連立方程式の解き方

$5x+\fbox{2y}=12$ …(1)
$3x-\fbox{2y}=4$ …(2)　沖縄県2015年など

≪B≫1つの文字の係数が１になっている問題

$2x+\fbox{y}=4$ …(1)
$4x-3y=18$ …(2)　群馬県2015年など

≪C≫係数が１つもそろっていない問題

$7x-4y=2$ …(1)
$5x-2y=4$ …(2)　大分県2015年など

≪D≫y=またはx=の式がある問題

$\fbox{y}=x-4$ …(1)
$2x-3y=5$ …(2)　長野県2015年など

≪E≫小数，分数の係数がある問題

$x+ 2y=-5$ …(1)
$\fbox{0.2x-0.15y=0.1}$ …(2)　滋賀県2015年など

≪F≫連なり型の問題

$2x-y=3x+ 2y=7$ 　宮城県2015年など

≪G≫解から係数a,bを求める問題

$ax-y=19$ …(1)
$ax+ by=7$ …(2)　
の解が $x=5,\hspace{3}y=-4$ であるとき， $a$ と $b$ の値を求めよ．

佐賀県2015年など

≪A≫1組の文字の係数がそろっている問題
【例A.1】　

　連立方程式

$5x+ 2y=12$
$3x-2y=4$
の解は， $x=$ ， $y=$ である．

（沖縄県2015年）

（考え方）

$y$ の係数がそろっていて，符号が逆だから，左辺どうし右辺どうしを足すと $y$ が消去できる．

$5x+ 2y=12$ …(1)
$3x-2y=4$ …(2)

（答案）
(1)+(2)

$5x+ 2y=12$
$+ )\hspace{10}3x-2y=4$

$8x\hspace{40}=16$
$x=2$

これを(1)に代入すると

$10+ 2y=12$
$2y=2$
$y=1$

$x=2,\hspace{5}y=1$ …（答）
【例A.2】　

　連立方程式

$3x+ 2y=7$
$x+ 2y=1$
を解きなさい．

（大阪府2017年）

（考え方）

$y$ の係数がそろっていて，符号が同じだから，左辺どうし右辺どうしを引くと $y$ が消去できる．

$3x+ 2y=7$ …(1)
$x+ 2y=1$ …(2)

（答案）
(1)−(2)

$3x+ 2y=7$
$- )\hspace{10}x+ 2y=1$

$2x\hspace{30}=6$
$x=3$

これを(2)に代入すると

$3+ 2y=1$
$2y=-2$
$y=-1$

$x=3,\hspace{5}y=-1$ …（答）

【問題A.1】

　連立方程式

$2x+ y=5$
$x-y=1$
の解は， $x=$ ， $y=$ である．

（沖縄県2017年）

左辺どうし、右辺どうしを加える

$2x+ y=5$
$+)\hspace{10}x-y=1$

$3x\hspace{20}=6$
$x=2$

これを元の式（上の方）に代入すると

$4+ y=5$
$y=1$

$x=2,\hspace{5}y=1$ …（答）

【問題A.2】

　連立方程式

$2x+ y=8$
$x-y=1$
を解きなさい．

（大阪府2016年）

左辺どうし、右辺どうしを加える

$2x+ y=8$
$+)\hspace{10}x-y=1$

$3x\hspace{20}=9$
$x=3$

これを元の式（上の方）に代入すると

$6+ y=8$
$y=2$

$x=3,\hspace{5}y=2$ …（答）

≪B≫1つの文字の係数が１になっている問題
【例B.1】　

　連立方程式

$9x-2y=25$ …①
$2x-y=10$ …②
を解きなさい。計算の過程も書きなさい．

（秋田県2015年）

（考え方）

$y$ の係数はそろっていないが，②を2倍するとそろう．

（答案）
①−②×2

$9x-2y=25$
$-)\hspace{0}4x-2y=20$

$5x\hspace{40}=5$
$x=1$

これを②に代入すると

$2-y=10$
$-y=8$
$y=-8$

$x=1,\hspace{5}y=-8$ …（答）
【例B.2】　

　連立方程式

$5x-3y=-1$
$x+ 6y=13$
を解きなさい。

（茨城県2015年）

（考え方）

$x$ の係数はそろっていないが，(2)を5倍するとそろう．

$5x-3y=-1$ …(1)
$x+ 6y=13$ …(2)
（答案）

※この問題では，(1)を2倍して $y$ の係数をそろえる方法もある．
(1)×2+(2)

$10x-6y=-2$
$-)\hspace{16}x+ 6y=13$

$11x\hspace{20}=11$
$x=1$

これを(2)に代入すると

$1+ 6y=13$
$6y=12$
$y=2$

$x=1,\hspace{5}y=2$ …（答）

(1)−(2)×5

$5x-3y=-1$
$-)\hspace{0}5x+ 30y=65$

$-33y=-66$
$y=2$

これを(2)に代入すると

$x+ 12=13$
$x=1$

$x=1,\hspace{5}y=2$ …（答）

【問題B.1】

　連立方程式

$2x-3y=-4$
$-x+ 2y=3$
を解きなさい．

（埼玉県2016年）

（考え方）

$x$ の係数はそろっていないが，(2)式を2倍するとそろう．

$2x-3y=-4$ …(1)
$-x+ 2y=3$ …(2)
（答案）
(1)+(2)×2

$2x-3y=-4$
$+ )\hspace{0}-2x+ 4y=6$

$y=2$

これを(2)に代入すると

$-x+ 4=3$
$-x=-1$
$x=1$

$x=1,\hspace{5}y=2$ …（答）

【問題B.2】

　連立方程式

$4x-3y=-2$
$3x+ y=5$
を解きなさい．

（新潟県2016年）

$y$ の係数はそろっていないが，(2)式を3倍するとそろう．

（考え方）

$4x-3y=-2$ …(1)
$3x+ y=5$ …(2)
（答案）
(1)+(2)×3

$4x-3y=-2$
$+ )\hspace{0}9x+ 3y=15$

$13x\hspace{30}=13$
$x\hspace{30}=1$

これを(2)に代入すると

$3+ y=5$
$y=2$

$x=1,\hspace{5}y=2$ …（答）

【問題B.3】

　次の連立方程式を解きなさい．

$x-5y=4$
$3x-4y=1$

（滋賀県2017年）

$x$ の係数はそろっていないが，(1)式を3倍するとそろう．

（考え方）

$x-5y=4$ …(1)
$3x-4y=1$ …(2)
（答案）
(1)×3−(2)

$3x-15y=12$
$- )\hspace{0}3x-4y=1$

$-11y=11$
$y=-1$

これを(1)に代入すると

$x+ 5=4$
$x=-1$

$x=-1,\hspace{5}y=-1$ …（答）

【問題B.4】

　連立方程式

$2x+ y=3$
$3x+ 2y=-1$
を解きなさい．

（宮城県2017年）

$y$ の係数はそろっていないが，(1)式を2倍するとそろう．

（考え方）

$2x+ y=3$ …(1)
$3x+ 2y=-1$ …(2)
（答案）
(1)×2−(2)

$4x+ 2y=6$
$- )\hspace{3}3x+ 2y=-1$

$x\hspace{30}=7$

これを(1)に代入すると

$14+ y=3$
$y=-11$

$x=7,\hspace{5}y=-11$ …（答）

≪C≫係数が１つもそろっていない問題
【例C.1】　

　次の連立方程式を解け．

$4x+ 3y=1$
$3x-2y=-12$

（京都府2017年）

$x,\hspace{3}y$ とも係数がそろっていない． $y$ の係数をそろえるには，(1)式を2倍，(2)式を3倍するとよい．
(1)×3−(2)×4によって $x$ の係数をそろえてもよいが，掛ける数字が小さい方が楽

（考え方）

$4x+ 3y=1$ …(1)
$3x-2y=-12$ …(2)
（答案）
(1)×2+(2)×3

$8x+ 6y=2$
$+ )\hspace{0}9x-6y=-36$

$17x\hspace{20}=-34$
$x=-2$

これを(1)に代入すると

$-8+ 3y=1$
$3y=9$
$y=3$

$x=-2,\hspace{5}y=3$ …（答）
【例C.2】　

　連立方程式

$4x+ 5=3y-2$
$3x+ 2y=16$
を解きなさい。

（愛知県2017年）

（考え方）

まず，移項して形を整えてから考えます．
$x,\hspace{3}y$ とも係数がそろっていない． $y$ の係数をそろえるには，(1)式を2倍，(2)式を3倍するとよい．

$4x-3y=-7$ …(1)
$3x+ 2y=16$ …(2)
（答案）
(1)×2+(2)×3

$8x-6y=-14$
$+ )\hspace{0}9x+ 6y=48$

$17x\hspace{20}=34$
$x=2$

これを(1)に代入すると

$8-3y=-7$
$-3y=-15$
$y=5$

$x=2,\hspace{5}y=5$ …（答）

【問題C.1】

　次の連立方程式を解きなさい．

$7x-4y=2$
$5x-2y=4$

（大分県2015年）

$y$ の係数はそろっていないが，(2)式を2倍するとそろう．（これが最も楽）

（考え方）

$7x-4y=2$ …(1)
$5x-2y=4$ …(2)
（答案）
(1)−(2)×2

$7x-4y=2$
$-)\hspace{0}10x-4y=8$

$-3x\hspace{20}=-6$
$x=2$

これを(2)に代入すると

$10-2y=4$
$-2y=-6$
$y=3$

$x=2,\hspace{5}y=3$ …（答）

【問題C.2】

　連立方程式

$5x+ 9y=2$
$9x+ 5y=2$
を解け．

（東京都2015年）

$x,\hspace{3}y$ とも係数がそろっていない． $y$ の係数をそろえるには，(1)式を5倍，(2)式を9倍するとよい．

※こんな分数の答えになってしまったら，合っているかどうか心配になるが，検算して成り立っていれば，答えにする．（進学重点指導校らしいので，難しいらしい）
$5x+ 9y=\frac{5}{7}+ \frac{9}{7}=\frac{14}{7}=2$
$9x+ 5y=\frac{9}{7}+ \frac{5}{7}=\frac{14}{7}=2$
だから，成り立つ

（考え方）

$5x+ 9y=2$ …(1)
$9x+ 5y=2$ …(2)
（答案）
(1)×5−(2)×9

$25x+ 45y=10$
$- )\hspace{3}81x+ 45y=18$

$-56x\hspace{30}=-8$
$x\hspace{30}=\frac{1}{7}$

これを(1)に代入すると

$\frac{5}{7}+ 9y=2$
$9y=2-\frac{5}{7}=\frac{9}{7}$
$y=\frac{1}{7}$

$x=\frac{1}{7},\hspace{5}y=\frac{1}{7}$ …（答）

≪D≫y=またはx=の式がある問題
【例D.1】　

　連立方程式

$y=x-4$
$2x-3y=5$
を解きなさい．

（長野県2015年）

この問題のように， $y=$ という形で， $y$ が $x$ で表された形になっている問題は，代入法で解くのがよい．

（考え方）

$y=x-4$ …(1)
$2x-3y=5$ …(2)
（答案）
(1)を(2)に代入する［(2)の $y$ の場所に(1)の右辺の $x-4$ を入れる］

$2x-3(x-4)=5$
$2x-3x+ 12=5$
$-x=-7$
$x=7$

これを(1)に代入すると

$y=7-4=3$

$x=7,\hspace{5}y=3$ …（答）
【例D.2】　

　連立方程式

$y=3x+ 8$
$4x+ 3y=11$
を解きなさい。

（秋田県2016年）

この問題のように， $y=$ という形で， $y$ が $x$ で表された形になっている問題は，代入法で解くのがよい．

（考え方）

$y=3x+ 8$ …(1)
$4x+ 3y=11$ …(2)
（答案）
(1)を(2)に代入する［(2)の $y$ の場所に(1)の右辺の $3x+ 8$ を入れる］

$4x+ 3(3x+ 8)=11$
$4x+ 9x+ 24=11$
$13x=-13$
$x=-1$

これを(1)に代入すると

$y=-3+ 8=5$

$x=-1,\hspace{5}y=5$ …（答）

【問題D.1】

　連立方程式

$x+ y=3$
$y=3x-5$
の解は， $x=$ ， $y=$ である．

（沖縄県2016年）

この問題のように， $y=$ という形で， $y$ が $x$ で表された形になっている問題は，代入法で解くのがよい．

（考え方）

$x+ y=3$ …(1)
$y=3x-5$ …(2)
（答案）
(2)を(1)に代入する［(1)の $y$ の場所に(2)の右辺の $3x-5$ を入れる］

$x+ 3x-5=3$
$4x=8$
$x=2$

これを(2)に代入すると

$y=6-5=1$

$x=2,\hspace{5}y=1$ …（答）

【問題D.2】

　連立方程式

$3x+ 4y=5$
$x=1-y$
を解け．

（福島県2016年）

この問題のように， $x=$ という形で， $x$ が $y$ で表された形になっている問題は，代入法で解くのがよい．

（考え方）

$3x+ 4y=5$ …(1)
$x=1-y$ …(2)
（答案）
(2)を(1)に代入する［(1)の $x$ の場所に(2)の右辺の $1-y$ を入れる］

授業では $y=$ を消去する練習が多いが，形によっては $x$ を消去しても，全く問題ない

$x$ と $y$ は対等，平等

$3(1-y)+ 4y=5$
$3-3y+ 4y=5$
$y=2$

これを(2)に代入すると

$x=1-2=-1$

$x=-1,\hspace{5}y=2$ …（答）

≪E≫小数，分数の係数がある問題
【例E.1】　

　次の連立方程式を解きなさい．

$x+ 2y=-5$
$0.2x-0.15y=0.1$

（滋賀県2016年）

(2)式のように小数第1位までの0.2と0.1，小数第2位までの0.15があるとき，これら全部を整数係数に直すには，100を掛けます

（考え方）

$x+ 2y=-5$ …(1)
$0.2x-0.15y=0.1$ …(2)
（答案）
(2)の両辺を100倍して整数係数に直す

$20x-15y=10$
$4x-3y=2$ …(2’)

(1)×4−(2)

$4x+ 8y=-20$
$- )\hspace{3}4x-3y=2$

$11y=-22$
$y=-2$

これを(1)に代入すると

$x-4=-5$
$x=-1$

$x=-1,\hspace{5}y=-2$ …（答）
【例E.2】　

　連立方程式

$x+ \frac{1}{2}y=\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=1$
を解け．

（東京都2015年）

分数係数になっているときは，両辺の最小公倍数を掛けて分母を払う．（最小公倍数が分からないときは，分母の数字を全部かけてから，後で割れるだけ割ればよい）

（考え方）

$x+ \frac{1}{2}y=\frac{1}{3}$ …(1)
$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=1$ …(2)
（答案）
(1)の両辺を6倍して整数係数に直す

$6x+ 3y=2$ …(1’)

(2)の両辺を6倍して整数係数に直す

$3x+ 2y=6$ …(2’)

変な答えだから，間違いかと心配になるが，検算して合っていれば，そのまま押し切る．

(1’)−(2’)×2

$6x+ 3y=2$
$-)\hspace{2}6x+ 4y=12$

$-y=-10$
$y=10$

これを(1’)に代入すると

$6x+ 30=2$
$6x=-28$
$x=-\frac{14}{3}$

$x=-\frac{14}{3},\hspace{5}y=10$ …（答）

【問題E.1】

　連立方程式

$0.3x+ 0.2y=1$
$\frac{1}{2}x+ y=1$
を解け．

（東京都2015年）

小数係数も分数係数も何倍かして整数係数に直して解きます

（考え方）

$0.3x+ 0.2y=1$ …(1)
$\frac{1}{2}x+ y=1$ …(2)
（答案）
(1)の両辺を6倍して整数係数に直す

$3x+ 2y=10$ …(1’)

(2)の両辺を2倍して整数係数に直す

$x+ 2y=2$ …(2’)

(1’)−(2’)

$3x+ 2y=10$
$-)\hspace{5}x+ 2y=2$

$2x\hspace{30}=8$
$x=4$

これを(1’)に代入すると

$12+ 2y=10$
$2y=-2$
$y=-1$

$x=4,\hspace{5}y=-1$ …（答）

【問題E.2】

　連立方程式

$-\frac{4}{3}x+\frac{1}{2}y=\frac{19}{6}$
$1.8x+ 1.2y=-2.4$
を解け．

（東京都2017年）

小数係数も分数係数も何倍かして整数係数に直して解きます

（考え方）

$-\frac{4}{3}x+\frac{1}{2}y=\frac{19}{6}$ …(1)
$1.8x+ 1.2y=-2.4$ …(2)
（答案）
(1)の両辺を6倍して整数係数に直す

$-8x+ 3y=19$ …(1’)

(2)の両辺を10倍して整数係数に直す

$18x+ 12y=-24$
$3x+ 2y=-4$ …(2’)

(1’)×2−(2’)×3

$-16x+ 6y=38$
$-)\hspace{25}9x+ 6y=-12$

$-25x\hspace{30}=50$
$x=-2$

これを(2’)に代入すると

$-6+ 2y=-4$
$2y=2$
$y=1$

$x=-2,\hspace{5}y=1$ …（答）

≪F≫連なり型（ $\bigcirc=\club=\spade$ 型）の問題
【例F.1】　

　方程式 $6x+ 5y=2x+ 3y=4$ を解きなさい．

（北海道2015年）

$\bigcirc=\club=\spade$ のような連なり型の方程式は「切り離して連立方程式に直して解く」のが基本です．

$\bigcirc=\club$ …(1)
$\club=\spade$ …(2)

または

$\bigcirc=\spade$ …(3)
$\club=\spade$ …(4)

のように，(1)(2)では $\club$ が，(3)(4)では $\spade$ が２回登場します．

【切り離す理由】
　右のように，イコールを２つ付けたままにすると，今まで自由に使ってきた「移項」のような変形が，うまくできないから，切り離して身軽にするのです．
＃３人だと「もめる」からです＃←人情話かい！

（考え方）

$6x+ 5y=2x+ 3y$ …(1)
$2x+ 3y=4$ …(2)

または

$6x+ 5y=4$ …(3)
$2x+ 3y=4$ …(4)

この問題では(3)(4)の切り離し方の方が楽かもしれません．[(1)(2)のように切り離した場合，さらに変形する必要があります．]

（答案）
(3)×3−(4)×5

$18x+ 15y=12$
$- )\hspace{3}10x+ 15y=20$

$8x\hspace{30}=-8$
$x=-1$

これを(3)に代入すると

$-6+ 5y=4$
$5y=10$
$y=2$

$x=-1,\hspace{5}y=2$ …（答）

【問題F.1】

　連立方程式 $2x-y=3x+ 2y=7$ を解きなさい．

（宮城県2015年）

（考え方）

$2x-y=3x+ 2y$ …(1)
$3x+ 2y=7$ …(2)

または

$2x-y=7$ …(3)
$3x+ 2y=7$ …(4)

この問題も(3)(4)の切り離し方の方が楽でしょう

（答案）
(3)×2+(4)

$4x-2y=14$
$+ )\hspace{0}3x+ 2y=7$

$7x\hspace{30}=21$
$x=3$

これを(3)に代入すると

$6-y=7$
$-y=1$
$y=-1$

$x=3,\hspace{5}y=-1$ …（答）