【三角方程式とは】
• やのように角度が未知数になっている方程式を三角方程式という. • 三角方程式は,次の例題のように単位円を利用して解くと分かりやすい.
【例題1】
のとき,を満たすの値を求めてください.
サインはy
だから,単位円(半径rが1の円)を描くと,になる
(解答)⇒「サインはy」と覚えておく 右図の単位円で,y座標がとなる角度は,と…(答) |
#超初心者のビックリ答案#
何十年も高校で教えていると,ビックリ答案に出会うことがある.馬鹿にしているのでなく,危険な落とし穴として注意しておこう! からと答えた生徒がいた. はとのかけ算ではないのだ!などというものはないのだ.
#この問題はなぜ解けるのか#
本当のことを言えば,この問題が解けるのは, とという答えを覚えているから解けるのです.もっとはっきり言えば,「筆算で解ける」のは,次の表に出てくるの組み合わせだけです. 中学校で習う1次方程式の解き方など違って,を「数式変形で」解く方法はありません.のような問題は「教科書の巻末に付いている三角関数表を見て」解くのです.
これに対して,定期試験や入学試験などで三角関数表が付いていない場合には,上に述べた表に出てくる問題しか出ないことになります(符号が逆のものは出ます). |
【例題2】
のとき,を満たすの値を求めてください.
コサインはx
だから,単位円(半径rが1の円)を描くと,になる
(解答)⇒「コサインはx」と覚えておく 右図の単位円で,x座標がとなる角度は,…(答) |
【例題3】
のとき,を満たすの値を求めてください.
タンジェントはy/x
だから,単位円(半径rが1の円)を描くと,=(縦)÷(横)の比率になる
(解答)⇒「タンジェントはy/xの比率」 右図の単位円で,(縦)÷(横)の比率が正で1となる角度は,…(答) |
≪水色の表だけは確実に言えるようにしよう!≫ 残りは矢印の方向に同じ値にして,符号を付ける |
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【解説】 ○ 次のような問題では,2θの問題に直して解く。 |
○ 次の問題では,に直して解く。
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■ 問題 0≦θ<πのとき,次の方程式を解きなさい。(初めに問題を1つ選択し,続いて解答を1つクリックしなさい。正しければ消えます。) |
問題 | 解答 | |
ヒント ヒント ヒント ヒント ヒント |
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【三角方程式の一般解】
(A) の1つの解をとするとき,
…(1) …(2) [は整数] の形に書ける角度はすべて解になる.
この形で一般解として覚えてもよいが,次のようにまとめる方法も使われる.
上記の茶色で書いたまとめ方は,式が複雑で迷う可能性がある.自分が答案を書くときは,(1)(2)で安全・確実に書けばよい.(1)はが偶数のときはにを加えることを表しており, (2)はと書けるから,が奇数のときはからを引くものと解釈することができる. そこで,これら2つの式を [は整数] とまとめることができる. 上記の(A)の公式は,次の(B)の形に書くこともできる.
(B) のとき,
…(1) …(2) [は整数] が成り立つ. |
【例題4】
(解答)を満たすの値を求めてください. だから,は1つの解となる. …(1)[は整数] …(2)…(答)
【例題5】…たぶん,高校生の正答率は1割以下.難しい
(解答)のとき,を満たすの値を求めてください. は整数として (1) より
気長に,nの値の範囲を求めているだけだが,生徒には難しいらしい
これに該当する整数値はない (2) より これに該当する整数値は したがって,…(答) |
【例題6】…もう高校生2年生ではほとんど解けないかも
(解答)のとき,を満たすの値を求めてください. と変形する.
なぜ,そのような変形をするのか?それは,加法定理などの変形方法をまだ習っていない段階では,の形からでは解き方の手がかりがなく,の形からなら解き方が分かるから,にそろえたということ.
特に,を使わなければならない訳ではなく,でもよいが,一番簡単なものを使ったということ |
は整数として (1) より これに該当する整数値は のとき, のとき, (2) より これに該当する整数値はない (1)(2)から,…(答) |
【三角方程式の一般解】
(A) の1つの解をとするとき,
[は整数] の形に書ける角度はすべて解になる. |
上記の(A)の公式は,次の(B)の形に書くこともできる.
(B) のとき,
[は整数] が成り立つ. |
【例題7】
(解答)を満たすの値を求めてください. だから,は1つの解となる. [は整数]…(答)
【例題8】
(解答)のとき,を満たすの値を求めてください. は整数として (1) より これに該当する整数値は のとき, (2) より これに該当する整数値は したがって, 以上から,…(答) |
【例題9】
(解答)のとき,を満たすの値を求めてください. と変形する.
正弦にそろえてもできる
は整数として(1) より これに該当する整数値は のとき, のとき, (2) より これに該当する整数値は のとき, (1)(2)から,…(答) |
【三角方程式の一般解】
(A) の1つの解をとするとき,
[は整数] の形に書ける角度はすべて解になる. |
上記の(A)の公式は,次の(B)の形に書くこともできる.
(B) のとき,
[は整数] が成り立つ. |
【例題10】
(解答)を満たすの値を求めてください. だから,は1つの解となる. [は整数]…(答)
【例題11】
(解答)のとき,を満たすの値を求めてください. は整数として より これに該当する整数値は のとき,…(答) |
【例題12】
(解答)のとき,を満たすの値を求めてください. と変形する.
にそろえる方法はいろいろあるが,一番簡単なものを使ったということ
は整数としてより これに該当する整数値は のとき, のとき, のとき, …(答) |