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== 三角関数の公式(プラス) ==
【このページの目標】
 三角関数の加法定理,2倍角公式,半角公式,積和の公式,和積の公式などの教科書レベルの基本公式は,前のページにあります.
 このページでは,その基本公式を使って,あと一歩応用的な式を作る練習をします.
 このページの内容を覚える必要はありませんが,「そういう式もありだな」という事実を押さえておくことと,「必要になったらいつでも作れる」という能力を身に着けてもらうことがこのページの目標です.
※以下,一般の角度について成り立つ関係式はで表し,特に△ABCの内角の場合,すなわちの場合に成り立つ関係式はで表すことにします.

加法定理
…(基本)


…(1.1)
…(基本)


…(1.2)
…(基本)

…(1.3)
(解説)
(1.1)←





(終)
(1.2)←






(終)
(1.3)←




(終)

倍角公式
sin2α, sin4α, sin6α, ..sinαだけでは表せない(cosαと混ざる)
それ以外は同じ種類のsinα, cosα, tanαのn次式で表せる.(ただし,tantanαの分数式)
…(基本)
…(基本)
…(2.1)
…(2.2)
…(2.3)
sinは,
nが偶数の場合は,sinαcosαを使って表せる.←(例外)
nが奇数の場合は,sinαn次式で表せる.
sin(n+1)α=2sincosα−sin(n−1)α…(*)
(n≧1)と書ける.
(右辺を積和の公式で変形すると左辺に等しいことが分かる)
(解説)
(2.1)←(*)


(終)
最終形としては,見かけの異なる様々な形があり得る.
…(2.1’)
(2.2)←(*)






…(終)
(2.3)←(*)
最終形としては,見かけの異なる様々な形があり得る.
…(2.3)
…(2.3’)
…(2.3”)


…(基本)
…(基本)
…(2.4)

…(2.5)

…(2.6)
α=0のとき,cosα=1, cos nα=1だから,係数の和は1になる
coscosαn次の多項式で表せる.
cos(n+1)α=2coscosα−cos(n−1)α…(**)
(n≧1)と書ける.
(右辺を積和の公式で変形すると左辺に等しいことが分かる)
T coscosα2次式
U coscosαk次式で,cos(k−1)αcosαk−1次式ならば,この式の右辺はcosαk+1次式になる.
 数学的帰納法により,すべての自然数nについて,coscosαn次式であると言える.
(解説)
(2.4)←(**)
cos4α=2coscosα−cos
=2(4cos3α−3cosα)cosα−(2cos2α−1)
=8cos4α−8cos2α+1…(終)
(2.5)←(**)
cos5α=2coscosα−cos
=2(8cos4α−8cos2α+1)cosα−(4cos3α−3cosα)
=16cos5α−20cos3α+5cosα…(終)
(2.6)←(**)
cos6α=2coscosα−cos
=2(16cos5α−20cos3α+5cosα)cosα
−(8cos4α−8cos2α+1)

=32cos6α−48cos4α+18cos2α−1…(終)

…(基本)
…(2.7)
…(2.8)
tantanαn次の分数式で表せる.

(n≧1)と書ける.(加法定理)
この式を使って,次々にtan(n+1)αを求めていくと
ア)
のように,tanの分母がtanαn次式になっている場合は,tan(n+1)αは分子がtanαn+1次式になる.(やって見れば分かる)
イ)tanの分子がtanαn次式になっている場合は,tan(n+1)αは分母がtanαn+1次式になる.(やって見れば分かる)
ア)イ)より,nが偶数のときは,分母がtanαn次式になり,nが奇数のときは,分子がtanαn次式になる.
(解説)
(2.7)←

…(終)
(2.8)←


…(終)

三角関数の累乗→倍角
※累乗の形を避けたい積分計算などでは,次のように倍角を用いて,被積分関数を線形な関数に直す方法も利用できる
…(3.1)
…(3.2)
…(3.3) …(3.4)
…(3.5)
…(3.6)
…(3.7) …(3.8)
…(3.9)
…(3.10)
…(3.11)
…(3.12)
(解説)
(3.1)←
を逆に解くと
…(終)
(3.2)←
を逆に解くと
…(終)
(3.3)←



…(終)
(3.4)←



…(終)
(3.5)←
を逆に解くと
…(終)
(3.6)←
を逆に解くと
…(終)
(3.7)←
について解くと



…(終)
(3.8)←
について解くと



…(終)
(3.9)〜(3.12)←
それぞれ正弦の式を余弦の式で割れば得られる

積和の公式
…(基本)
…(基本)
…(基本)
…(基本)


…(4.1)


…(4.2)


…(4.3)


…(4.4)
(解説)
(4.1)←








…(終)
(4.2)以下も同様にして,積和の公式を繰り返し適用すれば得られる.
結果的には,sinが奇数個→sinの式,sinが偶数個→cosの式になる

のとき≫
…(5.1)

…(5.2)
この式は(5.1)のの代わりにを代入しても得られない.それは,のとき,とはならないからである.以下においても同様
…(5.3)

…(5.4)
…(5.5)

…(5.6)
…(5.7)

…(5.8)
…(5.9)
…(5.10)
…(5.11)
…(5.12)
(解説)
(5.1)←










…(終)
(5.2)も同様にして示される
(5.3)←







…(終)
(5.4)〜(5.8)も同様にして示される
(5.9)←

分母を払うと

…(終)
(5.10)←

分母を払うと

…(終)
(5.11)←


したがって

分母を払うと


(5.12)←
(5.11)の両辺をで割ると得られる
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