＿＿＿＿＿＿＿＿　　　		 　が，お勧め答案．他は参考．

１　　　　↑問題に戻る
　a1=1，ａｎ＋１＝２ａｎ＋１　（ｎ＝１，２，３，･･･）
△階差数列に持ち込む方法
「ａｎ＋１＝２ａｎ＋１　（ｎ≧１）・・・(1)
ａｎ＝２ａｎ−１＋１　（ｎ≧２）・・・(２)
(1)-(2)
ａｎ＋１−ａｎ＝２（ａｎ−ａｎ−１）　（ｎ≧２）・・・(３)
数列｛ａｎ＋１−ａｎ｝は公比２の等比数列
だから
ａｎ＋１−ａｎ＝（ａ２−ａ１）２ｎ−１・・・(4)
　＝（３−１）２ｎ−１
　＝２ｎ
数列｛ａｎ｝の階差数列が
ｂn＝ａｎ＋１−ａｎ
＝２ｎ　
だから
ア）　ｎ≧２のとき
ａｎ＝ａ１＋Σｎ−１k=1２ｋ
　＝１＋２（２ｎ−１−１）
　＝１＋２ｎ−２
　＝２ｎ−１
イ）　ｎ＝１のとき
ａ１＝１
ア）イ）よりａｎ＝２ｎ−１　（ｎ≧１）・・・(答)」
○等比数列にする方法
「ａｎ＋１−α＝２（ａｎ−α）となるαを求めると
ａｎ＋１＝２ａｎ−２α＋α
　＝２ａｎ−α　より，α＝−１
ａｎ＋１＋１＝２（ａｎ＋１）となるから，数列｛ａｎ＋１｝は公比２の等比数列

ａｎ＋１＝（ａ１＋１）２ｎ−１
　＝（１＋１）・２ｎ−１
　＝２・２ｎ−１
　＝２ｎ

ゆえに，ａｎ＝２ｎ−１　･･･（答）」

○（短縮答案：なぜ思い付くのかは言わなくてもよい）

「ａｎ＋１＋１＝２（ａｎ＋１）
ａｎ＋１＝（ａ１＋１）２ｎ−１＝２ｎ
ａｎ＝２ｎ−１　･･･（答）」
◇推定＋数学的帰納法による方法
「ａ１＝１
ａ２＝２＋１
ａ３＝２（２＋１）＋１＝２2＋２＋１
ａ４＝２（２2＋２＋１）＋１＝２３＋２2＋２＋１
・・・
ａｎ＝２ｎ−１＋・・・＋２2＋２＋１
　＝２ｎ−１と推定する．
これを数学的帰納法により証明する：
Ｉ）　ｎ＝１のとき
　ａ１＝２１−１＝１　だから成立する．
II）　ｎ＝ｋ（ｋ≧１）のとき
　ａｋ＝２ｋ−１が成立すると仮定すれば
　ａｋ＋１＝２（２ｋ−１）＋１
　＝２ｋ＋１−２＋１
　＝２ｋ＋１−１だから，ｎ＝ｋ＋１のときも成立する．
I)II)よりすべての自然数ｎについて成立する．
以上より，ａｎ＝２ｎ−１　･･･（答）」
２　　　　↑問題に戻る
　a1=1，ａｎ＋１＝ａｎ＋２　（ｎ＝１，２，３，･･･）
○階差数列に持ち込む方法
「ａｎ＋１＝ａｎ＋２　（ｎ≧１）・・・(1)
数列｛ａｎ｝の階差数列が
ｂn＝ａｎ＋１−ａｎ＝２　
だから
ア）　ｎ≧２のとき
ａｎ＝ａ１＋Σｎ−１k=1２
　＝１＋２（ｎ−１）
　＝２ｎ−１
イ）　ｎ＝１のとき
ａ１＝１
ア）イ）よりａｎ＝２ｎ−１
　（ｎ≧１）・・・(答)」

（別解）
「(1)より
数列｛ａｎ｝は公差２の等差数列　
だから
ａｎ＝１＋（ｎ−１）・２＝２ｎ−１・・・(答)」
○等比数列にする方法
「ａｎ＋１−α（ｎ＋１）＝ａｎ−α（ｎ）となるαを求めると
ａｎ＋１＝ａｎ＋α（ｎ＋１）−α（ｎ）
　＝ａｎ＋α　より，α＝２
ａｎ＋１−２（ｎ＋１）＝ａｎ−２ｎとなるから，数列｛ａｎ−２ｎ｝は公比１の等比数列

ａｎ−２ｎ＝（ａ１−２）１ｎ−１
　＝−１

ゆえに，ａｎ＝２ｎ−１　･･･（答）」

○（短縮答案：なぜ思い付くのかは言わなくてもよい）

「ａｎ＋１−２（ｎ＋１）＝ａｎ−２ｎ　だから
ａｎ−２ｎ＝（ａ１−２）＝−１
ａｎ＝２ｎ−１　･･･（答）」
◇推定＋数学的帰納法による方法
「ａ１＝１
ａ２＝２＋１
ａ３＝２＋２＋１
ａ４＝２＋２＋２＋１
・・・
ａｎ＝２＋・・・＋２＋２＋１
　＝２（ｎ−１）＋１＝２ｎ−１と推定する．
これを数学的帰納法により証明する：
Ｉ）　ｎ＝１のとき
　ａ１＝２・１−１＝１　だから成立する．
II）　ｎ＝ｋ（ｋ≧１）のとき
　ａｋ＝２ｋ−１が成立すると仮定すれば
　ａｋ＋１＝（２ｋ−１）＋２
　＝２（ｋ＋１）−１
　だから，ｎ＝ｋ＋１のときも成立する．
I)II)よりすべての自然数ｎについて成立する．
以上より，ａｎ＝２ｎ−１　･･･（答）」
３　　　　↑問題に戻る　
　a1=３，ａｎ＋１＝３ａｎ＋２ｎ−１　（ｎ＝１，２，３，･･･）
△通常この解法で説明しますが，(2)以降の計算が長くなるのが難点です．
○等比数列にする方法

ａn+1＋ｎ＋１＝３（ａｎ＋ｎ）と変形すると数列｛ａｎ＋ｎ｝は公比３の等比数列になるから
ａｎ＋ｎ＝（ａ１＋１）３n-1
　　　　　＝４･３n-1
ａｎ＝＝４･３n-1−ｎ・・・(答)
４　　　　↑問題に戻る
　a1=３，ａｎ＋１＝３ａｎ＋２ｎ　（ｎ＝１，２，３，･･･）
△通常の解法
○等比数列にする方法
ａn+1＋２n+1＝３（ａn＋２n）と変形すると，数列｛ａn＋２n｝は公比３の等比数列になるから
ａn＋２n＝（ａ１＋２１）３n-1＝５・３n-1
ａn＝５･３n-1−２n･･･（答）
５　　　　↑問題に戻る
　a1=1，ａｎ＋１＝ｎａｎ　（ｎ＝１，２，３，･･･）
○等比数列にする方法
◇推定＋数学的帰納法による方法
ａ1=1
ａ２＝１・１
ａ３＝２・１・１
ａ４＝３・２・１・１
ａ５＝４・３・２・１・１
　・・・
ａｎ＝(ｎ−１)！　と推定する．
これを数学的帰納法で証明する．
Ｉ）　ｎ＝１のとき
　ａ１＝０！＝１　だから成立する．
II）　ｎ＝ｋのとき成立すると仮定すれば（ａｋ＝(ｋ−１)！）
　ａk+1＝ｋ・(ｋ−１)！＝ｋ！
　ｎ＝ｋ＋１のときも成立する．
I)II)より，すべての自然数ｎについて成立する．
ａｎ＝(ｎ−１)！・・・（答）
６　　　　↑問題に戻る
　
○等比数列にする方法
７　　　　↑問題に戻る
　
○等比数列にする方法
８　　　　↑問題に戻る
　　a1=1，ａ２＝２，ａｎ＋２−３ａｎ＋１＋２ａｎ＝０　（ｎ＝１，２，３，･･･）
○等比数列にする方法
９　　　　↑問題に戻る
　　a1=２，ｂ１＝１，　ａｎ＋１＝２ａｎ＋２ｂｎ，　ｂｎ＋１＝ａｎ＋３ｂｎ　（ｎ＝１，２，３，･･･）
○等比数列にする方法
ａn+1+２ｂn+1＝４（ａn＋２ｂｎ）･･･(1)
ａn+1−ｂn+1＝ａn−ｂｎ･･･(2)
　(1)よりａn＋２ｂｎ＝(ａ１＋２ｂ１)４n-1
　　　＝４n･･･(3)
　(2)よりａn−ｂｎ＝１･･･(4)
(3)(4)より
　・・・（答）		 ａn+1+αｂn+1＝β（ａn＋αｂｎ）
　となるα，βを求める．
２ａｎ＋２ｂｎ+α(ａｎ＋３ｂｎ)＝β（ａn＋αｂｎ）
　より
２＋α＝β，２＋３α＝αβ
これより，
　α＝２，β＝４
　α＝−１，β＝１

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