二等辺三角形の角

== 二等辺三角形の角 ==

【重要性質】
二等辺三角形の両底角は等しい．

図１

　∠Aの二等分線を引くと，左右の三角形が（二辺とその間の角がそれぞれ等しいことにより）合同となって，両底角が等しいことが示されます．

　右図１の三角形ABCが
AB=AC
の二等辺三角形ならば
∠ABC=∠ACB
が成り立ちます．

　この性質と三角形の内角の和が180°になるという性質を使うと，二等辺三角形の３つの角のうち１つの角が分かれば，残りの角が求められます．

【例１】…頂角が与えられている問題…
　右図の三角形ABCが
AB=AC
の二等辺三角形ならば
∠ABC=∠ACB
が成り立ちます．
　そこで「三角形の内角の和が180°になる」という性質を使うと
50°+2x=180°
2x=130°
x=65°
となって，∠ABC=∠ACB=65°が求まります．

　上の解説は方程式を解く方法で行いましたが，方程式が苦手な人は，算数で考えてもかまいません．
　全部で180°のうち，頂角が50°だから，残りは130°
　これを２で割ると65°

【例２】…底角が与えられている問題…
　右図の三角形ABCが
AB=AC
の二等辺三角形ならば
∠ABC=∠ACB
が成り立ちます．
　そこで「三角形の内角の和が180°になる」という性質を使うと
x+2×40°=180°
x=180°−80°
x=100°
となって，∠BAC=100°が求まります．

問１次の図においてAB=ACのとき，∠ABCの大きさを求めてください．

採点するやり直す HELP
30°+∠ABC×2=180°
∠ABC×2=150°
∠ABC=75°

問２次の図においてAB=ACのとき，∠ABCの大きさを求めてください．

採点するやり直す HELP
80°+∠ABC×2=180°
∠ABC×2=100°
∠ABC=50°

問３次の図においてAB=AC，∠ABC=35°のとき，∠BACの大きさを求めてください．

採点するやり直す HELP
∠BAC+35°×2=180°
∠BAC=180°−70°
∠BAC=110°

問４次の図においてBC=AC，∠ABC=70°のとき，∠BCAの大きさを求めてください．

採点するやり直す HELP
∠BCA+70°×2=180°
∠BCA=180°−140°
∠BCA=40°

【例３】
　右図の三角形ABCにおいてAB=AC，BD⊥AC，∠A=46°のとき，∠DBCの大きさを求めてください．

（解答）
AB=ACだから∠ABC=∠ACB
∠ABC×2+46°=180°
∠ABC×2=180°−46°=134°
∠ABC=67°=∠ACB
△DBCは直角三角形だから
∠DBC=90°−67°=23°

問５次の図においてAB=AC，CD⊥AB，∠DCA=40°のとき，∠CAB，∠ABC，∠BCDの大きさを求めてください．

採点するやり直す HELP
△ADCは∠ADC=90°の直角三角形だから
∠CAB=50°
△ABCはAB=ACの二等辺三角形だから
∠ABC=(180°−50°)÷2=65°
△BDCは∠BDC=90°の直角三角形だから
∠BCD=90°−65°=25°

∠BCD=∠ACB−40°=65°−40°=25°としてもよい．

問６次の図においてAB=AC，BDは∠ABCの二等分線，∠DAB=40°のとき，∠CDBの大きさを求めてください．

採点するやり直す HELP
△ABCはAB=ACの二等辺三角形だから
∠ABC=(180°−40°)÷2=70°
BDは∠ABCの二等分線だから
∠CBD=35°
△BDCの内角の和は180°だから
∠CDB=180°−70°−35°=75°

問７次の図においてAB=AC，BC=DC，∠BAC=48°のとき，∠DCAの大きさを求めてください．

採点するやり直す HELP
△ABCはAB=ACの二等辺三角形だから
∠ABC=(180°−48°)÷2=66°
△BCDはBC=DCの二等辺三角形だから
∠BDC=66°
∠BCD=48°
∠DCA=66°−48°=18°

問８次の図においてAB=AC，BC=DC，∠ACD=15°のとき，∠BACの大きさを求めてください．（やや難）

採点するやり直す HELP
∠BAC=x°とおくと
△ADCの外角の性質から
∠BDC=x+15°
△BCDはBC=DCの二等辺三角形だから
∠DBC=x+15°
△ABCはAB=ACの二等辺三角形だから
∠BCA=x+15°，（∠BCD=x）
△ABCの内角の和は180°でなければならないから
x+(x+15)+(x+15)=180°
3x+30°=180°
3x=150°
x=50°

問９次の図においてAB=AD=DC，∠DCA=28°のとき，∠BADの大きさを求めてください．

採点するやり直す HELP
AD=DCだから
∠CAD=28°
△CDAの外角の性質から
∠BDA=28°+28°=56°

∠ACD=180°−(28°+28°)=124°
∠BDA=180°−124°=56°
としてもよい．

△ABDはAB=ADの二等辺三角形だから
∠ABD=56°
△ABDの内角の和は180°だから
∠BAD=180°−56°×2=68°

問10次の図においてAD=AC，ADは∠BACの二等分線，∠ABC=30°のとき，∠ACDの大きさを求めてください．

採点するやり直す HELP
∠ACD=xとおくと
△ADCはAD=ACの二等辺三角形だから
∠ADC=x
△ADCの内角の和は180°だから
∠DAC=180°−2x
∠DAC=∠BADだから
∠BAD=180°−2x
△ABCの内角の和は180°でなければならないから
30°+x+(360°−4x)=180°
−3x=−210°
x=70°

問11次の図においてAB=AC，DA=DC，∠BCD=27°のとき，次の角度の大きさを求めてください．

採点するやり直す HELP
∠BAC=xとおくと
DA=DCだから
∠DCA=x
∠ACB=x+27°
AB=ACだから
∠ABC=x+27°
△ABCの内角の和は180°だから
x+(x+27°)+(x+27°)=180°
3x=126°
x=42°
ゆえに
∠BAC=42°
∠ABC=42°+27°=69°

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