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■累乗剰余
合同式や剰余類の難しい定理を覚えようとすると，高校数学の範囲を越えてしまう場合があります．ここでは，にっこり笑って「鉛筆遊びで解く」方針で戦ってみましょう．
「時間がないから速くしたい」などと理知的に能率・効率のことを考えたらいい考えが出てきません．初めに，「ペンシルゲームのネタがもらえた」とにっこり笑うのがコツ！
【元の問題１】
≪♪〜鉛筆遊びで戦う〜♪≫3333の１位の数を求めよ．（名古屋大学） １の位の数は，１の位の掛け算だけに関係し，10以上の位の数は関係ない． 順に１の位の数を書いていくと，次のようになる．
この表を見ると，指数nが４増えると１周回って同じ値になることがわかる．
（kは整数とする）
3333=34×83+1だから3333の１位の数は3…（答）n=4k → 3nの１位の数は1 n=4k+1 → 3nの１位の数は3 n=4k+2 → 3nの１位の数は9 n=4k+3 → 3nの１位の数は7 （「表を見てください」「類推です」だけでは記述問題のときに証明力が弱いと考えられるとき）→1は攻めやすい 34=81=10N+1だから，(34)83=(10N+1)83=10N’+1 3333=3(10N’+1)=10N”+3
この表を見ると，指数nが４増えると１周回って同じ値になることがわかる．
（kは整数とする）
77=4×19+1だから余りは2…（答）
n=4k → 余りは1 n=4k+1 → 余りは2 n=4k+2 → 余りは4 n=4k+3 → 余りは3 →2
（「表を見てください」「類推です」だけでは記述問題のときに証明力が弱いと考えられるとき）→1は攻めやすい 74=2401=5N+1だから，(74)19=(5N+1)19=5N’+1 777=7(5N’+1)=5N”+2 |
１の位の数は，１の位の掛け算だけに関係し，10以上の位の数は関係ない．
順に１の位の数を書いていくと，次のようになる．
この表を見ると，指数nが４増えると１周回って同じ値になることがわかる．
（kは整数とする）
7100=74×25だから7100の１位の数は1…（答）
n=4k → 7nの１位の数は1 n=4k+1 → 7nの１位の数は7 n=4k+2 → 7nの１位の数は9 n=4k+3 → 7nの１位の数は3 →1
（「表を見てください」「類推です」だけでは記述問題のときに証明力が弱いと考えられるとき） 74=2401=10N+1だから，(74)25=(10N+1)25=10N’+1
この表を見ると，指数nが６増えると１周回って同じ値になることがわかる．
（kは整数とする）
555=6×92+3だから5555を７で割った余りは6…（答）
n=6k+1 → 余りは5 n=6k+2 → 余りは4 n=6k+3 → 余りは6 n=6k+4 → 余りは2 n=6k+5 → 余りは3 n=6k → 余りは1 →6
（記述問題で減点されたくないとき） 56=15625=7×2232+1だから 5552=(56)92=(7N+1)92=7N’+1 5552×53=(7N’+1)×125=7N”+6 |
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【元の問題２】
aを自然数とすると，a3を3で割った余りとaを3で割った余りは等しいことを示せ．（慶応大学：誘導問題の第１問） 場合分けすれば，問題のレベルは１ランクも２ランクも下がる．数学の問題が算数の問題になる
）
１の位の数aとa3を3で割った余りは
（以下，m, N1, N2は整数とする） (1) a=3m（３で割り切れる）のとき，
a2=9m2=3N1
(2) a=3m+1（余り１）のとき，a3=27m3=3N2…３で割り切れる
a2=9m2+6m+1=3(3m2+2m)+1=3N1+1
(3) a=3m+2（余り２）のとき，a3=27m3+27m2+9m+1 =3(9m3+9m2+3m)+1=3N2+1…余り１
a2=9m2+12m+4=3(3m2+4m+1)+1=3N1+1
以上のように，a3を3で割った余りとaを3で割った余りは等しい．a3=27m3+54m2+36m+8 =3(9m3+18m2+12m+2)+2=3N2+2…余り２ （次のようにまとめると，きれいに決まる．）
【重要】
a3−a=(a−1)a(a+1)と変形できるから３で割ったときの余りが等しい ⇔ 差が３で割り切れる
a=3m+k, b=3n+k （k=0,1,2は共通）
ならば a−b=3(m−n)
【重要】
連続する３整数の積になり3で（3!でも）割り切れる．連続する３整数の積は，3!で割り切れる 1×2×3
2×3×4
3×4×5
4×5×6
よって，a3を3で割った余りとaを3で割った余りは等しい． |
a5−a=a(a4−1)=a(a−1)(a+1)(a2+1)
ここで無理やり連続５整数の積を足したり引いたりする
=a(a−1)(a+1)( (a−2)(a+2)+5 )=(a−2)(a−1)a(a+1)(a+2)+5(a−1)a(a+1) 第１項は連続５整数の積だから5×4×3×2×1で割り切れ，第２項は連続３整数の積だから3×2×1で割り切れる したがって，3,5,6で割った余りは等しくなるが，4で割った余りは必ずしも等しくならない． 【例】 a=2のときa5=32になり，４で割った余りは各々2, 0 →2
（別解） （上のような変形は試験会場ではなかなか思いつかない→気楽に「場合分け」で戦う
a5−a=a(a4−1)=a(a−1)(a+1)(a2+1)と変形できるから２，３，６で割った余りは等しい．場合分けすれば，問題のレベルは１ランクも２ランクも下がる．数学の問題が算数の問題になる ） ５で割った余りを調べる：
（k, Nは整数とする）
以上により，５で割った余りも等しい．(1) a=5kのときa5=5N：余りは等しい (2) a=5k+1のときa5=5N+1：余りは等しい (3) a=5k+2のときa5=5N+32=5(N+6)+2：余りは等しい (4) a=5k+3のときa5=5N+243=5(N+48)+3：余りは等しい (5) a=5k+4のときa5=5N+1024=5(N+204)+4：余りは等しい これだけでは，４で割った余りだけは等しくないことが示せないが，選択問題だから，消去法によりここで答にしてよい. （記述問題として４で割った余りが等しくないことは反例で示せばよい：a=2のときa5=32になり，４で割った余りは各々2, 0になり，等しくないことをいえばよい）
「すべての自然数nについて，ある命題が成り立つ」という主張を否定するには「ある自然数nについて，その命題が成り立たない」ことを言えばよい（反例）．反例としては，なるべく小さなnを使えば計算が楽になる．
(1) m=5について
また，「７で割った余りが等しい」⇔「差が７で割り切れる」を使うと楽になる．
25−22=32−4=28（７で割り切れる）
(2) m=6について
35−32=243−9=234（７で割り切れないので不可）
26−22=64−4=60（７で割り切れないので，不可）
(3) m=7について
27−22=128−4=124（７で割り切れないので不可）
選択問題だから，消去法によりここで[4]を答にしてよい.→4
（記述問題の場合） n8−n2が７で割り切れることを証明する必要がある． n8−n2=n2(n6−1)=n2(n3−1)(n3+1) =n2(n−1)(n+1)(n2+n+1)(n2−n+1)
何によって分類するかは「何に関心があるか」によって決める．
(1) n=7kのとき（kは整数。以下同様）
因数nがあるので，７で割り切れる．
(2) n=7k+1, 7k−1のとき
各々n−1, n+1があるので，７で割り切れる．
(3) n=7k+2のとき
n2+n+1=7N+4+(7k+2)+1=7(N+k+1)だから，７で割り切れる．
(4) n=7k−2のとき
n2−n+1=7N+4−(7k−2)+1=7(N−k+1)だから，７で割り切れる．
(5) n=7k+3のとき
n2−n+1=7N+9−(7k+3)+1=7(N−k+1)だから，７で割り切れる．
(6) n=7k−3のとき
n2+n+1=7N+9+(7k−3)+1=7(N+k+1)だから，７で割り切れる．
以上により，すべての自然数nについて，７で割り切れる．
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【元の問題３】
≪♪〜鉛筆遊びで戦う〜♪≫m, nは自然数で，m<nを満たすものとする．mn+1, nm+1がともに10の倍数となるm, nを１組与えよ． （京都大学）
１の位の数aとそのk=1,2,3,4,...乗について，akの１の位の数は次の表のようになる．
このうちで，１の位の数が9となるのは４通りあり，a=3,7,9の場合だけである．
m=3のときはn=4p+2となって，mn, nmがともに１の位が9になることはできない．（以下pは整数）
同様にして，m=7のときもn=4p+2となって，mn, nmがともに１の位が9になることはできない． m=9のときはn=4p+1またはn=4p+3のとき，mn, nmがともに１の位が9になるから 例えば ○m=4×2+1=9, n=4×4+3=19 (m<n)のとき条件を満たす ○m=4×2+1=9, n=4×7+1=29 (m<n)のとき条件を満たす ○m=4×2+1=9, n=4×9+3=39 (m<n)のとき条件を満たす |
≪♪〜鉛筆遊びで戦う〜♪≫
１の位の数nについて，nnの１の位の数は次の表のようになる．
したがって，2と8は登場しない． →3
（もう少し数学の答案らしく，きれいに決めたいとき） 表により，１の位が8となるのは，xx24k+3とxx84k+1 ところが，4k+3は奇数なので，１の位の数は2にならない． また，4k+1は奇数なので，１の位の数は8にならない． 以上により，１の位の数は2, 8にならない． |
≪この頁の復習問題≫
右の表のように，2nを７で割った余りは，2,4,1の繰り返しになる．
以下，kは整数とする．
100=3×33+1だから，2100を７で割った余りは，2
(1) n=3k+1のとき，余りは2 (2) n=3k+2のとき，余りは4 (3) n=3kのとき，余りは1 →2
（別解） 23=7+1 (23)n=(7+1)n=7N+1 したがって 2100=23×33×2=14N+2 |
右の表のように，n≧3のとき，10nを８で割った余りは，0になる． →1
（別解） 103=1000=8k だから 1010=(103)3×10=(8k)3×10=8N×10は８で割り切れる． |
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【復習３】
すべての自然数aについて，amとanを5で割った余りが等しくなるのは，次のうちどの場合か． 1m=2, n=1 2m=4, n=2 3m=6 , n=3 4m=8 , n=4 5m=10 , n=5 HELP
（解法１）♪〜「楽しい鉛筆遊びで戦う」
５で割った余りは右の表のようになる． m−n=4のとき，すべての自然数aについて，amとanを5で割った余りが等しくなるから，m=8 , n=4 →4
（解法２）
「すべての自然数nについて，ある命題が成り立つ」という主張を否定するには「ある自然数nについて，その命題が成り立たない」ことを言えばよい（反例）．反例としては，なるべく小さなnを使えば計算が楽になる．
(1) m=2,n=1について
また，「５で割った余りが等しい」⇔「差が５で割り切れる」を使うと楽になる．
22−21=4−2=2（５で割り切れないので不可）
(2) m=4,n=2について
24−22=16−4=12（５で割り切れないので不可）
(3) m=6,n=3について
26−23=64−8=56（５で割り切れないので不可）
(5) m=10,n=5について
210−25=1024−32=992（５で割り切れないので不可）
選択問題だから，消去法によりここで[4]を答にしてよい.（解法３）･･･記述問題の場合a8−a4が５で割り切れることを証明する必要がある． a8−a4=a4(a4−1)=a4(a−1)(a+1)(a2+1)
場合分けすれば「数学が算数に変わる」
(1) a=5kのとき（kは整数。以下同様）
因数aがあるので，５で割り切れる．
(2) a=5k+1のとき
因数a−1があるので，５で割り切れる．
(3) a=5k+2のとき
a2+1=5N+4+1=5(N+1)だから，５で割り切れる．
(4) a=5k+3のとき
a2+1=5N+9+1=5(N+2)だから，５で割り切れる．
(5) a=5k+4のとき
因数a+1があるので，５で割り切れる．
以上により，すべての自然数aについて，５で割り切れる．
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【復習４】
すべての自然数aについて，amとanを7で割った余りが等しくなるのは，次のうちどの場合か． 1m=6, n=1 2m=6, n=2 3m=6 , n=3 4m=7 , n=1 5m=7 , n=2 6m=7 , n=3 HELP
（解法１）♪〜「楽しい鉛筆遊びで戦う」
７で割った余りは右の表のようになる． m−n=6のとき，すべての自然数aについて，amとanを7で割った余りが等しくなるから，m=7 , n=1 →4
［舞台裏］：こんな表をどうやって作ったのか？
･･･Excelで =MOD(B$1^$A2,7) などとします． （解法２）
「すべての自然数aについて，ある命題が成り立つ」という主張を否定するには「ある自然数aについて，その命題が成り立たない」ことを言えばよい（反例）．反例としては，なるべく小さなaを使えば計算が楽になる．
(1) m=6,n=1について
また，「７で割った余りが等しい」⇔「差が７で割り切れる」を使うと楽になる．
26−21=64−2=62（７で割り切れないので不可）
(2) m=6,n=2について
26−22=64−4=60（７で割り切れないので不可）
(3) m=6,n=3について
26−23=64−8=56（７で割り切れる）
(5) m=7,n=2について
36−33=729−27=702（７で割り切れないので不可）
27−22=128−4=124（７で割り切れないので不可）
(6) m=7,n=3について
27−23=128−8=120（７で割り切れないので不可）
選択問題だから，消去法によりここで[4]を答にしてよい.（解法３）･･･記述問題の場合a7−a1が７で割り切れることを証明する必要がある． a7−a=a(a6−1)=a(a3−1)(a3+1) =a(a−1)(a+1)(a2−a+1)(a2+a+1)
場合分けすれば「数学が算数に変わる」
(1) a=7kのとき（kは整数。以下同様）
因数aがあるので，７で割り切れる．
(2) a=7k+1, 7k−1のとき
各々因数a−1, a+1があるので，７で割り切れる．
(3) a=7k+2, 7k−2のとき
a2+a+1=7N+4+7k+2+1=7(N+k+1)
(4) a=7k+3, 7k−3のときa2−a+1=7N+4−7k+2+1=7(N−k+1) だから，７で割り切れる．
a2−a+1=7N+9−7k−3+1=7(N−k+1)
以上により，すべての自然数aについて，７で割り切れる．
a2+a+1=7N+9+7k−3+1=7(N+k+1) だから，７で割り切れる． |
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