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== 不定積分の置換積分 ==

◇はじめに◇　元の問題のままでは積分計算が困難に見える場合でも，変数を置き換えて関数形を変えると，簡単に積分計算ができることがあります。 変数の置き換えで積分を求める方法が置換積分です。
　■　次の空欄を埋めなさい。
○スペースキーを使わず，sin x などは詰めて sinx と書きなさい。
○数字は半角文字で，英字は半角小文字で書きなさい。
※このページに使用しているフォントで
tは，pqrstのt ，xはxyzのxです。
(例題1)

(2x+1)3dx
(答案)
2x+1 = t とおくと， = 2 → dx =

(原式) =t3=+C=+C･･･答

(問題1-1)

(3x−2)4dx
(答案)
= t とおくと， = 3 → dx =


(原式) =t4=+C=+C･･･答


(問題1-2)


(答案)
= t とおくと， = 2 → dx =


(原式) =t-2=+C =−+C 　･･･　答

◎一般に a ≠ 0 のとき，次の公式が成り立ちます。
(ax+b)ndx=+C

dx=(ax+b)dx= + C

sin(ax)dx =−cos(ax)+C ，

sin(ax+b)dx =−cos(ax+b)+C ，

cos(ax)dx = sin(ax)+C ，

cos(ax+b)dx = sin(ax+b)+C

eaxdx = eax+C，eax+bdx = eax+b+ C

 　ていねいに計算するには，置換積分によりますが，逆に右辺を微分して左辺にするときに a が掛けられるので，積分のときは a で割ると考えれば簡単です。

(問題1-3)

sin(2x+1)dx =−+C

e3xdx = +C

(1−4x)7dx = +C


cos(3x+ )dx = + C


(例題2)

xdx

(答案)
= t とおくと，x+1 = t2　 → 　x = t2−1　 →　 = 2t 　→ 　dx = 2t dt

(原式) =(t2−1)･t･2t dt=2(t4−t2)dt=2(−)+C
=2( − )+C

=2( − )+C

※　無理関数を含む場合=tとおくと，うまく置換積分できます。
簡単な式は，ax+b=tでもできます。
(問題2-1)

dx

(答案)
= t とおくと，x+1 = t2　 → 　x = t2−1

→　 = 　→ 　dx = dt

(原式) = ･2t dt =2 (t2−1)dt =2( −t)+C

=2( − )+C

　･･･(この後 2 でくくることができます。)

(問題2-2)

x dx

(答案)
= t とおくと，x−1 = t3 　 → 　x = t3+1

→　 = t2 　→ 　dx = t2 dt

(原式) = (t3+1)･t･3t2 dt = 3 (t6+t3) dt

= 3 ( + )+C

= 3( + )+C

　･･･(この後 (x−1) でくくることができます。)


(例題3)

2xex2+1dx

(答案)
x2+1 = t とおくと，= 2x 　→ 　dx =

(原式) = 2x et = et dt = et+C = ex2+1+C

※　f(x)dx の f(x) を被積分関数といいます。この問題のように，被積分関数の全部が t に変換できなくても，約分によって x が消えることがあります。これは，f(x)dx の f(x)dx が ...dt になると考えても同じです。
(問題3-1)

sin3x cosx dx

(答案)
sinx = tとおくと=cosx→dx=

(原式) =t3 cosx= t3dt=+C=+C

※【要点】　sinnx cosx →sinx = tとおく， cosnx sinx → cosx = t とおく。

(問題3-2)

dx

(答案)
logx = t とおくと， = 　→ 　dx = dt

(原式) = x dt = t dt = +C = +C


(例題4)

dx

(答案)
x2+x+1 = t とおくと，= 2x+1 　→ 　dx =

(原式) = = = log| t |+C
= log|x2+x+1|+C

(この式でx2+x+1 は常に正なので，最後の式は log(x2+x+1)+C とできます。

※　一般に，分子が分母の微分となっているときは， となるので，直ちに

log| 分母 |+C とすることができます。(丸もうけです。)
(問題4-1)

dx

(答案)
被積分関数で(分母)’=(分子)となっているから
(原式) = log| |+C

(問題4-2)

dx

(答案)
被積分関数で(分母)’=(分子)となっているから
(原式) = log(ex+)+C
※　なお，原式の分母は，つねに正だから | | 記号は不要。

(問題4-3)

dx

(答案)
dx = dx と変形すると，

被積分関数で(分母)’=(分子)となっているから

(原式) = log||+C

【補足】
　やの積分を求めたいとき，とおくとできることが多い．
　例えば，を計算したいとき，このまま積分するにはのように２乗の部分を展開しなければならないが，とおくと

となって，2乗の展開が不要になる．
【補足1】　次の不定積分を求めよ．
（解答）
とおくと




【補足2】　次の不定積分を求めよ．
（解答）
とおくと

［注］直前にPC版から入られた場合は，自動転送でスマホ版に来ていますので，ブラウザの［戻るキー］では戻れません（堂々巡りになる）．下記のリンクを使ってメニューに戻ってください．
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の置換積分について／18.9.4］
全然分からなかったので、ヒントをお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．十分たくさんのヒントが書いてあります．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の置換積分について／18.6.23］
少し読みづらい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．漠然と書くのでなく，もっと具体的に指摘してもらう方が，他の人のためにもなるでしょう．たとえば，スマホの機種ごとに利用可能なフォントが違うので，積分記号の表示，被積分関数との間隔がＰＣ版と異なる形で表示されることがあります．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の置換積分について／17.10.5］
まとまっていて、簡単な練習問題で演習しながら理解できたのでとても役に立った。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の置換積分について／16.10.21］
もう少しレベルの高い実践的な問題を1問置くといいと思った
＝＞［作者］：連絡ありがとう．言われる意味は分かりました．なお,頁の初めにあるサブメニューで同(2)を行ってもらうことができます．