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※高校数学Ⅰの「2次不等式」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので前後関係がよく分からないという場合は,他の頁を先に見てください.  が現在地です.

2次不等式(D>0の場合)
同(D=0の場合)
同(D<0の場合)
2次不等式(まとめ)
絶対値付き
文字係数
同(いろいろな問題)
たすき掛け+連立不等式

== 2次不等式 ==
・・・2次関数のグラフがx軸と1点で接する場合
《要約》
y=ax2+bx+cx軸とx=αで接するとき,グラフを見れば各々の2次不等式の解は次のようになることが分かります.
<問題の形>         <答の形>
ア) ax2+bx+c<0 (a>0)  → 解なし
0以上のものしかないときに、負のものを探してもない
♪~ 「ないものねだり」の子守唄
イ) ax2+bx+c>0 (a>0) → x<α, α<x
(省略的に「x≠α」と書くこともある)
ウ) ax2+bx+c≦0 (a>0) → x=α
ax2+bx+c≦0とは,「負でもよい」「0でもよい」ということ
グラフを見ると, 「負のところ」→ない,「0のところ」→1つだけある: x=αだけが解)
エ) ax2+bx+c≧0 (a>0) → xはすべての数
0以上のものばかりのときに、0以上のものを探せば
♪~ 「全員合格」

(参考)
ax2+bx+cは2次式
2次式には「解」などというものはない.2次式は,展開や因数分解などの式の変形ができるだけである.
ax2+bx+c=0は2次方程式
2次方程式の解は,因数分解や解の公式を使って求めることができる.2次方程式の解はxの「値」になる.
※見た目で言えば,2次式に=0を付けたら2次方程式になる.
ax2+bx+c≧0ax2+bx+c<0などは2次不等式
2次不等式の解は,一般にはxの「値の範囲」になる.
※見た目で言えば,2次式に
<0, ≦0, >0, ≧0を付けたら2次不等式になる.
y=ax2+bx+cは2次関数
2次関数には「グラフ」が対応する.
※見た目で言えば,2次式にy=を付けたら2次関数になる.
■2次不等式の解き方の流れ
(1) 初めに「2次不等式」の問題が与えられたとき
【例】x2−4x+3<0

(2) 2次不等式を解くためには「2次関数」のグラフを描かなければならない.
【例】y=x2−4x+3

(3) 2次関数のグラフとx軸との交点を求めるには,2次方程式」を解かなければならない.
【例】x2−4x+3=0
実際に問題を解くときは,上記の考察を「逆順」にたどればよい.

初めに問題を見たら
(3)2次方程式を作る
x2−4x+3=0

2次方程式の解を求める
x=1, 3

(2) 2次関数
y=x2−4x+3
のグラフを描く(右図)

(1) 2次不等式の解を求める
1<x<3…(答)
※2次不等式を見せられたら,誰も聞いていないのに
「2次方程式は~♪」
「2次方程式の解は~♪」
「2次関数のグラフは~♪」
と一人演説をしなければならない.
この一人演説の長さに耐えられなければ,問題は解けない.

※次の違いにも注意してください
⇒ 2次方程式の解は2次不等式の解とは違う.
(ここでは2次不等式が目的で,2次方程式は手段)

【例題1】
 2次不等式x2−4x+3<0の解を求めてください.
(解答)
2次方程式
x2−4x+3=0
の解は
x=1, 3
2次関数
y=x2−4x+3
のグラフは右図のようになる.
グラフからy<0になるxの値の範囲は
1<x<3…(答)

※要約のところで,ア)イ)ウ)エ)に付いていたa>0は何の役にたっているのか.

たとえば,a<0の場合とは−x2+4x−3>0のようにx2の係数が負の数になっているとき,そのまま
y=−x2+4x−3
のグラフを使って解くと,グラフの凹凸が逆になって混乱する場合があるので,基本を固める段階では
−x2+4x−3>0
のような形の問題は,両辺に-1を掛けるとか,左辺の式を右辺に移項するなどして
x2−4x+3<0
に直してから解くということです.
【例題2】
 2次不等式x2−8x+16>0の解を求めてください.
(解答)
2次方程式
x2−8x+16=0
(x−4)2=0
の解は
x=4(重解)
だから,2次関数
y=x2−8x+16
のグラフは右図のようになる.
グラフからy>0になるxの値の範囲は
x<4, 4<x…(答)
(注:x≠4と書いてもよい)


【問題】
グラフを参考にして,2次不等式の解を選びなさい.
(右から正しい選択肢をクリック)

(1)
2次不等式
 x2−6x+9>0の解は





(2)
2次不等式
 x2+4x+4<0の解は





(3)
2次不等式
 x2-2x+1≦0の解は





(4)
2次不等式
 2x2+4x+2≧0の解は






(5)
2次不等式
 4x2-4x+1<0の解は





(6)
2次不等式
 9x2+12x+4>0の解は





(7)
2次不等式
 2x2+12x+18≧0の解は





(8)
2次不等式
 5x2+10x+5≦0の解は






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