均値より小さい。 エ 平均値は中央値より大きい。 （愛媛県2018年入試問題）
(1)
平均値は (2×1+3×3+4×4+5×3+6×5+7×3+9×1)÷20=5.1（冊） 最頻値は 6（冊） 中央値は 少ない方から11番(多い方から11番)だから5（冊） ⇒ 正しいのはエ…（答） (2) 4÷20=0.2 → 20（%）…（答） |
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度数分布表を右図のような柱状グラフに表したものをヒストグラムといいます．
棒グラフは，「何らかの分類」に従って度数やパーセントを縦（または横）棒グラフにしたものなので，１つの区分と隣の区分の間には隙間をあけるのが普通です． これは，右の例で言えばA型からB型は連続しているわけでもなく隣であるわけでもないという事情をよく反映しています．