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(1) 次の２次関数のうちで頂点の座標が等しいものはどれか．１.〜５．から選べ． （ア） y=−x2+2x−4 １． （ア）と（エ） |
【２次関数の頂点の座標】 （ア） y=−(x2−2x)−4=−{(x−1)2−1}−4=−(x−1)2−3 の頂点の座標は (1 ,−3) （イ） y=2(x2+4x)+9=2{(x+2)2−4}+9=2(x+2)2+1 の頂点の座標は (−2 , 1) ○ （ウ） y=(x2−6x)+5={(x−3)2−9}+5=(x−3)2+ の頂点の座標は (3 , ) （エ） y=3(x2+x)−4=3{(x+)2−}−4=3(x+)2− の頂点の座標は (− , −) （オ） y=−(x2+4x)−1=−{(x+2)2−4}−1 =−(x+2)2+1 の頂点の座標は (−2 , 1) ○ |
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| (2) ２次関数 y=2x2−12x+19 のグラフを x 軸の正の向きに 2，y 軸の正の向きに 3 だけ平行移動してできるグラフの方程式は次のうちどれか． １． y=2x2−12x−2 |
【２次関数のグラフの平行移動】 y=2x2−12x+19=2(x−3)2+1 の頂点の座標は (3 , 1) このグラフを x 軸の正の向きに 2，y 軸の正の向きに 3 だけ平行移動すると，頂点は (5 , 4) に移るから y=2(x−5)2+4=2x2−20x+54 |
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(3) 次の２次関数のうち最大値が 3，最小値が - 1 となるものはどれか． １． y=x2−4x+3 (−1≦x≦3)
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【２次関数の最大値・最小値】 最大値を M，最小値を m で表わすと １． y=(x−2)2−1 (−1≦x≦3) は， x=−1 のとき y=8=M， 頂点：x=2 のとき y= - 1=m， x=3 のとき y=0 となる． ２． y=−(x−2)2+3 ( 0≦x≦3) は， x=0 のとき y=−1=m， 頂点：x=2 のとき y= 3=M， x=3 のとき y=2 となる． ３． y=(x−1)2−1 (−2≦x≦3) は， x=−2 のとき y=8=M， 頂点：x=1 のとき y= −1=m， x=3 のとき y=3 となる． ４． y=−(x+1)2+3 ( 0≦x≦2) は， x=0 のとき y=2=M， x=2 のとき y= −6=m， （頂点： x=−1 は定義域に含まれない） ５． y=(x−3)2−1 ( 1≦x≦2) は， x=1 のとき y=3=M， x=2 のとき y= 0=m， （頂点： x=3 は定義域に含まれない） |
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(4) 0<a<b<c のとき，y=ax2−bx+c のグラフについて，次のうち正しいものはいくつあるか． （ア） x 軸と異なる２点で交わる． １個 ２個 ３個 ４個 ５個 |
【２次関数の係数とグラフの形】 （ア） 判別式：D=b2−4ac の符号は正とは限らない． × 例 a=1 , b=2, c=3 のとき，D=4−12 <0 （イ） x=0 のとき y=ax2−bx+c>0 だから，y 軸の正の部分で交わり，（その少し右側で）第１象限を通る． ○ （ウ） x<0 のとき y=ax2−bx+c>0 だから，第３象限は通らない． × （エ） (ax2−bx+c)−(cx2−bx+a)=(a−c)(x2−1) は，x<−1 ,−1<x<1 , 1<x に応じて正にも負にもなり得る． × （オ） ax2−bx+c=ax2 を解くと，x=>0 このとき y=a >0 だから第１象限で交わる． ○ |
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| (5) y=x2−4ax−2x+5a2+10a+8 が最小となるような a , x の値を求めよ． １． a=5 , x=3 |
【文字係数の２次関数（２変数関数）の最小値】 y=x2−2(2a+1)x+5a2+10a+8 ={(x−(2a+1)}2−(2a+1)2+5a2+10a+8 =(x−2a−1)2+a2+6a+7 =(x−2a−1)2+(a+3)2−2 は x=2a+1 , a=−3 すなわち a=−3 , x=−5 のとき，最小値 y=−2 をとる． |
