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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ⅰの「2次不等式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので前後関係がよく分からないという場合は，他の頁を先に見てください．　 が現在地です．

↓2次不等式(Ｄ＞０の場合)
↓同(Ｄ＝０の場合)
↓同(Ｄ＜０の場合)
↓2次不等式(まとめ)
↓絶対値付き
↓文字係数
↓同（いろいろな問題）
たすき掛け+連立不等式

【例１】
２次不等式x2−(a+2)x+2a<0を解いてください．

左辺を因数分解すると
(x−2)(x−a) になるから，簡単に言えば
2とaの間 が答えになりますが，ここでaが文字であることにより，aと2のどちらが大きいかに応じて答え方が変わってきます．

(1)
２次不等式x2−ax≧0を解いてください．

（解答）
x(x−a)≧0と変形でき，
２次方程式x(x−a)=0の解はx=0, a
ア）　a<0のとき
２次関数y=x(x−a)のグラフは右図のようになるから
2次不等式の解は
x≦a, 0≦x
イ）　a=0のとき
２次関数y=x2のグラフは右図のようになるから
2次不等式の解は「すべての実数」

ウ）　0<aのとき
２次関数y=x(x−a)のグラフは右図のようになるから
2次不等式の解は
x≦0, a≦x

(2)
２次不等式x2−(a+3)x+(a+2)≦0を解いてください．

（解答）
(x−1)(x−a−2)≦0と変形できる
２次方程式(x−1)(x−a−2)=0の解はx=1, a+2
ア）　a<−1のとき，a+2<1だから
a+2≦x≦1
イ）　a=−1のとき，a+2=1だから
x=1
ウ）　−1<aのとき，1<a+2だから
1≦x≦a+2

【例２】
２次不等式x2−(2a+1)x+a(a+1)>0を解いてください．

左辺を因数分解すると
(x−a)(x−a−1) になります．
さらにa<a+1がいえるので
aとa+1の両側

(1)
２次不等式x2−3ax+2a2<0を解いてください．

（解答）
(x−a)(x−2a)<0と変形できる
２次方程式(x−a)(x−2a)=0の解はx=a, 2a
ア）　a<0のとき，2a<aだから
２次関数y=(x−a)(x−2a)のグラフは右図のようになる
2次不等式の解は
2a<x<a

イ）　a=0のとき，a=2a=0だから
２次関数y=(x−a)(x−2a)のグラフは右図のようになる
2次不等式は「解なし」

ウ）　0<aのとき，a<2aだから
２次関数y=(x−a)(x−2a)のグラフは右図のようになる
2次不等式の解は
a<x<2a

(2)
２次不等式x2+(2a−1)x+a(a−1)>0を解いてください．

（解答）
(x+a)(x+a−1)>0と変形できる
２次方程式
(x+a)(x+a−1)=0
の解は
x=−a, −a+1　（−a<−a+1）
だから
2次不等式の解は
x<−a, −a+1<x…（答）

【例３】
２次不等式x2−(3a+1)x+2a(a+1)<0を解いてください．

ここで
ア）2a<a+1 ←→ a<1
イ）2a=a+1 ←→ a=1
ウ）2a>a+1 ←→ a>1

(1)
２次不等式x2+x−a(a+1)<0を解いてください．

（解答）
(x−a)(x+a+1)<0と変形できる
２次方程式(x−a)(x+a+1)=0の解はx=−a−1, a
ア）　$a<-{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，a<−a−1だから
2次不等式の解は
a<x<−a−1

イ）　$a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，a=−a−1だから
2次不等式は「解なし」

ウ）　$a>-{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，−a−1<aだから
2次不等式の解は
−a−1<x<a

(2)
不等式ax2−(a2+1)x+a<0を解いてください．

（解答）
(ax−1)(x−a)<0と変形できる
右のグラフから分かるように，
ア）a<−1のとき，$a<{\displaystyle \frac{1}{a}}$が成り立つ
上に凸のグラフだから$x<a,\frac{1}{a}<x$･･(答)
イ）a=−1のとき，$a=\frac{1}{a}$が成り立つ
したがって，不等式の解は，$x<-1,-1<x$･･(答)
ウ）−1<a<0のとき，$\frac{1}{a}<a$が成り立つ
したがって，不等式の解は，$x<\frac{1}{a},a<x$･･(答)
エ）a=0のとき，$\frac{1}{a}$は定義されないから，元の式に戻って検討する
0x2−(02+1)x+0<0
より
−x<0
したがって，不等式の解は，x>0･･(答)
オ） 0<a<1のとき，$a<\frac{1}{a}$が成り立つ
下に凸のグラフだから，
不等式の解は，$a<x<\frac{1}{a}$･･(答)
カ） a=1のとき，$a=\frac{1}{a}$が成り立つ
したがって，不等式の解は，解なし･･(答)
キ） 1<aのとき，$\frac{1}{a}<a$が成り立つ
したがって，不等式の解は，$\frac{1}{a}<x<a$･･(答)

(3)
不等式(a−1)x2+(3−a)x−2<0を解いてください．

（解答）
{(a−1)x+2}(x−1)<0と変形できる
右のグラフから分かるように，
ア） a<−1のとき，
$-\frac{2}{a-1}<1$が成り立つ
上に凸だから，右下の図から不等式の解は， $x<-\frac{2}{a-1},1<x$･･(答)
イ） a=−1のとき，
$-\frac{2}{a-1}=1$が成り立つ
右下の図から不等式の解は，$x<-1,-1<x$･･(答)
ウ） −1<a<1のとき，
$1<-\frac{2}{a-1}$が成り立つ
上に凸だから，右下の図から不等式の解は，$x<1,-\frac{2}{a-1}<x$･･(答)
エ） a=1のとき，
$-\frac{2}{a-1}$は定義されないから，元の式に戻って検討する
0x2+2x−2<0より不等式の解は，x<1･･(答)
オ） 1<aのとき，
$-\frac{2}{a-1}<1$が成り立つ
下に凸だから，右下の図から不等式の解は，$-\frac{2}{a-1}<x<1$･･(答)

【例４】
２次不等式x2−(a+1)x+(7−a)>0の解がすべての実数となるように，定数aの値の範囲を定めてください．

２次関数の頂点を求める計算で行くと
（かなり長い計算の結果）
$y=(x-{\displaystyle \frac{a+1}{2}}{)}^2$
$-{\displaystyle \frac{a^2+6a-27}{4}}$
となって，頂点のy座標が正になるという条件は
$-{\displaystyle \frac{a^2+6a-27}{4}}>0$
すなわち
a2+6a−27<0
となりますが，かなり冗長な答案になります．

(1)
２次不等式x2−kx+k(k−1)≧0がすべての実数xについて成り立つように定数kの値の範囲を定めてください．

（解答）
２次方程式
x2−kx+k(k−1)=0
の判別式を調べる．
D=k2−4k(k−1)
=−3k2+4k≦0
3k2−4k≧0
k(3k−4)≧0
より
$k\leqq 0,{\displaystyle \frac{4}{3}}\leqq k$…（答）

(2)
不等式ax2−2(a+1)x+(a+3)>0がすべての実数xについて成り立つように定数aの値の範囲を定めてください．

（解答）
ア）　a≠0のとき
(2)よりa2+2a+1−a2−3a<0 −a+1<0
a>1
(1)(2)を満たすのはa>1
イ）　a=0のとき
元の不等式は，次の１次不等式になる
−2x+3>0
この形の不等式は十分大きなxの値（例えばx=2）に対して成り立たないから，すべての実数xについて成り立つようにはできない．
ア）イ）よりa>1…（答）

(3)
不等式(k−1)x2−kx+2k≧0がすべての実数xについて成り立つように定数kの値の範囲を定めてください．

（解答）
ア）　k≠1のとき
(2)よりk2−8k2+8k≦0
7k2−8k≧0
k(7k−8)≧0
$k\leqq 0,{\displaystyle \frac{8}{7}}\leqq k$
(1)(2)を満たすのは${\displaystyle \frac{8}{7}}\leqq k$
イ）　k=1のとき
元の不等式は，次の１次不等式になる
−x+2≧0
この形の不等式は十分大きなxの値（例えばx=3）に対して成り立たないから，すべての実数xについて成り立つようにはできない．
ア）イ）より$k\geqq {\displaystyle \frac{8}{7}}$…（答）

【問題３】の(2)ですが、x^2の係数がaであることから、a<0の場合、上に凸のグラフになると思います。 そのため、例えばa=-1のとき、解なしとされていますが、不等式のaに-1を代入するとx<-1, -1<xになるなど、下記3つの解答が違っていませんか？ a<-1 a=-1 -1<a<0 また、上記の認識が正しい場合、【問題３】の(3)の下記3つの解答も違っているということになると思います。 a<-1 a=-1 -1<a<1
＝＞［作者］：連絡ありがとう．aが負の場合について，訂正します．

スマホ版の数1-二次不等式-文字係数の問題4 (1)ですが問題文に出てくる 二次不等式(x2-(k+1)x+k(k+1)≧0)と解答で使用してる二次方程式(x2－kx+k(k－1)=0)が違うので答えが間違ってると思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．２，３日前に作成した問題で，点検ミスがありましたので訂正しました．
※謝罪が先だろう！という正論がありそうかなとも考えつつ，点検担当者がいないため，結局読者が点検をやってくれている場合が多いなと，持ちつ持たれつの関係で成り立っているのかなと感心しています．