コラッツの問題（数論の未解決問題）

　「正の数 ｎ をとり、これが奇数なら３倍して１を加える。偶数なら２で割る。

　　これを繰り返すとはじめにどんな ｎ を選んでも、いつかは 1 → 4 → 2 → 1

を繰り返す」

　　ｎ が 4兆まではコンピューターで確かめられている。

（富永裕久著　フェルマーの最終定理　1999-11-30 （株）ナツメ社）

Ａ-1． この問題の証明を試みるにあたり、正の整数　n0　 を考える。

条件による処理後の値を nj （j：処理回数）とする。

但し、３倍して１を加えるのも、２で割るのも、共に1回の処理と数えるものとし、

ここで扱う数値を表す文字は特に断りをしない場合は全て正の整数とする。

(1) n0 = 4 のとき

n1 = n0 / 2 = 2

n2 = n1 / 2 = 1

n3 = 3n2 + 1 = 4

これで　4 , 2 , 1 , 4 , 2 , 1 が繰り返されることは確認できる

(2) n0 が偶数のとき　h を奇数とすれば

n0 =h・2^p　と表せる

n0 を p 回（ 2 で割る）処理をすれば np = h （奇数）となる

np = n0/2^p = h < n0

h = 1 なら 成り立つ 。その他は奇数の場合で検討する。

(3) n0 が奇数のとき

n0 = 2m - 1 と表せる

m が 2 を約数として持つならば（偶数ならば）

k　を奇数 として

m = k・2^a　 , n0 = k・2^a+1 - 1　と表せる

この奇数を 3 倍して 2 で割る処理を a+1 回して n が n2a+2 になるとすれば

n1 = 3(k・2^a+1 - 1) + 1

n2 = n1 / 2

= { 3(k・2^a+1 - 1) + 1 } / 2

= k・3^1・2^a - 1

a は正の整数だから　n2 は奇数となり

n4 = (3n2 + 1) / 2

= { 3(k・3^12^a - 1) + 1} / 2

= k・3^2・2^a-1 - 1

・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

n2a+2 = (3n2a + 1) / 2

= k・3^a+1- 1　　　　 ・・・・　(1)

となり、n2a+2 は偶数となる

n2a+2 - n0 = ( k・3^a+1 - 1)　 - ( k・2^a+1- 1) = k ( 3^a+1 - 2^a+1 )

∴　 n2a+2 - n0 = k ( 3^a+1 - 2^a+1 )

ここで a = 0 は m が奇数を意味する。

(4) 奇数 n0 を 3 倍して 2 で割る処理を 1 回して直ぐに 偶数となるような n0 があるとすると

n1 = 3n0 + 1

n2 = n1/2 = (3n0 + 1)/2 が偶数だから

3n0 + 1 = 2^ak の形にならねばならない。但し　a： 2 以上の整数、k：自然数

k = (3n0 + 1)2^-a , n3 = n2/2 = (3n0 + 1)/2^2

n3 - n0 = (3n0 + 1)/4 - n0 = (3n0 + 1 - 4n0)/4 = (- n0 + 1)/4 < 0

このような n0 = (2^ak - 1)/3 は n0 より小さい n3 に帰着する。

一般的には　n0 = 4h - 3 の形では

n1 = 3n0 + 1 = 3(4h - 3) + 1 = 12h - 8

n2 = n1/2 = 6h - 4

n3 = n2/2 = 3h - 2

n3 - n0 = 3h - 2 - (4h - 3) = 1 - h ≦ 0　 （等号は h = 1 でのみ成り立つ）

h = 1 では n0 = 1 で　n3 = 1 、h > 1 では n0 より小さい n3 に帰着する。

これらの n3 は h が偶数のとき偶数となり少なくとももう１回 2 で割れる。

( n0 = 5→4 , 9→7 , 13→10 , 17→13 , 21→16 , 25→19 , 29→22 ,・・・)

これに対し　n0 = 4h - 1 = h2^2 - 1 の形では

n1 = 3n0 + 1 = 3(4h - 1) + 1 = 12h - 2

n2 = n1/2 = 6h - 1 > 0 で n2 が n0 より大きい奇数となる。

(5) 奇数 n0 を 3 倍して 2 で割る処理を m(1) 回して初めて 偶数となるような n0 を求める。

n1 = 3n0 + 1

n2 = n1/2 = (3n0 + 1)/2

n3 = 3n2+ 1 =3(3n0 + 1)/2 + 1 = (3^2n0 + 3^1 + 2^1)/2

n4 = n3/2 = (3^2n0 + 3^1 + 2^1)/2^2

n5 = 3n4 + 1= (3^3n0 + 3^2 + 3^12^1)/2^2 + 1 = (3^3n0 + 3^2 + 3^12^1 + 2^2)/2^2 　　 = 3^3n0/2^2 + (3/2)^2 + (3/2)^1 + 1

n6 = n5/2 = (3^3n0 + 3^2 + 3^12^1 + 2^2)/2^3 = (3/2)^3n0 + ( (3/2)^2 + (3/2)^1 + 1)/2

n7 = 3n6 + 1 = (3^4n0 + 3^3 + 3^22^1 + 3^12^2 + 2^3)/2^3 =3(3/2)^3n0 +　 ((3/2)^3 + (3/2)^2 + (3/2)^1 + 1)

n8 = n7/2 = (3^4n0 + 3^3 + 3^22^1 + 3^12^2 + 2^3)/2^4 = (3/2)^4n0 +　 ((3/2)^3 + (3/2)^2 + (3/2)^1 + 1)/2

n9 = 3n8 + 1 = (3^5n0 +3^4 +3^32^1 + 3^22^2 + 3^12^3 + 2^4)/2^4 = 3(3/2)^4n0 + (3/2)^4 + (3/2)^3 + (3/2)^2 + (3/2)^1+1)

n10 = n9/2 = (3^5n0 + 3^4 + 3^32^1 + 3^22^2 +3^12^3 + 2^4)/2^5 = (3/2)^5n0 + (3/2)^4 + (3/2)^3 + (3/2)^2 + (3/2)^1+1)/2

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

n2m(1) = (3^m(1)n0 + 3^m(1)-1 + 3^m(1)-22 + 3^m(1)-32^2 + ・・・ + 3^22^m(1)-3 + 3^12^m(1)-2 + 2^m(1)-1)/2^m(1)

= (3/2)^m(1)n0 + { (3/2)^m(1)-1 + (3/2)^m(1)-2 + (3/2)^m(1)-3 + ・・・ + (3/2)^2 + (3/2)^1 + 1 }2^-1

= (3/2)^m(1)n0 + 2^-1{ (3/2)^m(1) - 1 } /{ (3/2) -1 }

= (3/2)^m(1)n0 + 2^-1{ (3/2)^m(1) - 1 }/(1/2)

= (3/2)^m(1)n0 + (3/2)^m(1) - 1

= (3/2)^m(1)n0 + (3/2)^m(1) - (2/2)^m(1)

= (3^m(1)n0 + 3^m(1) - 2^m(1))/ 2^m(1)= (3/2)^m(1)(n0 + 1) - 1

n2m(1) = (3/2)^m(1)(n0 + 1) - 1 が偶数となる条件は (n0 + 1) が 2^m(1) で割り切れ且つその商が奇数である。

従って k1 を奇数として　n0 = k12^m(1) - 1 がその条件となる。

ここで m(1) = 1 のときは 前項で調べた n0 = 4h - 3 = (h2^1 - 1)2^1 - 1 形に相当する。

n2m(1) が初めて偶数になるのは　n0 = k12^m(1) - 1 で　k1 が奇数のときだから

k1 = 2h - 1 として　n0 = 2^m(1)+1h - 2^m(1) - 1 の形をとり、

n2m(1) - n0 = 3^m(1)k1 - 1 - 2^m(1)k1 + 1 = (3^m(1) - 2^m(1))k1 = (3^m(1) - 2^m(1))(2h - 1)

n2m(1) が偶数になったとき

n2m(1) = (3/2)^m(1)(n0 + 1) - 1= 3^m(1)k1 - 1

q1 を奇数 、p(1) ≧ 1 として

n2m(1) = 3^m(1)k1 - 1 = q12^p(1)　となるとき　 n2m(1) 　が初めて偶数になるとすると

このとき奇数 k1 は　 k1 = (q12^p(1) + 1)/3^m(1) となる。

＜例＞(n0,p(1),m(1),k1,q1)=(35,4,2,1,5),(155,1,2,39,175),(14563,15,2,3641,1)

n0

n1

n2

n3

n4

n5

n6

n7

n8

・・・

n13

・・・

n19

35

106

53

160

80

40

20

10

5

・・・

1

55

466

233

700

350

175

526

263

790

・・・

593

・・・

334

14563

43690

21845

65536

32768

16384

8192

4096

2048

・・・

256

・・・

1

m(1) = 2 , n2m(1) = n4 で太文字、斜文字は　q1

n_2m(1) を p(1) 回 2 で割れば　n_2m(1)+p(1) = q₁　 なる奇数に達する。

ここで、　q₁ = n₀ となることがあるかどうかを調べる。

　 　　z₁ = q₁ - n₀ = (3^m(1)k₁ - 1)/2^p(1) - n₀ = {3^m(1)(n₀ + 1)/2^m(1) - 1}/2^p(1) - n₀

　　　　 = {3^m(1)(n₀ + 1)2^-p(1)-m(1) - 2^-p(1) - n₀

　　　　 = n₀(3^m(1)2^-p(1)-m(1)- 1) + 2^-p(1)(3^m(1)2^-m(1) -1)

　　　 　　 = [n₀{3^m(1)-2^p(1)+m(1)} + {3^m(1)- 2^m(1)}]/2^p(1)+m(1)

　 　　z₁ = 0 となるのは

　 　　　n₀ = (3^m(1) -2^m(1))/(2^p(1)+m(1)- 3^m(1))　 のときであり、

　　 　　2^p(1)+m(1)- 3^m(1)　が　3^m(1)- 2^m(1) の約数となりうるのは

　　　　　 　 m(1) = 1 , p(1) = 1 のときで　n₀ = 1 となる。

即ち n₀ = 1 のときは　z = 0 となる。

　　　　　　 それ以外では n₀ は正の整数となり得ないので　z = 0　 とはならない。　

　　　　　　 z₁ = [n₀{3^m(1)-2^p(1)+m(1)} + {3^m(1)- 2^m(1)}]/2^p(1)+m(1) において

　　　　　 3^m(1) - 2^m(1) > 0 , 2^p(1)+m(1) > 0　 で　

2^p(1)+m(1) - 3^m(1) は p(1) の変動により正負が入れ替わる。

　　　　 z₁ の正負の入れ替わり点は　2^p(1)+m(1)- 3 ^m(1) = 0 であるが、

　 　　 　2^p(1)+m(1) - 3^m(1) ≠ 0　 (第１項は偶数で、第２項は奇数) であり、

z₁ = 0 とはならない。

この q₁ が 最初の n₀ より小さくなるには　 z₁ < 0 とならねばならないので、

　　　　　　　 n₀(3^m(1)-2^p(1)+m(1)) + 3^m(1) - 2^m(1) < 0　 ∴　 n₀(2^p(1)+m(1)- 3^m(1)) > (3^m(1) - 2^m(1))

　　　　　　　 少なくとも　 2^p(1)+m(1) > 3^m(1) が成り立たねばならない。

　　　　　 ∴　2^p(1) > (3/2)^m(1)

　　　　　　　 m(1) = 1 のときは p(1) = 1 で　n₃ が　n₀ より小さくなることは

前項で調べたとおりである。

　　上記例において

　　　　　　　 n₀ = 35 のとき　m(1) = 2, p(1) = 4, 2^p(1) > (3/2)^m(1) で　q₁ = 5 < n₀

　　　　　　　 n₀ = 155 のとき　m(1) = 2, p(1) = 1, 2^p(1) < (3/2)^m(1) で　q₁ = 175 > n₀

　　　　　　　 n₀ = 14563 のとき　m(1) = 2, p(1) = 15, 2^p(1) > (3/2)^m(1) で　q₁ = 1 < n₀

Ａ-2． 2^p(1) < (3/2)^m(1)　で q₁　 が n₀ より大きければこれまでと同じ作業を

繰り返すことにする。

K,q の添数字や、m,p の 括弧内数字は作業回数を示すものとする。

k₁,k₂,・・,m(1),m(2),・・ 等）

最初の奇数を n₀ とし 3 倍して 2 で割る処理を m(1) 回して初めて

偶数 n_m(1) となるものとすれば、

（これまでは「3 倍して 2 で割る処理」を２つの作業としてきたが、

今後は１つの作業として扱う）　

(1)　 n₀ = k₁2^m(1) - 1 のとき　n_m(1) = 3^m(1)k₁ - 1　となる。

q₁q₁ を奇数として n_m(1) = q₁2^p(1)　 とおけば

n_m(1)+p(1) = q₁　,　 k₁ = (q₁2^p(1) + 1)/3^m(1)

n₀ = 2^m(1)(q₁2^p(1) + 1)/3^m(1) - 1= (q₁2^m(1)+p(1) + 2^m(1))/3^m(1) - 1

q₁2^p(1) = 3^m(1)(n₀ + 1)/2^m(1) - 1 = (n₀ + 1)(3/2)^m(1)- 1

q₁ = { (n₀ + 1)(3/2)^m(1) - 1}/2^p(1)

∴　n_m(1)+p(1) = { (n₀ + 1)(3/2)^m(1) - 1}/2^p(1) = (n₀ + 1)(3/2)^m(1)2^-p(1) -2^-p(1)

1回目の一連の作業が終わって q₁ が求められその増減数z₁ は

　　 　　　　　z₁ = q₁- n₀ 　= (n₀+1)(3/2)^m(1)2^-p(1) -2^-p(1) - n₀

 　　　　　　　　=n₀ {(3/2)^m(1)2^-p(1) - 1} + (3/2)^m(1)2^-p(1) - 2^-p(1)

(2)　 n_m(1)+p(1) = k₂2^m(2) - 1 のとき　n_{m(1)+p(1)+m(2)} = 3^m(2)k₂ - 1　となる。

q₂ を奇数として n_{m(1)+p(1)+m(2)} = q₂2^p(2)　 とおけば

n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)} = q₂　,　 k₂ = (q₂2^p(2) + 1)/3^m(2)

n_m(1)+p(1) = 2^m(2)(q₂2^p(2) + 1)/3^m(2) - 1= (q₂2^m(2)+p(2) + 2^m(2))/3^m(2) - 1

q₂2^p(2) = 3^m(2)(n_m(1)+p(1) + 1)/2^m(2) - 1 = (n_m(1)+p(1) + 1)(3/2)^m(2) - 1

q₂ = (n_m(1)+p(1) + 1)(3/2)^m(2)2^-p(2) - 2^-p(2)

　　　 = {(n₀ + 1)(3/2)^m(1)2^-p(1) - 2^-p(1) + 1}(3/2)^m(2)2^-p(2) - 2^-p(2)

　　　 = (n₀ + 1)(3/2)^m(1)+m(2)2^-p(1)-p(2) - (3/2)^m(2)2^-p(1)-p(2) + (3/2)^m(2)2^-p(2) - 2^-p(2)

2回目の一連の作業が終わって q₂ が求められその増減数z₂ は

　　　　　　 z₂ = q₂ - q₁ = (n₀ + 1)(3/2)^m(1)+m(2)2^-p(1)-p(2) - (3/2)^m(2)2^-p(1)-p(2)

+ (3/2)^m(2)2^-p(2) - 2^-p(2) - {(n₀ + 1)(3/2)^m(1)2^-p(1) -2^-p(1) }

　 　　　　　　　　= (n₀ + 1)(3/2)^m(1)2^-p(1) {(3/2)^m(2)2^-p(2) - 1}

- (3/2)^m(2)2^-p(1)-p(2) + (3/2)^m(2)2^-p(2) - 2^-p(2) + 2^-p(1)

　　　 　　　　　　= (n₀ + 1)(3/2)^m(1)2^-p(1) {(3/2)^m(2)2^-p(2) - 1}

　　+ (3/2)^m(2)2^-p(2) {1 - 2^-p(1)} - 2^-p(2) + 2^-p(1)

最初からの増減数z は

　 　　　z = q₂ - n₀ = (n₀ + 1)(3/2)^m(1)+m(2)2^-p(1)-p(2)

- (3/2)^m(2)2^-p(1)-p(2) + (3/2)^m(2)2^-p(2) - 2^-p(2) -　 n₀

　　　　 　　　　= n₀{(3/2)^m(1)+m(2)2^-p(1)-p(2) - 1}

+ (3/2)^m(1)+m(2)2^-p(1)-p(2)- (3/2)^m(2)2^-p(1)-p(2) + (3/2)^m(2)2^-p(2) - 2^-p(2)

　　　　 　　　　= n₀{(3/2)^m(1)+m(2)2^-p(1)-p(2) - 1}　

+ (3/2)^m(2)2^-p(1)-p(2){ (3/2)^m(1)- 1} + 2^-p(2){(3/2)^m(2)- 1}

(3) 同様にして

n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)} = q₃　,　 k₃ = (q₃2^p(3) + 1)/3^m(3)

n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)} = 2^m(3)(q₃2^p(3) + 1)/3^m(3) - 1= (q₃2^m(3)+p(3) + 2^m(3))/3^m(3) - 1

q₃2^p(3) = 3^m(3)(n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)} + 1)/2^m(3) - 1 = (n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)} + 1)(3/2)^m(3) - 1

q₃ = {(n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)} + 1)(3/2)^m(3)2^-p(3) - 2^-p(3)

　　　 　　　　= {(n₀+1)(3/2)^m(1)+m(2)2^-p(1)-p(2)

- (3/2)^m(2)2^-p(1)-p(2) + (3/2)^m(2)2^-p(2) - 2^-p(2) + 1}(3/2)^m(3)2^-p(3) - 2^-p(3)

　　　 　　　　= (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)} - (3/2)^m(2)+m(3)2^{-p(1)-p(2)-p(3)} + (3/2)^m(2)+m(3)2^-p(2)-p(3)

　　　　 - (3/2)^m(3)2^-p(2)-p(3)+ (3/2)^m(3)2^-p(3) - 2^-p(3)

3回目の一連の作業が終わって q₃ が求められその増減数z₃ は

　　　　 z₃ = q₃ - q₂ = (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)} - (3/2)^m(2)+m(3)2^{-p(1)-p(2)-p(3)}

　　　　　　　 + (3/2)^m(2)+m(3)2^-p(2)-p(3)- (3/2)^m(3)2^-p(2)-p(3)+ (3/2)^m(3)2^-p(3) - 2^-p(3)

　　　　　　　　 　　　- {(n₀+1)(3/2)^m(1)+m(2)2^-p(1)-p(2) - (3/2)^m(2)2^-p(1)-p(2) + (3/2)^m(2)2^-p(2) - 2^-p(2) }

　　　　 　　= (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)-p(1)-p(2)} {(3/2)^m(3)2^-p(3) -1}

- (3/2)^m(2)+m(3)2^{-p(1)-p(2)-p(3)} + (3/2)^m(2)+m(3)2^-p(2)-p(3) - (3/2)^m(3)2^-p(2)-p(3)

+(3/2)^m(3)2^-p(3) - 2^-p(3) + (3/2)^m(2)2^-p(1)-p(2) - (3/2)^m(2)2^-p(2) + 2^-p(2)

= (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)-p(1)-p(2)} {(3/2)^m(3)2^-p(3) -1} - (3/2)^m(2)+m(3)2^-p(2)-p(3)(2^-p(1)- 1)

+ (3/2)^m(2)2^-p(2) (2^-p(1)- 1) - (3/2)^m(3)2^-p(3)(2^-p(2)- 1) - 2^-p(3) +　 2^-p(2)

= (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)-p(1)-p(2)} {(3/2)^m(3)2^-p(3) -1 }

+ (3/2)^m(2)2^-p(2){(3/2)^m(3)2^-p(3)- 1}(1 - 2^-p(1))

+ (3/2)^m(3)2^-p(3)(1 - 2^-p(2)) - 2^-p(3) +　 2^-p(2)

最初からの増減数z は

z = q₃ - n₀ = (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)} - (3/2)^m(2)+m(3)2^{-p(1)-p(2)-p(3)}

+ (3/2)^m(2)+m(3)2^-p(2)-p(3)- (3/2)^m(3)2^-p(2)-p(3)+ (3/2)^m(3)2^-p(3) - 2^-p(3) - n₀

= n₀{(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)} - 1} + (3/2)^m(2)+m(3)2^{-p(1)-p(2)-p(3)}{(3/2)^m(1) - 1}

+ (3/2)^m(3)2^-p(2)-p(3){ (3/2)^m(2)- 1} + 2^-p(3){(3/2)^m(3)- 1}

= [n₀{ 3^{m(1)+m(2)+m(3)}- 2^{p(1)+p(2)+p(3)+m(1)+m(2)+m(3)}} + 3^m(2)+m(3){ 3^m(1) - 2^m(1)}

+ 3^m(3)2^p(1)+m(1){ 3^m(2)- 2^m(2)} + 2^{p(1)+p(2)+m(1)+m(2)}{ 3^m(3)- 2^m(3)}]/2^{p(1)+p(2)+p(3)+m(1)+m(2)+m(3)}

(4) 同様にして

n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)+m(4)+p(4)} = q₄　,　 k₄ = (q₄2^p(4) + 1)/3^m(4)

n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)} = 2^m(4)(q₄2^p(4) + 1)/3^m(4) - 1= (q₄2^m(4)+p(4) + 2^m(4))/3^m(4) - 1

q₄2^p(4) = 3^m(4)(n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)} + 1)/2^m(4) – 1

　= (n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)} + 1)(3/2)^m(4) - 1

q₄ = {(n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)} + 1)(3/2)^m(4)2^-p(4) - 2^-p(4)

=[(n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)} - (3/2)^m(2)+m(3)2^{-p(1)-p(2)-p(3)} + (3/2)^m(2)+m(3)2^-p(2)-p(3)

- (3/2)^m(3)2^-p(2)-p(3)+ (3/2)^m(3)2^-p(3) - 2^-p(3)](3/2)^m(4)2^-p(4)+ (3/2)^m(4)2^-p(4) - 2^-p(4)

= (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)} - (3/2)^{m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)}

+ (3/2)^{m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(2)-p(3)-p(4)} -　 (3/2)^m(3)+m(4)2^{-p(2)-p(3)-p(4)}+ (3/2)^m(3)+m(4)2^-p(3)-p(4)

- (3/2)^m(4)2^-p(3)-p(4)+ (3/2)^m(4)2^-p(4) - 2^-p(4)

4回目の一連の作業が終わって q₄ が求められその増減数z₄ は

z₄ = q₄ - q₃ = (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)} - (3/2)^{m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)}

+ (3/2)^{m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(2)-p(3)-p(4)} - (3/2)^m(3)+m(4)2^{-p(2)-p(3)-p(4)}+ (3/2)^m(3)+m(4)2^-p(3)-p(4)

- (3/2)^m(4)2^-p(3)-p(4)+ (3/2)^m(4)2^-p(4) - 2^-p(4)

- [(n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)}- (3/2)^m(2)+m(3)2^{-p(1)-p(2)-p(3)}

+ (3/2)^m(2)+m(3)2^-p(2)-p(3) - (3/2)^m(3)2^-p(2)-p(3)+ (3/2)^m(3)2^-p(3) - 2^-p(3)]

= (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)}{(3/2)^m(4)2^-p(4)-1}

+ (3/2)^{m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(2)-p(3)-p(4)}{1-2^-p(1)}

+ (3/2)^m(3)+m(4)2^-p(3)-p(4){1 - 2^-p(2)}+ (3/2)^m(4)2^-p(4){ 1 - 2^-p(3)} - 2^-p(4)

- (3/2)^m(2)+m(3)2^-p(2)-p(3){ 1 - 2^-p(1)} - (3/2)^m(3)2^-p(3){ 1 - 2^-p(2)} + 2^-p(3)

= (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)}{(3/2)^m(4)2^-p(4)-1}

+ (3/2)^m(2)+m(3)2^-p(2)-p(3){(3/2)^m(4)2^-p(4)- 1}{1-2^-p(1)}

+ (3/2)^m(3)2^-p(3){(3/2)^m(4)2^-p(4) - 1}{1 - 2^-p(2)}

+ (3/2)^m(4)2^-p(4){ 1 - 2^-p(3)} - 2^-p(4)+ 2^-p(3)

最初からの増減数z は

z = q₄ - n₀ = (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)} - (3/2)^{m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)}

+ (3/2)^{m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(2)-p(3)-p(4)} -　 (3/2)^m(3)+m(4)2^{-p(2)-p(3)-p(4)}+ (3/2)^m(3)+m(4)2^-p(3)-p(4)

- (3/2)^m(4)2^-p(3)-p(4)+ (3/2)^m(4)2^-p(4) - 2^-p(4) -n₀

= n₀{(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)} - 1}+(3/2)^{m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)}{(3/2)^m(1)- 1}

+ (3/2)^m(3)+m(4)2^{-p(2)-p(3)-p(4)}{(3/2)^m(2)- 1}+ (3/2)^m(4)2^-p(3)-p(4){(3/2)^m(3)- 1}

+ 2^-p(4){(3/2)^m(4) - 1}

= [n₀{3^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)}-2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)}} + 3^{m(2)+m(3)+m(4)}{3^m(1)- 2m⁽¹⁾}

+ 3^m(3)+m(4)2^p(1)+m(1){3^m(2)- 2^m(2)}+ 3^m(4)2^{p(1)+p(2)+m(1)+m(2)}{3^m(3)- 2^m(3)}

+ 2^{p(1)+p(2)+p(3)+m(1)+m(2)+m(3)}{3^m(4) - 2^m(4)}]/2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)}

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

(5) 同様にしてこの作業を n 回繰り返せば

n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)+m(4)+p(4)+・・・+m(n)+p(n)} = qn　,　 k_n = (q_n2^p(n) + 1)/3^m(n)

n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)+・・・+m(n-1)+p(n-1)} = 2^m(n)(q_n2^p(n) + 1)/3^m(n) – 1

= (q_n2^m(n)+p(n) + 2^m(n))/3^m(n) - 1

q_n2^p(n) = 3^m(n)(n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)+・・・+m(n-1)+p(n-1)} + 1)/2^m(n) - 1

　　　　　　 = (n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)+・・・+m(n-1)+p(n-1)} + 1)(3/2)^m(n) - 1

q_n = { (n_{m(1)+p(1)+m(2)+p(2)+m(3)+p(3)+・・・+m(n-1)+p(n-1)} + 1)(3/2)^m(n)2^-p(n) - 2^-p(n)

　　　 = (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)- ・・・-p(n)}

- (3/2)^{m(2)+m(3)+m(4)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)} - (3/2)^{m(2)+m(3)+m(4)+・・・+p(n)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-p(4)-・・・-p(n)}

+ (3/2)^{m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}2-^{p(2)-p(3)-p(4)-・・・-p(n)}

- (3/2)^{m(3)+m(4)+・・・+m(n)}2^{-p(2)-p(3)-p(4)-・・・-p(n)}+ (3/2)^{m(3)+m(4)+・・・+m(n)}2^{-p(3)-p(4)-・・・-p(n)}

- (3/2)^{m(4)+m(5)+・・・+m(n)}2^{-p(3)-p(4)-p(5)-・・・-p(n)}+ (3/2)^{m(4)+m(5)+・・・+m(n)}2^{-p(4)-p(5)-・・・-p(n)}

　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

- (3/2)^m(n)2^-p(n-1)-p(n)+ (3/2)^m(n)2^-p(n) - 2^-p(n)

n回目の一連の作業が終わって q_n が求められその増減数　z_n は

z_n = q_n - q_n-1　

= (n₀+1)(3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)+・・・+m(n-1)}2^{-p(1)-p(2)-p(3)-・・・-p(n-1)}{(3/2)^m(n)2^-p(n)-1}

　　　　　 + (3/2)^{m(2)+m(3)+・・・+m(n-1)}2^{-p(2)-p(3)-・・・-p(n-1)}{(3/2)^m(n)2^-p(n)- 1}{1 - 2^-p(1)}

+ (3/2)^{m(3)+m(4)+・・・+m(n-1)}2^{-p(3)-p(4)-・・・-p(n-1)}{(3/2)^m(n)2^-p(n) - 1}{1 - 2^-p(2)}

　　 　　　 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

+ (3/2)^m(n-1)2^p(n-1){(3/2)^m(n)2^-p(n) - 1}{1 - 2^-p(n-2)}

+ (3/2)^m(n)2^-p(n){ 1 - 2^-p(n-1)}

- 2^-p(n)+ 2^-p(n-1)

最初からの増減数　z　 は

z = q_n - n₀　

= [n₀{3^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}-2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}}

　　　　　　　　　 + 3^{m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}{3^m(1)- 2m⁽¹⁾}

+ 3^{m(3)+m(4)+・・・+m(n)}2^p(1)+m(1){3^m(2)- 2^m(2)}

+ 3^{m(4)+・・・+m(n)}2^{p(1)+p(2)+m(1)+m(2)}{3^m(3)- 2^m(3)}

　　 　　　 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

+ 3^m(n)2^{p(1)+p(2)+・・・+p(n-2)+m(1)+m(2)+・・・+m(n-2)}{3^m(n-1)- 2^m(n-1)}

+ 3⁰2^{p(1)+p(2)+p(3)+・・・+p(n-1)+m(1)+m(2)+m(3)+・・・+m(n-1)}{3^m(n) - 2^m(n)}]

/2^{p(1)+p(2)+p(3)+・・・+p(n)+p(4)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}

此処に於いて分子の第１項のn₀ の係数となる

{3^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}-2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}} は

　　　 p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)　の値が大きくなれば負となりうる。

　　 　　分子の第２項以降は 3^p -2^p の形（p ≧ 1）の係数だから全て正となる。

　　　 従って z < 0 となるには

　　　 　3^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)} < 2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)} でなければならない。

　　 ∴　 (3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)} < 2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)}

従ってこれら一連の作業を n 回やって上記条件が満たされたとき、

奇数 n₀ はそれより小さい q_n に帰着する。

Ａ-3 　以上の検討結果をまとめる

　　(1) n₀ = 1 のとき

　　　　　 n₁ = (3n₀ + 1)/2 = 4/2 = 2

　　　　　 n_m(1) = q₁2^p(1) 　∴ m(1) = 1 , p(1) = 1 , q₁ = 1

　　　　　 n₂ = n_1/2 = 1 →　n_m(1)+p(1) = q₁ に相当する

　　　　　 (3/2)^m(1) = (3/2) , 2^p(1) = 2　 ∴(3/2)^m(1) < 2^p(1) が成り立ち命題は成り立つ。

　　(2) n₀ = 2 のとき

　　　　　 n₁ = n₀/2 = 1

　　　　　 (1)で　成立することを確認済み

(3) n₀ = 3 のとき

　　　　　 n₁ = (3n₀ + 1)/2 = 10/2 = 5

　　　　　 n₂ = (3n₁ + 1)/2 = (3・5 + 1)/2 = 8 = 1・2³

　　　　　 n_m(1) = q₁2^p(1)　 ∴ m(1) = 2 , p(1) = 3 , q₁ = 1

　　　　　 n₃ = n2/2 = 4 , n₄ = n₃/2 = 2 , n₅ = n₄/2 = 1 ,　 →　n_m(1)+p(1) = q₁ に相当する

　　　　　 (3/2)^m(1) = (3/2)² , 2^p(1) = 2³　 ∴(3/2)^m(1) < 2^p(1) が成り立ち命題は成り立つ。

　　(4) n₀ = 4 のとき

　　　　　 n₁ = n₀/2 = 2

　　　　　 (2)で　成立することを確認済み

　　　　　 今後 n₀ を順次大きくしていくとすれば n₀ が偶数のときは、

　　　　　 それ以前に証明はすまされていることとなるので、以後は省略する。

　　　　　 n₀ = k の奇数のときも この命題は成り立つ

　　　　　 何故なら n 回の操作により

　　　　 z = [k{3^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}

　　 　　　　　　- 2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}}

　　 　　　　 + 3^{m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}{3^m(1)- 2^m(1)}

　　　 　　　　　+ 3^{m(3)+m(4)+・・・+m(n)}2^p(1)+m(1){3^m(2)- 2^m(2)}

　　　 　　　　　+ 3^{m(4)+・・・+m(n)}2^{p(1)+p(2)+m(1)+m(2)}{3^m(3)- 2^m(3)}

　　 　　　 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　　 　　　　　+ 3^m(n)2^{p(1)+p(2)+・・・+p(n-2)+m(1)+m(2)+・・・+m(n-2)}{3^m(n-1)- 2^m(n-1)}

　　 　　　　　　+ 3⁰2^{p(1)+p(2)+p(3)+・・・+p(n-1)+m(1)+m(2)+m(3)+・・・+m(n-1)}{3^m(n) - 2^m(n)}]

　　 　　　　　　/2^{p(1)+p(2)+p(3)+・・・+p(n)+p(4)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}

　　 　が得られ、分子の第１項の k の係数となる

　　　 {3^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}

　 　　　　　　　 -2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}} は

　　　　　 p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)　の値が大きくなれば負となるので

　　　 　3^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)} < 2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)+m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)}

　　 ∴ (3/2)^{m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n)} < 2^{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)}

　　　 となるまで n を増やせば、z < 0 となり、n₀ は n₀ よりも小さい q_n に帰着する。

　　　　　 このようにして n₀ はそれより小さい数に帰着していくから、

　　　　　 最終的には　 1 → 4 → 2 → 1 を繰り返す　　　Q.E.D.

＜例＞M(n) = (3/2)m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+・・・+m(n) , P(n) = 2p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+・・・+p(n)

n0 = 5 の場合
n	m(n)	p(n)	qn	(3・qn+1)/2の推移	��m(n)		��p(n)	M(n)	zの 正負	P(n)
0			5	8
1	1	3	1		1		3	1.5	−	8
n0 = 7 の場合
n	m(n)	p(n)	qn	(3・qn+1)/2の推移	��m(n)	��p(n)		M(n)	z の 正負	P(n)
0			7	11,17,26
1	3	1	13	20	3	1		3.375	＋	2
2	1	2	5	8	4		3	5.0625	−	8
3	1	3	1		5		6	7.59375	−	64
n0 = 27 の場合
n	m(n)	p(n)	qn	(3・qn+1)/2の推移	��m(n)	��p(n)		M(n)	z の 正負	P(n)
0			27	41,62
1	2	1	31	47,71,107,161,242	2	1		2.25	＋	2
2	5	1	121	182	7		2	17.08593	＋	4
3	1	1	91	137,206	8		3	25.62890	＋	8
4	2	1	103	155,233,350	10	4		57.66503	＋	16
5	3	1	175	263,395,593,890	13	5		194.6195	＋	32
6	4	1	445	668	17		6	985.2612	＋	64
7	1	2	167	251,377,566	18		8	1477.891	＋	256
8	3	1	283	425,638	21	9		4987.885	＋	512
9	2	1	319	479,719,1079,1619, 2429,3644	23	10		11222.74	＋	1024
10	6	2	911	1397,2051,3077,4616	29		12	127834.0	＋	4096
11	4	3	577	866	33		15	647159.8	＋	32768
12	1	1	433	650	34	16		970739.7	＋	65536
13	1	1	325	488	35	17		1456109.61	＋	131072
14	1	3	61	92	36		20	2184164.41	＋	1048576
15	1	2	23	35,53,80	37		22	3276246.61	−	4194304
16	3	4	5	8	40		26	11057332.3	−	67108864
17	1	3	1		41		29	16585998.5	−	536870912
n0 = 123 の場合
n	m(n)	p(n)	qn	(3・qn+1)/2の推移	��m(n)	��p(n)		M(n)	z の 正負	P(n)
0			123	185,278
1	2	1	139	209,314	2	1		2.25	＋	2
2	2	1	157	236	4		2	5.0625	＋	4
3	1	2	59	89,134	5		4	7.59375	−	16
4	2	1	67	101,152	7	5		17.08593	−	32
5	2	3	19	29,44	9	8		38.44335	−	256
6	2	2	11	17,26	11		10	86.49755	−	1024
7	2	1	13	20	13		11	194.6195	−	2048
8	1	2	5	8	14	13		291.9292	−	8192
9	1	3	1		15	16		437.8938	−	65536