三角関数，指数関数，対数関数の計算問題

■三角関数，指数関数，対数関数の計算問題（高校数学II）
　　　　　　　　　　　　※該当する選択肢をクリックせよ．（採点は下端でまとめて行う．採点すれば解説も出る．全問合えば写真が出る．）（※問題は過去問ではない．）

(1)
　log102=a , log103=b のとき，次の値に等しいものを選択肢から選べ．

log2

１．　

２．　

３．　

４．　

５．　

【対数の計算】

log102=a , log103=b のとき log104=2a , log106=a+b , log108=3a , log109=2b
などの他，
.log105=log10=1−a
も a , b で表わされる．

log2 =log2 −log2 2=log2 15−1

=−1=−1

=−1=

(2)
　log102=0.3010 とするとき，8100 の桁数を求めよ．

１．　29
２．　30
３．　31
４．　90
５．　91

【常用対数の応用：整数の桁数】

n≦log10N<n+1 → 10n≦N<n+1 → N は n+1 桁の整数（簡単な例）
1≦log1010 ～ log1099<2 ←→ 10～99 は 2 桁
2≦log10100 ～ log10999<3 ←→ 100～999 は 3 桁
3≦log101000 ～ log109999<2 ←→ 1000～9999 は 4 桁

log108100=100 log108=100 log1023=300 log102=90.30

は 91 桁の整数

(3)
　tanα=,tanβ= のとき，tan(α+β) の値を求めよ．

１．　　　２．　　　３．　1　　４．　　　５．　

【加法定理】
. tan(α+β)=

tan(α+β)====1

(4)
　sinx+cosx= のとき，sinx·cosx , sin3x+cos3x の値を求めよ．

１．　 , 　　２．　 , 　　３．　− ,

４．　− , 　　５．　 ,

【三角関数の相互関係】

sinx+cosx= の両辺を２乗すると，
sin2x+2sinx·cosx+cos2x=
sin2x+cos2x=1 だから
sinx·cosx=−
また，sin3x+cos3x=(sinx+cosx)(sin2x−sinxcosx+cos2x)

=(1+)=

(5)
　次の数を大小の順に並べたとき，小さい方から４番目になる数はどれか．

１．　0.7^1.3
２．　0.8^−1.2
３．　0.9^−1.1
４．　1.2^−0.8
５．　1.3^−0.7

[採点する]

お疲れさまでした．写真は京都御苑

【指数関数の大小比較】

○指数関数の底 a が1より大きいとき y=a^x は増加関数だから，エオ･･･1.2^-0.8 , 1.3^-0.7<1 ○指数関数の底 a が1より小さいとき y=a^x は減少関数だから，イウ･･･0.9^-1.1,0.8^-1.2>1>0.7^1.3･･･カそこで，１よりも大きな２数 0.9^-1.1,0.8^-1.2･･･イウを比較する．
○0<b<a<1 のとき a^x<b^x だからア･･･0.9^-1.2<0.8^-1.2･･･ウ ○0<a<1 , x<y のとき a^y<a^x だからイ･･･0.9^-1.1<0.9^-1.2･･･ア結局，0.7^1.3,1.3^-0.7,1.2^-0.8<1<0.9^-1.1<(0.9^-1.2)<0.8^-1.2
だから，４番目は 0.9^-1.1
小数第4位までをコンピュータで求めると，
0.7^1.3=0.6290 < 1.3^-0.7=0.8322 < 1.2^-0.8=0.8643 < 1 < 0.9^-1.1=1.1229 < (0.9^-1.2=1.1348) < 0.8^-1.2=1.3070

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