== 2点間の距離 ==
《解説》  次の図の2点A(a,b),B(c,d)間の距離ABを求めるには,直角三角形を作り,ピタゴラスの定理(三平方の定理)を用いて斜辺を求めます.
 なお,この公式は,a=cのときやb=dのときでも成り立ちます.

(たて)=d−b
(よこ)=c−a
だから



《2点間の距離の公式》

2点A(a,b),B(c,d)間の距離は

特に,原点O(0,0)と点A(a,b)の間の距離は

(たて)=b
(よこ)=a
だから

O(0,0),A(a,b)間の距離は

《要約》2点間の距離の公式
2点A(a,b),B(c,d)間の距離は

※なお,この公式は,「a=cのとき,すなわちABが縦に並んで三角形にならないとき」
や「b=dのとき,すなわちABが横に並んで三角形にならないとき」でも成り立ちます.

特に,原点O(0,0)と点A(a,b)の間の距離は

例 2点A(2,1),B(5,7)間の距離は

例 2点O(0,0),A(3,4)間の距離は


《問題》  
 次の2点AB間の距離に等しい値を右の欄から選びなさい.

(1)
A(0,0),B(3,4)
(2)
A(−2,−1),B(1,2)
(3)
A(7,−3),B(−1,1)
(4)
A(−3,2),B(−3,4)
(5)
A(3,−2),B(7,−2)

■追加問題■
=2点から等距離にある点=
【問1-1】
 2点A(1, 4), B(3, 2)から等距離にあるx軸上の点の座標を求めてください.
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【問1-2】
 2点A(2, 4), B(4, 3)から等距離にあるy軸上の点の座標を求めてください.
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【問1-3】
 y=1の直線上にあって2点A(2, −3), B(3, 4)から等距離にある点の座標を求めてください.
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【問1-4】
 y=2xの直線上にあって2点A(2, −1), B(3, 1)から等距離にある点の座標を求めてください.
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=3点から等距離にある点=
【問2-1】
 3点A(0, 5), B(−2, −1), C(2, 1)から等距離にある点の座標を求めてください.
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【問2-2】
 3点A(7, −5), B(6, 2), C(−1, 1)から等距離にある点の座標を求めてください.
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=正三角形の頂点=
【問3-1】
 2点A(1, 1), B(−1, −1)を結ぶ線分ABが正三角形の1辺となるように,残りの頂点Cの座標を定めてください.
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=直角二等辺三角形の頂点=
【問3-2】
 2点A(−1, 2), B(4, 1)を結ぶ線分ABが直角二等辺三角形の斜辺となるように,残りの頂点Cの座標を定めてください.
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• 座標系を使って図形の性質を調べる方法は,解析幾何(座標幾何)と呼ばれ,ルネ・デカルト(フランスの数学者,1596〜1650)によって考案された.
• 辺の長さや形などは,「平行移動」「回転移動」によって変化しないので,計算しやすい場所に移動してもよい.
• ある座標系の導入方法が「一般性を失わない」かどうかは,高度な知的判断であるが,教科書の例を見ながら,真似できるものは真似するとよい.
=座標を用いた証明=・・・教科書レベル
【問4-1】
 △ABCの辺BCの中点をMとするとき,
AB2+AC2=2(AM2+BM2)
が成り立つことを証明してください.
(これを中線定理という)
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【問4-1】解説続き
@
3点A, B, Cを全く自由に決めると,自由に決められる変数は6個(a,b,c,d,e,f)になる.

A
図形全体を平行移動しても,図形の2点間の距離は変化しないから,例えば点Bを原点に重ねると,変数を4個(a,b,e,f)にできる.

B
さらに,図形全体を回転移動しても,図形の2点間の距離は変化しないから,例えば点Cx軸に重ねると,変数を3個(a,b,c)にできる.

C上記のようにすると,BCの中点Mx座標が分数になる
 これに対して,Mを原点に重ねて,B, Cを左右対称にすると分数計算を避けることができ,計算が楽になり,計算間違いも避けられる.
【問4-1】解説ここまで↑
【問4-2】
 平面上に長方形ABCDがある.点Pがこの平面上のどの位置にあっても
PA2+PC2=PB2+PD2
が成り立つことを証明してください.
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【問4-3】
  △ABCの辺BC1:2に内分する点をDとするとき,
2AB2+AC2=3(AD2+2BD2)
が成り立つことを証明してください.
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【問4-4】
  △ABCの辺BC1:n(だだし,nは正の整数)に内分する点をDとするとき,
nAB2+AC2=(n+1)(AD2+nBD2)
が成り立つことを証明してください.
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【問5-1】
 1辺の長さがaの正三角形ABCと同じ平面上の任意の点をPとするとき,AP2+BP2+CP2≧a2が成り立つことを証明してください.
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【問5-2】
 三角形ABCの重心をGとするとき
AB2+BC2+CA2=3(AG2+BG2+CG2)
が成り立つことを証明してください.
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