剰余の定理

【剰余の定理 I】
　整式P(x)を１次式x−aで割ったときの余りはP(a)に等しい

○剰余の定理を使えば割り算をしなくても「余り」が求められます．ただし，剰余の定理を使っても「商」は求められません．

※この定理では，「x−aで割ったときの余りはP(a)に等しい」という形になっているので，「x+aで割ったときの余りはP(−a)に等しい」というように，見かけの符号を逆に読まなければならないことに注意

【例】

(1)　整式x2+1をx−1で割ったときの余りを求めてください．

（解答）
12+1=2

(2)　整式x2−3x+4をx+1で割ったときの余りを求めてください．

（解答）
(−1)2−3×(−1)+4=8

(3)　整式x3+1をx−2で割ったときの余りを求めてください．

（解答）
23+1=9

【剰余の定理 II】
　整式P(x)を１次式ax+b（ただしa≠0）で割ったときの余りは $P(-\frac{b}{a})$ に等しい

○剰余の定理Ⅰではxの係数が1である場合にだけ余りが求められましたが，剰余の定理Ⅱを使えばxの係数が1に限られず一般の１次式ax+bで割ったときの余りも求めることができます．

※この定理では，「ax+bで割ったときの余りは $P(-\frac{b}{a})$ に等しい」という形になっているので，見かけの符号を剰余の定理Ⅰとは逆に読まなければならないことに注意

【例】

(1)　整式x2+1を2x+1で割ったときの余りを求めてください．

（解答）
$(-\frac{1}{2})^2+ 1=\frac{5}{4}$

(2)　整式x2+1を3x−2で割ったときの余りを求めてください．

（解答）
$(\frac{2}{3})^2+ 1=\frac{13}{9}$

※（より深く理解するために）
　剰余の定理Ⅰを，ごく自然に使えば「x−aで割ったときの余りはP(a)」という場合にaは整数に見えますが，実際には分数でも（無理数でも，虚数でも）かまいません．
　そうすると，たとえば $P(\frac{1}{2})$ というような値は，剰余の定理Ⅰで解釈すれば， $x-\frac{1}{2}$ で割ったときの余りを表しているように見えます．
　また，剰余の定理Ⅱで解釈すれば2x−1で割ったときの余りを表しているように見えます．
　これは矛盾ではなく，どちらで解釈してもかまいません．実は $x-\frac{1}{2}$ で割ったときの余りと2x−1で割ったときの余りは等しく，商が異なるだけです．

　次のように対応しています．
上記の【例】(1)では
$x^2+ 1=(2x+ 1)(\frac{1}{2}x-\frac{1}{4})+ \frac{5}{4}$
$x^2+ 1=(x+ \frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})+ \frac{5}{4}$
上記の【例】(2)では
$x^2+ 1=(3x-2)(\frac{1}{3}x + \frac{2}{9})+ \frac{13}{9}$
$x^2+ 1=(x-\frac{2}{3})(x + \frac{2}{3})+ \frac{13}{9}$

【要約】
○剰余の定理Ⅰ，Ⅱのどちらで考えてもよい．（定理Ⅱはa=1の場合でも使える）
○慣れるまでは，「見かけのままに」定理Ⅰはxの係数が1である場合に使い，定理Ⅱxの係数が1でない場合に使うと決めるとよい．

(1)　P(x)=x2+2x−4をx−1で割った余りを求めてください．
−6 −5 −1 3 5 7 9 10

(2)　P(x)=x3+2をx+2で割った余りを求めてください．
−6 −5 −1 3 5 7 9 10

(3)　P(x)=x3−x−1をx−2で割った余りを求めてください．
−6 −5 −1 3 5 7 9 10

(4)　P(x)=2x2−3x+4をx+1で割った余りを求めてください．
−6 −5 −1 3 5 7 9 10

(3)　P(x)=2x2−x+3を $x-\frac{1}{2}$ で割った余りを求めてください．
$-\frac{35}{9}$ $-\frac{11}{9}$ $-\frac{13}{4}$ $-\frac{7}{4}$ 0 1 3 4

(5)　P(x)=x2+2x−3を $x + \frac{2}{3}$ で割った余りを求めてください．
$-\frac{35}{9}$ $-\frac{11}{9}$ $-\frac{13}{4}$ $-\frac{7}{4}$ 0 1 3 4