|
【公式】
【解説】異なる２点(x1 , y1 ),(x2 , y2 )を通る直線の方程式は (1) x1≠x2のとき (2) x1=x2のとき x=x1 高校の数学の教書では，通常，上の公式が書かれています． しかし，数学に苦手意識を持っている生徒に言わせると「xやyが上にも下にもたくさん見えて，目が船酔いのように泳いでしまうので困る」らしい． 実際には，与えられた２点の座標は定数なので，少し見やすくするために文字a,b,c,dで表すと，上の公式は次のようになります．
【公式Ⅱ】
これでx, yが１個ずつになって，直線の方程式らしく見やすくなりましたので，こちらの公式Ⅱの方で解説します．異なる２点(a, b),(c, d)を通る直線の方程式は (1) a≠cのとき (2) a=cのとき x=a 
（１つ前に習う公式）１点(a, b)を通り，傾きmの直線の方程式は y−b=m(x−a) です．
なぜなら：
傾きmの直線の方程式は傾きy=mx+kと書けますが，この定数項kの値は，点(a, b)を通るということから求めることができ b=ma+k より k=b−ma になります．これを元の方程式に代入すると y=mx+b−ma したがって y−b=m(x−a)…(*1) 
（公式Ⅱの解説）２点(a, b), (c, d)を通る直線の方程式をいきなり考えると，点が２つもあってポイントが絞りきれないので，１点(a, b)を優先的に考える． すなわち，２つ目の点(c, d)は傾きを求めるための材料だけに使う． このとき，２点(a, b), (c, d)を通る直線の傾きは になるから 「２点(a, b), (c, d)を通る直線」は 「１点(a, b)を通り傾き に等しくなる． (*1)により これで公式Ⅱの(1)が証明された．
この公式において，赤の点線で囲んだ部分は「傾き」を表しているというところがポイントです．
【例】
(1) ２点(1, 3), (6, 9)を通る直線の方程式はすなわち (2) ２点(−2, 3), (4, −5)を通る直線の方程式は すなわち 次に公式の(2)が x1=x2のとき，なぜ「x=x1」となるのか，「x=x2」ではだめなかのかと考えだしたら分からなくなる場合があります． これは公式Ⅱの(2)でも同様に a=cのとき，なぜ「x=a」となるのか，「x=c」ではだめなかのかというのと同じです． 
右図のように，a=cのときは縦に並んでいることになり，x=a と言っても x=c といっても，「どちらでもよい」ことになります． 【例】 
(1) ２点(1, 3), (1, 5)を通る直線の方程式はx=1 (2) ２点(−2, 3), (−2, 9)を通る直線の方程式は x=−2 |
...（携帯版）メニューに戻る