■三角関数の加法定理 ○ 三角関数の加法定理を利用するとsin15°のような通常覚えない角の三角関数を計算によって求めることができます. 右の公式で言えば,sin(α−β)=sinα·cosβ−cosα·sinβ …(2)において,αとβの三角関数sinα, cosβ, cosα, sinβの値が分かればsin(α−β)の値が求められます.
【例1】
sin15°の値を求めてください.
この問題では,コンピュータや数表を使った近似値ではなく,根号を使った厳密な値を要求しています.
(解答)高校では,0°, 30°, 45°, 60°, 90°, ...の三角関数は覚えなければなりませんが,それ以外の角の三角関数は,通常覚えません. ここでは,sin15°=sin(45°−30°)のように変形することにより,三角関数の加法定理を使って既知の三角関数で表せるものを扱います. sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30° =−= (別解) sin15°=sin(60°−45°)=sin60°cos45°−cos60°sin45° =−= |
三角関数の加法定理
sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ …(1) sin(α−β)=sinα·cosβ−cosα·sinβ …(2) cos(α+β)=cosα·cosβ−sinα·sinβ …(3) cos(α−β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ …(4) tan(α+β)= …(5) tan(α−β)= …(6) ※ (3)(4)の符号に注意 ○次の三角関数の値は,宙で言えなければなりません.
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※選択肢をクリックしてください.正しければ○が表示されてその式が代入されます.小問に分かれているときは,次の問題が表示されます.
間違っていれば×が表示されます. ※各々4択の問題で,間違ってやり直しても数秒で正解に行き着きますので,特にHELPやヒントは付けていません.
【問1】
cos15°=cos(60°−45°)cos15°の値を求めてください. ( に入る式を右の選択肢から選んでください.) |
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=(1) |
sin60°cos45°+cos60°sin45° sin60°cos45°−cos60°sin45° cos60°cos45°+sin60°sin45° cos60°cos45°−sin60°sin45° |
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=(2) = |
+ − + − |
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【問2】
sin75°の値を求めてください. |
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sin75°=sin(30°+45°) =(1) |
sin30°cos45°+cos30°sin45° sin30°cos45°−cos30°sin45° cos30°cos45°+sin30°sin45° cos30°cos45°−sin30°sin45° |
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=(2) = |
+ − + − |
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【問3】
cos75°の値を求めてください. |
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cos75°=cos(30°+45°) =(1) |
sin30°cos45°+cos30°sin45° sin30°cos45°−cos30°sin45° cos30°cos45°+sin30°sin45° cos30°cos45°−sin30°sin45° |
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=(2) = |
+ − + − |
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【問4】
sin105°の値を求めてください. |
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sin105°=sin(60°+45°) =(1) |
sin60°cos45°+cos60°sin45° sin60°cos45°−cos60°sin45° cos60°cos45°+sin60°sin45° cos60°cos45°−sin60°sin45° |
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=(2) = |
+ − + − |
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【問5】
cosπの値を求めてください. |
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cosπ=cos( +) =(1) |
sincos+cossin sincos−cossin coscos+sinsin coscos−sinsin |
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=(2) = |
+ − + − |
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【問6】
sinπの値を求めてください. |
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sinπ=sin( π+) =(1) |
sinπ · cos+cosπ · sin sinπ · cos−cosπ · sin cosπ · cos+sinπ · sin cosπ · cos−sinπ · sin |
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=(2) = |
+ − + − |
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【例2】
(解答)90°<α<180°, 0°<β<90°, sinα=, cosβ=のとき,sin(α+β)の値を求めてください. sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ…(1) ここで,仮定により sinα=, cosβ= …(2) また, cos2α=1−sin2α=1−= cosα=± 90°<α<180°によりcosα=− …(3) sin2β=1−cos2β=1−= sinβ=± 0°<β<90°によりsinβ= …(4) (2)(3)(4)を(1)に代入すると sin(α+β)=+(−)= |
sinθ, cosθ, tanθのうちの1つの値が分かっているとき,残りの値を求めることができます. ○sinθからcosθを求める:
sin2θ+cos2θ=1により
○cosθからsinθを求める:cos2θ=1−sin2θ cosθ=± ±のうちで符号は,θが第何象限の角であるかによって判断します.
sin2θ+cos2θ=1により
sin2θ=1−cos2θ sinθ=± ±のうちで符号は,θが第何象限の角であるかによって判断します. |
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【問7】
0<α<, <β<π, cosα=, sinβ=のとき, sin(α−β)の値を求めてください. |
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sinα, cosβの値はそれぞれ(1) となるから |
sinα=, cosβ= sinα=, cosβ=− sinα=−, cosβ= sinα=−, cosβ=− |
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sin(α−β)=(2) =(−)−=− |
sinα · cosβ+cosα · sinβ sinα · cosβ−cosα · sinβ cosα · cosβ+sinα · sinβ cosα · cosβ−sinα · sinβ |
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【問8】
αは第2象限の角,βは第3象限の角,sinα=, sinβ=−のとき,cos(α−β)の値を求めてください. |
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cosα, cosβの値はそれぞれ(1) となるから |
cosα=, cosβ= cosα=, cosβ=− cosα=−, cosβ= cosα=−, cosβ=− |
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cos(α−β)=(2) =(−)(−)+(−)= |
sinα · cosβ+cosα · sinβ sinα · cosβ−cosα · sinβ cosα · cosβ+sinα · sinβ cosα · cosβ−sinα · sinβ |
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の加法定理について/17.4.19]
タンジェントの練習がない
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の加法定理について/16.10.13]
=>[作者]:連絡ありがとう.その頁は sinθ,cosθ関連の基本練習までを扱っています.tanθはその次の頁に(少し)あります. 本文の15行目にあるsin15°=sin(45°-30°)ですが、
45°ではなく40°になっています
修正お願いします
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました. |