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== 不定積分の部分積分法 ==

◇解説◇
　元の形では積分計算が困難に見える問題でも，形を変えると積分計算の分かる問題に書き直せることがあります。
　ここで紹介する部分積分法は，積の微分法から導かれます．

　積の微分法：　
(fg)’ = f’g + fg’
　の両辺を積分すると，
fg = f’g dx + fg’dx

移項すると，部分積分法の公式が得られます。
fg’dx= fg−f’g dx
※以下の解説においては，「上げる」「下げる」という筆者独特の言い回しがあります．「上げる」とは積分する，「下げる」とは微分するという意味（多項式で言えば，各々次数が上がる，下がるから）です．
【例１】

x sin x dx
※　x と 三角関数，指数関数などの積　→　x を f側 (次に微分する側)に選ぶと消える
　　( )は左辺の初めの形
　　 下げる：(f) = x　　　→ f' = 1
　　　　　g =−cos x ← (g') = sin x：上げる


x sin x dx =−x cos x + cos x dx
=−x cos x + sin x + C
例２
x logx dx
※　log x → 微分する側(現在 f の側)に選ぶとうまくいくことが多い。
(例外：log x は相手が多項式であっても，微分する側とする。)

　　( )は左辺の初めの形
下げる：(f) = log x → f' =

g = ← (g') = x：上げる



x logx dx = log x− dx

= log x− dx

= log x− + C
例3
ex sin x dx

I = ex sin x dx とおく

※求める不定積分を I とおいて，方程式のように解く。
→同じものが出てくるまで変形する．

　　( )は左辺の初めの形

　　下げる：(f) = sin x　→ f' = cos x
　　　　　　g = ex ← (g') = ex：上げる


I = ex sin x dx

= ex sin x−ex cos x dx



　　( )は左辺の初めの形

　　下げる：(p) = cos x　→ p' =−sin x
　　　　　　q = ex ← (q') = ex：上げる


I = ex sin x−ex cos x dx

= ex sin x−(ex cos x + ex sin x dx)

I = ex sin x−ex cos x−I…(*)　となるから，

(*)の式では積分定数Ｃが見えていなくても，一般に不定積分には積分定数を付けなければならないから，最後に付ける．
I= +C


■　問題　次の空欄を埋めなさい。
空欄にはスペースを使わずに半角の「アルファベット小文字または数字」だけを使用するものとします．
(1)
xe−3xdx
◇考え方◇ x を微分する側(初めの f の側)に選ぶ → x が消える。



　　　( )は左辺の初めの形

　　　下げる：(f) = x　→ f' = 　

　　　　　　　　g = 　 ← (g') = e-3x：上げる




(原式) = x − 1･ dx

=− + e-3x dx =− + + C


=− − + C =− + C

(2)
x2 cos x dx
◇考え方◇ x2 を微分する側(初めの f の側)に選ぶ → ２回の部分積分で消える。



　　　( )は左辺の初めの形

　　　下げる：(f) = x2　→ f' = x　
　　　　　　　　g = ← (g') = cos x：上げる



(原式)=x2sin x − 2x sin x dx = x2sin x −2 x sin x dx



　　　( )は左辺の初めの形

　　　下げる：(p) = x　→ p' =
　　　　　　　　q =−cos x ← (g') = sin x：上げる



(原式) = x2sin x −2( x (- cosx ) + cos x dx )
= x2sin x−2(−x cosx + sin x) + C
= x2sin x + 2x cosx −2sin x + C
(3)
log x dx
◇考え方◇ 1･log x と考える



　　　( )は左辺の初めの形

　　　下げる：(f) = log x　→ f’= 　

　　　　　　　　g = 　 ← (g') = 1： 上げる



(原式) = x log x− x dx = x log x− dx

= x log x− + C


(4)
dx
◇考え方◇ log x を微分する側に選ぶ



　　　( )は左辺の初めの形

　　　下げる：(f) = (log x)2　→ f' = 2 (log x) 　

　　　　　　　　g = 　 ← (g') = ： 上げる



(原式) = I とおく
I = (log x)3− 2 log x log x dx


= (log x)3−2 dx

I = (log x)3−2I だから

I = + C
･･[別解]･･
(5)
(log x)2dx
◇考え方◇ 1･(log x)2 と考える



　　　( )は左辺の初めの形

　　　下げる：(f) = (log x)2　→ f' = 2 (log x)　

　　　　　　　　g = x　 ← (g') = 1： 上げる

(原式)= (log x)2 dx

= (log x)2− (log x) x dx

=x(log x)2−log x dx



　　　( )は左辺の初めの形

　　　下げる：(p) = log x　→ p' = 　

　　　　　　　　q = x　 ← (q') = 1： 上げる


log x dx = x log x−x + C だから
(原式)= x (log x)2−2(x log x−x) + C
= x (log x)2−2x log x + 2x + C

(6)
eax cos bx dx

　(ただし，a，b ≠ 0 とする。)
◇考え方◇ = I とおいて，同じものが登場するまで部分積分を繰り返す。


　　　( )は左辺の初めの形

　　　下げる：(f) = eax　→ f' = a eax　

　　　　　　　　g = 　 ← (g') = cos bx： 上げる



(原式) = eax cos bx dx

= − eax sin bx dx



　　　( )は左辺の初めの形

　　　下げる：(p) = eax　→ p' = a eax　

　　　　　　　　q =−　 ← (q') = sin bx： 上げる



(原式)=−(−+eax cos bx dx )

I = + − I

I =

I = +C

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の部分積分法について／16.11.13］
(４)の別解の最終形が間違っていると思います。 (logx)^3/xではなく、(logx)^3/3ではないですか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．