確率のセンター試験問題

■確率のセンター試験問題

　確率のセンター試験問題は，「幾つかの基本問題」を手がかりに，総合問題として「期待値の問題」を解くという構成が多くあります。
　「基本問題」の部分はそれだけを見れば簡単な問題ばかりで，ものによっては中学校までの数学で解けてしまうものも含まれていますが，すべて・確実に処理して，「期待値の問題」に臨みたいところです。
　このページでは，確率のセンター試験問題のうち，期待値の問題を切り離して，基本の小問だけを取り扱っています。

採点結果は次の図で表示されます
正答⇒

，誤答⇒

■99年度[トランプの確率]/ ■2001年度[反復試行の確率]
■2002年度[独立試行の確率／白玉・黒玉]/ ■2004年度[余事象の確率／くじ引き]

99年度数１Ａ本試験第１問(2)---一部引用 [トランプの確率] 　赤，青，黄，緑の４色のカードが５枚ずつ計20枚ある。各色のカードには，それぞれ１から５までの番号が一つずつ書いてある。この20枚の中から３枚を一度に取り出す。 (1)　３枚がすべて同じ番号となる確率はである。 $\frac{5\times _4C_3}{_3C_{20}}=\frac{20\times 6}{20\times 19\times 18}=\frac{1}{57}$	[ス]=，[セ]=，[ソ]=
(2)　３枚が色も番号もすべて異なる確率はである。 $\frac{20\times 12\times 6}{20\times 19\times 18}=\frac{4}{19}$	[タ]=，[チ]=，[ツ]=
(3)　３枚のうちに赤いカードがちょうど１枚含まれる確率はである。 $\frac{_54C_1\times _{15}C_2}{_{20}C_3}=\frac{35}{76}$	[テ]=，[ト]= [ナ]=，[ニ]=

2001年度数１Ａ追試験第１問(2)---一部引用

[反復試行の確率]
　Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの文字が一つずつ書いてある４枚のカードが箱に入っている。この箱から1枚のカードを取り出してもとに戻す。この試行を４回くり返し、以下のように得点を決める。

(a)　文字Ａの書かれたカードを引いた回数が１回ならば１点。
(b)　文字Ａの書かれたカードを引いた回数が２回ならば２点。
(c)　その他の場合，すなわち，文字Ａの書かれたカードを引いた回数が０回，３回または４回のときは０点。

(1)　Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの文字のカードがすべて現れる確率はである。

$\frac{4!}{4^4}=\frac{6}{4^3}=\frac{3}{32}$

(2)　得点が１点である確率はである。

$_4C_1\times\big(\frac{1}{4}\big)\big(\frac{3}{4}\big)^3=\frac{27}{64}$

(3)　得点が０点である確率はである。

$\frac{81+ 12+ 1}{4^4}=\frac{94}{256}=\frac{47}{128}$

2002年度数１Ａ追試験第１問(2)---一部引用

[独立試行の確率／白玉・黒玉]
　Ａ，Ｂの二人がそれぞれ袋をもっている。Ａの袋には黒玉が３個と白玉が２個，Ｂの袋には黒玉が２個と白玉が３個入っている。

(1)　Ａ，Ｂがそれぞれ自分の袋から同時に１個ずつ玉を取り出す。同じ色の玉が取り出されればＡの勝ち，そうでなければＡの負けとする。Ａが勝つ確率はである。

$\frac{_3C_1\times _2C_1+ _2C_2\times _3C_1}{_5C_1\times _5C_1}=\frac{12}{25}$

(2)　　Ａ，Ｂがそれぞれ自分の袋から同時に２個ずつ玉を取り出す。取り出した４個がすべて黒玉である確率はである。

$\frac{_3C_2\times _2C_2}{_5C_2\times _5C_2}=\frac{3}{100}$

(　(2)つづき)二人の取り出した黒玉の個数の合計が，偶数ならばＡの勝ち，奇数ならばＡの負けとする。ただし，０は偶数に含めるものとする。Ａが勝つ確率はである。

黒玉が０個になる確率は， $\frac{_2C_2\times _3C_2}{_5C_2\times _5C_2}=\frac{3}{100}$
黒玉が2個になる確率は, $\frac{_2C_2\times _2C_2+ _3C_1\time _2C_1\times _2C_1\times _3C_1+ _3C_2\times _2C_2}{_5C_2\times _5C_2}=\frac{46}{100}$
黒玉が4個になるのは，(2)の結果から $\frac{3}{100}$
これらを加えると， $\frac{52}{100}=\frac{13}{25}$

2004年度数１Ａ追試験第１問(2)---一部引用

[余事象の確率／くじ引き]
　
　１２本のくじがある。そのうち当りくじは１等が１本，２等が４本であり，残りははずれくじである。
　このくじから同時に３本を引く。

(i)　当りくじを少なくとも１本引く確率はである。　

$1-\frac{35}{220}=1-\frac{7}{44}=\frac{37}{44}$

(ii)　１等，２等、はずれくじをそれぞれ１本ずつ引く確率はである。

$\frac{1\times 4\times 7}{220}=\frac{7}{55}$

(iii)　２等を２本以上引く確率はである。

$\frac{6\times 8}{220}+\frac{4}{220}=\frac{52}{220}=\frac{13}{55}$

2004年度数１Ａ本試験第１問(2)---一部引用

[さいころの確率]
　
　一つのさいころを２回続けて投げ，出た目の数を順にａ，ｂとするとき，とおく。

(1)　ｕ＝１である確率はである。

$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

(2)　ｕ＞１である確率はである。

$\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$

(3)　ｕが整数になる確率はである。

$\frac{14}{36}=\frac{7}{18}$

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率のセンター試験問題について／18.7.29］

一番最初のトランプの確率の（２）の解説がわからないです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その図を見て何か感じ取らないと…
順列／順列で考えるときは：カードのとり方の総数は，N=20×19×18通り．そのうちで，色も番号も違うカードをとる方法は，図のように1つ目のカードのとり方は黄色の20通り（とりあえず●のカードだったとする）．1つ目のカードと色も番号も違うカードは，水色の12通り．（とりあえず次の●のカードだったとする）．3つ目に前の2つと色も番号も違うカードをとる方法は，灰色で示した6通り．以上により
$p=\frac{20\times 12\times 6}{20\times 19\times 18}$
この計算は
$p=\frac{20\times 12\times 6}{_{20}P_3}$
になっていますが，（同時にこだわって）組合せ／組合せで考えるときは：
$p=\frac{20\times 12\times 6\div 3!}{_{20}C_3}$
にするということです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率のセンター試験問題について／17.10.27］

基本問題だったので楽しく出来ました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．