内分点・外分点の座標（１次元）

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== 内分点・外分点の座標（１次元） ==

Ⅰ．内分点の座標
　数直線上の２点A(a), B(b)を結ぶ線分ABをm:nに内分する点をP(p)とすると，座標pの値は
$p=\frac{na+ mb}{m+ n}$
に等しい．

## 危険な落とし穴 ##
•分子で
aに掛けてあるのは，「図で遠い方の比率n」
bに掛けてあるのは，「図で遠い方の比率m」
であることに注意
⇒ 「いじ悪公式」「へそ曲げ公式」だと覚えておくとよい

（証明）
図①において

ア） a<bのとき

AP=p−a, PB=b−pだから
AP:PB=m:nより
(p−a):(b−p)=m:n
(内項の積)=(外項の積)によって，比例の式を通常の等式に直すと
n(p−a)=m(b−p)
np−na=mb−mp
(m+n)p=na+mb
$p=\frac{na+ mb}{m+ n}$

イ） a>bのとき，途中経過で式の符号が変わるが，最後の式は同じになる
(a−p):(p−b)=m:n
･･･
$p=\frac{na+ mb}{m+ n}$

　次の各問に対して，正しい選択肢をクリック（タップ）してください．（自分の答案を選択すれば，途中経過と解答が出ます）

【問題1】
　　数直線上の２点A(2), B(9)を結ぶ線分ABを3:4に内分する点をP(p)とするとき，座標pの値を求めてください．
3 4 5 6 7

解説を見る

$p=\frac{na+ mb}{m+ n}$
にa=2,b=9, m=3, n=4を代入すると
$p=\frac{4\times 2+ 3\times 9}{3+ 4}=\frac{35}{7}=5$ ･･･（答）
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【問題2】
　　数直線上の２点A(6), B(−2)を結ぶ線分ABを5:3に内分する点をP(p)とするとき，座標pの値を求めてください．
0 1 2 3 4

解説を見る

$p=\frac{na+ mb}{m+ n}$
にa=6,b=−2, m=5, n=3を代入すると
$p=\frac{3\times 6+ 5\times(-2)}{5+ 3}=\frac{8}{8}=1$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題3】
　　数直線上の２点A(−3), B(5)を結ぶ線分ABを3:2に内分する点をP(p)とするとき，座標pの値を求めてください．
$-\frac{1}{5}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{4}{5}$ $\frac{7}{5}$ $\frac{9}{5}$

解説を見る

$p=\frac{na+ mb}{m+ n}$
にa=−3,b=5, m=3, n=2を代入すると
$p=\frac{2\times(-3)+ 3\times 5)}{3+ 2}=\frac{9}{5}$ ･･･（答）
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【問題4】
　　数直線上の２点A(−3), B(−7)を結ぶ線分ABを2:1に内分する点をP(p)とするとき，座標pの値を求めてください．
$-\frac{17}{3}$ $-\frac{13}{3}$ $-\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{7}{3}$

解説を見る

$p=\frac{na+ mb}{m+ n}$
にa=−3,b=−7, m=2, n=1を代入すると
$p=\frac{1\times(-3)+ 2\times(-7)}{2+ 1}=\frac{17}{3}$ ･･･（答）
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Ⅱ．外分点の座標
　数直線上の２点A(a), B(b)を結ぶ線分ABをm:nに外分する点をQ(q)とすると，座標qの値は
$q=\frac{-na+ mb}{m-n}$
に等しい．

## 危険な落とし穴 ##
•内分公式を書き換えて，m, nのうち１つだけを負の数にすると，外分公式になるが，２つとも負の数に書き換えてしまうと，元の内分公式に戻ってしまうので，要注意
$\frac{na+ mb}{m+ n}$ ･･･　◎ 内分公式
$\frac{-na+ mb}{m-n}$ ･･･◎ 外分公式

$\frac{na-mb}{-m+ n}$ ･･･〇外分公式はこれでもよい
$\frac{-na-mb}{-m-n}$ ･･･（外分にならない，やめよう）

（証明）
図②において

ア） a<b, m<nのとき

AQ=a−q, QB=b−qだから
AQ:QB=m:nより
(a−q):(b−q)=m:n
(内項の積)=(外項の積)によって，比例の式を通常の等式に直すと
n(a−q)=m(b−q)
na−nq=mb−mq
(m−n)q=−na+mb
$q=\frac{-na+ mb}{m-n}$
文母と分子にそれぞれ−1を掛けても，分数の値は変わらないから，外分公式は次の形で書いてもよい．
$q=\frac{na-mb}{-m+ n}$
（分数計算が超苦手の生徒向けに，「mとnの小さい方をマイナスにする」という教え方の先生もいた．こうすると分母が正になって，符号の間違いが減るらしい．）

イ） a<b, m>nのとき，途中経過で式の符号が変わるが，最後の式は同じになる
(q−a):(q−b)=m:n
･･･
$q=\frac{-na+ mb}{m-n}$

ウ）a>b, m<nのとき，エ）a>b, m>nのときも同様にして，途中経過は変わるが最終結果は一致する．

　次の各問に対して，正しい選択肢をクリック（タップ）してください．（自分の答案を選択すれば，途中経過と解答が出ます）

【問題5】
　　数直線上の２点A(3), B(7)を結ぶ線分ABを1:5に外分する点をQ(q)とするとき，座標qの値を求めてください．
−8 −2 2 $\frac{23}{6}$ $\frac{19}{3}$

解説を見る

$q=\frac{-na+ mb}{m-n}$
にa=3,b=7, m=1, n=5を代入すると
$q=\frac{-5\times 3+ 1\times 7}{1-5}=\frac{-8}{-4}=2$ ･･･（答）
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【問題6】
　　数直線上の２点A(4), B(1)を結ぶ線分ABを5:2に外分する点をQ(q)とするとき，座標qの値を求めてください．
−6 −1 0 1 6

解説を見る

$q=\frac{-na+ mb}{m-n}$
にa=4,b=1, m=5, n=2を代入すると
$q=\frac{-2\times 4+ 5\times 1}{5-2}=\frac{-3}{3}=-1$ ･･･（答）
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【問題7】
　　数直線上の２点A(−2), B(3)を結ぶ線分ABを1:5に外分する点をQ(q)とするとき，座標qの値を求めてください．
$-\frac{17}{4}$ $-\frac{13}{4}$ $\frac{13}{6}$ $\frac{13}{4}$ $\frac{17}{4}$

解説を見る

$q=\frac{-na+ mb}{m-n}$
にa=−2,b=3, m=1, n=5を代入すると
$q=\frac{-5\times(-2)+ 1\times 3}{1-5}=\frac{13}{-4}=-\frac{13}{4}$ ･･･（答）
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【問題8】
　　数直線上の２点A(−1), B(−5)を結ぶ線分ABを5:3に外分する点をQ(q)とするとき，座標qの値を求めてください．
−11 −5 1 5 11

解説を見る

$q=\frac{-na+ mb}{m-n}$
にa=−1,b=−5, m=5, n=3を代入すると
$q=\frac{-3\times(-1)+ 5\times(-5)}{5-3}=\frac{-22}{2}=-11$ ･･･（答）
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