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 が,お勧め答案.他は参考.


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 a1=1,an+1=2a+1 (n=1,2,3,・・・)
△階差数列に持ち込む方法
「an+1=2a+1 (n≧1)・・・(1)
=2an-1+1 (n≧2)・・・(2)
(1)-(2)
n+1-a=2(a-an-1) (n≧2)・・・(3)
数列{an+1-a}は公比2の等比数列
だから
n+1-a=(a2-a1)2n-1・・・(4)
 =(3-1)2n-1
 =2
数列{a}の階差数列が
n=an+1-a
=2 
だから
ア) n≧2のとき
=a+Σn-1k=1
 =1+2(2n-1-1)
 =1+2-2
 =2-1
イ) n=1のとき
=1
ア)イ)よりa=2-1 (n≧1)・・・(答)」
○等比数列にする方法
「an+1-α=2(a-α)となるαを求めると
n+1=2a-2α+α
 =2a-α より,α=-1
n+1+1=2(a+1)となるから,数列{a+1}は公比2の等比数列

+1=(a+1)2n-1
 =(1+1)・2n-1
 =2・2n-1
 =2

ゆえに,a=2-1 ・・・(答)」

(短縮答案:なぜ思い付くのかは言わなくてもよい)


「an+1+1=2(a+1)
+1=(a+1)2n-1=2
=2-1 ・・・(答)」
◇推定+数学的帰納法による方法
「a=1
=2+1
=2(2+1)+1=22+2+1
=2(22+2+1)+1=2+22+2+1
・・・
=2n-1+・・・+22+2+1
 =2-1と推定する.
これを数学的帰納法により証明する:
I) n=1のとき
 a=2-1=1 だから成立する.
II) n=k(k≧1)のとき
 a=2-1が成立すると仮定すれば
 ak+1=2(2-1)+1
 =2k+1-2+1
 =2k+1-1だから,n=k+1のときも成立する.
I)II)よりすべての自然数nについて成立する.
以上より,a=2-1 ・・・(答)」
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 a1=1,an+1=a+2 (n=1,2,3,・・・)
○階差数列に持ち込む方法
「an+1=a+2 (n≧1)・・・(1)
数列{a}の階差数列が
n=an+1-a=2 
だから
ア) n≧2のとき
=a+Σn-1k=1
 =1+2(n-1)
 =2n-1
イ) n=1のとき
=1
ア)イ)よりa=2n-1
 (n≧1)・・・(答)」


(別解)
「(1)より
数列{a}は公差2の等差数列 
だから
=1+(n-1)・2=2n-1・・・(答)」
○等比数列にする方法
「an+1-α(n+1)=a-α(n)となるαを求めると
n+1=a+α(n+1)-α(n)
 =a+α より,α=2
n+1-2(n+1)=a-2nとなるから,数列{a-2n}は公比1の等比数列

-2n=(a-2)1n-1
 =-1

ゆえに,a=2n-1 ・・・(答)」

(短縮答案:なぜ思い付くのかは言わなくてもよい)


「an+1-2(n+1)=a-2n だから
-2n=(a-2)=-1
=2n-1 ・・・(答)」
◇推定+数学的帰納法による方法
「a=1
=2+1
=2+2+1
=2+2+2+1
・・・
=2+・・・+2+2+1
 =2(n-1)+1=2n-1と推定する.
これを数学的帰納法により証明する:
I) n=1のとき
 a=2・1-1=1 だから成立する.
II) n=k(k≧1)のとき
 a=2k-1が成立すると仮定すれば
 ak+1=(2k-1)+2
 =2(k+1)-1
 だから,n=k+1のときも成立する.
I)II)よりすべての自然数nについて成立する.
以上より,a=2n-1 ・・・(答)」
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 a1=3,an+1=3a+2n-1 (n=1,2,3,・・・)
△通常この解法で説明しますが,(2)以降の計算が長くなるのが難点です.
○等比数列にする方法

n+1+n+1=3(a+n)と変形すると数列{a+n}は公比3の等比数列になるから
+n=(a+1)3n-1
     =4・3n-1
==4・3n-1-n・・・(答)

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 a1=3,an+1=3a+2 (n=1,2,3,・・・)
△通常の解法
○等比数列にする方法
n+1+2n+1=3(an+2n)と変形すると,数列{an+2n}は公比3の等比数列になるから
n+2n=(a+2)3n-1=5・3n-1
n=5・3n-1-2n・・・(答)
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 a1=1,an+1=na (n=1,2,3,・・・)
○等比数列にする方法
◇推定+数学的帰納法による方法
1=1
=1・1
=2・1・1
=3・2・1・1
=4・3・2・1・1
 ・・・
=(n-1)! と推定する.
これを数学的帰納法で証明する.
I) n=1のとき
 a=0!=1 だから成立する.
II) n=kのとき成立すると仮定すれば(a=(k-1)!)
 ak+1=k・(k-1)!=k!
 n=k+1のときも成立する.
I)II)より,すべての自然数nについて成立する.
=(n-1)!・・・(答)
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○等比数列にする方法
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○等比数列にする方法
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  a1=1,a=2,an+2-3an+1+2a=0 (n=1,2,3,・・・)
○等比数列にする方法
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  a1=2,b=1, an+1=2a+2b, bn+1=a+3b (n=1,2,3,・・・)
○等比数列にする方法
n+1+2bn+1=4(an+2b)・・・(1)
n+1-bn+1=an-b・・・(2)
 (1)よりan+2b=(a+2b)4n-1
   =4n・・・(3)
 (2)よりan-b=1・・・(4)
(3)(4)より
 ・・・(答)
n+1+αbn+1=β(an+αb
 となるα,βを求める.
2a+2b+α(a+3b)=β(an+αb
 より
2+α=β,2+3α=αβ
これより,
 α=2,β=4
 α=-1,β=1

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