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== 背理法の入試問題 ==

イラストによる背理法の説明(1)

 で世界の全部です. これ以外にはありません
条件に対応する集合をで表すとき,(全体集合)になります.
 このとき,を証明したいが,からを直接証明するのが困難なとき,
行きたくない方の道に進んでみて,そちらに進めば世界が破滅してしまう(矛盾がある)ことを言う.この論法が背理法です.
(おとぎばなしによる解説)
地獄に行って,地獄を壊してしまうと天国だけが残ります・・・地獄に行かないと天国には行けません.
#〜地獄を見たものにしか,天国なんて分かるはずはないのだ,クソ−負けてたまるか〜#
と自分に言い聞かせると覚えやすい
(実際の手順)
を仮定して矛盾を示す.(も仮定することを忘れないように)

かつ
という形でが矛盾するという構造でもよい.
→(数学的常識に反すること:1+1=1など)

かつ
という構造でもよい.

イラストによる背理法の説明(2)
とは
P:卵の黄身が
Q:卵の白身の
中にあることだと思えばよい
 論理的な関係pならばq)は,集合ではに対応します.
 言い換えれば,集合の関係としてとなっていることを示せば,の証明になります.
 この証明は,集合P, Qの関係が一般のゆるい関係,すなわちP独自の部分,Q独自の部分,P, Qの共通部分から成り立っているのではなく,
が空集合になることを言えばよい.(右図の×印の部分が空集合になることを言う).
 そうすると「P:卵の黄身」は「Q:卵の白身」の中にある部分だけから成り立っていることになり,が言える.
 が空集合になること(左図の×の部分には何もないこと)を示すには
Pであって」かつ「である」ものが存在すると仮定すると,矛盾を生じることを示せばよい.
すなわち
 何かある要素xが,かつを満たすとすると具合の悪いことが起こることを示せばよい.

【要約】<背理法とは>
を仮定して矛盾を示し,これによりを証明する方法
も仮定することが重要.この点が対偶証明法と異なり,結論としてが導ける場合に限られず,他の内容でも数学的に矛盾することが示せたら何でもよいので,自由度が大きい.

【例題1】
 は無理数であることを示せ.
(解答)
が有理数であると仮定して矛盾を示す.
m, nは整数で互いに素)…(1)
と仮定すると

…(2)
(2)において,左辺は2の倍数
もしも,nが奇数なら,n2は奇数となって,等式が成り立たないから,nは偶数でなければならない
n=2kkは整数)…(3)
とおくと,(2)より
2m2=4k2
m2=2k2…(4)
(4)において,右辺は2の倍数
もしも,mが奇数なら,m2は奇数となって,等式が成り立たないから,mは偶数でなければならない
m=2llは整数)…(5)
とおくと,(3)と(5)はm, nは整数で互いに素という仮定に反するから矛盾.
よって,が有理数であるという仮定は間違いであることが示されたから,は無理数…(証明終)
 この証明の流れは,以下の問題において基本となるものなので,記憶に留めておくとよい.
 特に,(1)において一見些末(さまつ)な話に聞こえる「互いに素」という「勝手な,ついでの話のような仮定」が設定してあって,それと矛盾することが証明の鍵となっているのだから,高校生が読んだら初めは違和感を持つかもしれません.
 ただし,整数÷整数の分数で書けるものは,約分できるだけ約分して既約分数にしておけるはずだから,無理な仮定ではない.
※初めはしっくりしないかもしれませんが,「次に出てきたら,真似してやろう」と息を潜めて構えているとよい.

【問題1.1】
 は無理数であることを証明せよ.
(2012年京都大学入試問題)
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【問題1.2】
素数に対して,は無理数であることを示せ.
(富山大医学部2016年入試問題)
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【問題1.3】
が素数であるとき

は整数でないことを示せ.
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【問題1.4】
が素数であるとき

は無理数であることを示せ.
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【例題2】
が無理数であることを用いて,次のことを証明せよ.
を有理数とするとき,ならば,になる.
(解答)
のときにまたはであれば矛盾が生じることを示す.
のとき
 ならば
となるが,有理数の商は有理数であるから,有理数である右辺が無理数である左辺と等しいことになり,矛盾
よって,が成り立つ
を代入するとになる
以上により,が成り立つ

【問題2.1】
以下の問いに答えよ.ただし,が無理数であることは使ってよい.
(1) 有理数について,ならば,であることを示せ.
(1999年京都大学.前期入試問題)
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【問題2.2】
正の整数について
(1) が既約分数ならば,も既約分数であることを示せ.
(2) が既約分数であるならば,も既約分数であることを示せ.
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【問題2.3】
が正の整数であるとき,は無理数になることを示せ.
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【問題2.4】
を1以上の整数とするとき,次の2つの命題はそれぞれ正しいか.正しいときは証明し,正しくないときはその理由を述べよ.
命題
あるに対して,は共に有理数である.

命題
すべてのに対して,は無理数である.

(2007年京都大学入試問題)
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【問題2.5】
 nを1以上の整数とするとき,次の問いに答えよ.
(1) が有理数ならば,は整数であることを示せ.
(2) が共に有理数であるようなnは存在しないことを示せ.
(3) は無理数であることを示せ.
(2016年富山大学理学部)
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【例題3】
 a, b, cを自然数とする.
(3) abc, ab+bc+ca, a+b+cがすべて偶数ならば,a, b, cはすべて偶数であることを示せ.
(2016年埼玉大理・工学部[一部引用])
(解答)
(3)
x3−(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x−abc=(x−a)(x−b)(x−c)であるから
x3−(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x−abc=0の解は,x=a, b, c
そこで,abc, ab+bc+ca, a+b+cがすべて偶数ならば,
x3=(a+b+c)x2−(ab+bc+ca)x+abcの右辺は偶数になる.
xが奇数ならばx3も奇数になるから,この式は成り立たない.
よって,xは偶数.したがって,a, b, cはすべて偶数である.
(別解)
 a, b, cのうち1つだけが奇数と仮定する.(問題文はa, b, cの対称式だからaが奇数としても一般性を失わない.以下においても同様)
 このとき,a+b+cは奇数+偶数+偶数=奇数となって,仮定に反するから,1つだけが奇数ということはない.
 次に,a, b, cのうち2つだけが奇数と仮定する.問題文はa, b, cの対称式だからa, bが奇数としても一般性を失わない.
 このとき,ab+bc+ca=ab+(a+b)cは奇数+偶数=奇数となって,仮定に反するから,2つだけが奇数ということはない.
 最後に,a, b, cの全部が奇数と仮定する.
 このとき,abcは奇数となって,仮定に反するから,3つが奇数ということはない.
 以上により,a, b, cはすべて偶数である.

【問題3.1】
 a, b, cを自然数とする.
(2) abc, ab+bc+ca, a+b+cがすべて3の倍数ならば,a, b, cはすべて3の倍数であることを示せ.
(2016年津田塾大.学芸学部[一部引用])
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