三角関数の合成公式

【三角関数の合成公式】
　a sinθ+b cosθの形の式は一つの三角関数にまとめることができます．これを三角関数の合成公式といいます．

a sinθ+b cosθ=sin(θ+α)

（ただし，αはcosα=, sinα=となる角）

a==cos60°, b==sin60°

sinθ+ cosθ=sinθ cos60°+cosθ sin60°

=sin(θ+60°)

a sinθ+b cosθ

=sinθ+cosθ

= (sinθ +cosθ )

(sinθ +cosθ )

= (sinθcosα+cosθsinα )

= sin(θ+α)

○ a sinθ−b cosθ (a,b>0)を
(sinθ·cosα+cosθ·sinα)
=sin(θ+α)

cosα=

sinα=

の式を使って合成するときは，右図のような第４象限の角αを考えていることになります．

○ a sinθ−b cosθ (a,b>0)を
(sinθ·cosα−cosθ·sinα)
=sin(θ−α)

cosα=

sinα=

の式を使って合成するときは，右図のような第１象限の角αを考えていることになります．

○関数が同じ，角度が違う⇒公式あり
○関数が違う，角度が同じ⇒公式あり
×関数も角度も違う⇒公式なし

sinA±sinB，cosA±cosB
⇒和積の公式

asinθ+bcosθ
⇒合成公式

sinA+cosB
⇒対応する公式はない

asinA±bsinB，acosA±bcosB
⇒対応する公式はない

【例題１】
　次の三角関数を合成してください．
sinθ+cosθ

　理論上は，余弦の加法定理
cosθcosα−sinθsinα=cos(θ+α)
cosθcosα+sinθsinα=cos(θ−α)
を使って，次のように変形することもできますが，一つできれば十分なので，余弦を使った合成の方はあまり見かけません．
sinθ+cosθ
=cosθ+sinθ

=2(cosθ+sinθ)

=2(cosθcos30°+sinθsin30°)
=2cos(θ−30°)

○ −a sinθ+b cosθ (a,b>0)を
(sinθ·cosα+cosθ·sinα)
=sin(θ+α)

cosα=

sinα=

の式を使って合成するときは，右図のような第２象限の角αを考えていることになります．

○ −a sinθ+b cosθ (a,b>0)を
−(sinθ·cosα−cosθ·sinα)
=−sin(θ−α)
振幅を正の値にする必要があるときは
sin(α−θ)

cosα=

sinα=

の式を使って合成するときは，右図のような第１象限の角αを考えていることになります．

【例題２】
　次の三角関数を合成してください．
3sinθ+4cosθ

※このように，角度αを具体的な数値としてでなく，cosα, sinαの値で表す方法も可能です．

【例題３】
　次の三角関数を合成してください．
2sinθ−cosθ

この問題では，sin(θ−β)の式を使って合成しましたが，sin(θ+β)の式を使って合成するときは，

cosβ=, sinβ=−となる角β（第４象限の角）

を用いて，sin(θ+β)と表してもよい．

【問題１】
　次の三角関数を合成してください．
sinθ+cosθ

$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}$
→閉じる←

$\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}$
→閉じる←

すなわちα=?解答

とおくと，sinθ+cosθ=(sinθ·cos45°+cosθ·sin45°)となるから
sin(θ+45°)

$\alpha=45^{\circ}$
→閉じる←

【問題２】
　次の三角関数を合成してください．
3sinθ+2cosθ

$\cos\alpha=\frac{3}{\sqrt{13}}$
→閉じる←

$\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{13}}$
→閉じる←

このとき3sinθ+2cosθ=?解答

$\sqrt{13}\sin(\theta+\alpha)$
→閉じる←

【問題３】
　次の三角関数を合成してください．
3sinθ−4cosθ

$\cos\alpha=\frac{3}{5}$
→閉じる←

$\sin\alpha=\frac{4}{5}$
→閉じる←

このとき3sinθ−4cosθ=?解答

$5\sin(\theta-\alpha)$
→閉じる←

【例題４】
　 0°≦θ<360°のときy=sinθ+cosθの最大値，最小値及びそのときのθの値を求めてください．

−1≦sin(θ+60°)≦1
−2≦2sin(θ+60°)≦2

○ヘッドホン=耳あての図がお薦め

○定義域（θ+α°の取り得る値の範囲）に注意すること
0°≦θ<360°のときα≦θ+α°<360°+α

【問題４】
0°≦θ<360°のときy=sinθ−cosθの最大値，最小値及びそのときのθの値を求めてください．

$0^{\circ}\underline{\le}\theta\lt 360^{\circ}$
の各辺から45°を引くと
$-45^{\circ}\underline{\le}\theta-45^{\circ}\lt 315^{\circ}$
→閉じる←

θ−45°=90°すなわちθ=135°のとき最大値?解答

$y=\sqrt{2}\sin(\theta-45^{\circ})$
は $\theta-45^{\circ}=90^{\circ}$ のとき最大値 $\sqrt{2}$ をとる
→閉じる←

θ−45°=270°すなわちθ=315°のとき最小値?解答

$y=\sqrt{2}\sin(\theta-45^{\circ})$
は $\theta-45^{\circ}=270^{\circ}$ のとき最小値 $-\sqrt{2}$ をとる
→閉じる←

【問題５】
0°≦θ<360°のときy=sinθ+cosθの最大値，最小値及びそのときのθの値を求めてください．

$0^{\circ}\underline{\le}\theta\lt 360^{\circ}$
の各辺の30°を加えると
$30^{\circ}\underline{\le}\theta+ 30^{\circ}\lt 390^{\circ}$
→閉じる←

θ+30°=90°すなわちθ=60°のとき最大値?解答

$y=2\sin(\theta+ 30^{\circ})$
は $\theta+ 30^{\circ}=90^{\circ}$ のとき最大値2をとる
→閉じる←

θ+30°=270°すなわちθ=240°のとき最小値?解答

$y=2\sin(\theta+ 30^{\circ})$
は $\theta+ 30^{\circ}=270^{\circ}$ のとき最小値−2をとる
→閉じる←

【問題６】
0°≦θ<360°のときy=4sinθ−3cosθの最大値，最小値を求めてください．

θ−α=270°すなわちθ=270°+αのとき最小値?
解答
（このような問題では角αが0°<α<90°に存在することが言えればよく，その詳細な数値まで必要とはされない．）

はじめの方の解説や問題はすごく良かったのですが、問題の解説がなくて、分からなかった時に困ってしまいました…。自力で、サイトの最初の方から読み直して解決したのですが、問題の解説はやはりあった方が良いと思われます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「最初の方から読み直して解決」するように意図したものです．読み直したときにあいまいな知識がはっきりしてくるので，それが身に付く読み方です．･･･一般に直線的に読み進むのでなく，行ったり来たりしながら読む方が身に付くと言えます．

わかりやすかったです！最後にテスト形式でチェックできるのは助かります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

角度はラジアン(π)を使って表して欲しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．角度の単位をラジアンにしなければならないのは，三角関数の微積分を行うときです．それ以外では両方とも使います．