【要点】
・中間項が消えれば和が求まります。
・中間項が等比数列などになっても和が求まります。

(1)　求める和をＳとおく。
(2)　公比ｒをかけてｒＳを作る。
(3)　Ｓ−ｒＳを求めると，中間項が消えて，Ｓが求まる。

「等差数列と等比数列の積になっている数列」とは，例えば次のようなものをいいます．
【例１】
初項１，交差１の等差数列an=nと初項１，公比２の等比数列bn=2n−1の積
anbn=n×2n−1
初めの幾つかを書くと
1, 2×21, 3×22,..., r×2r−1,..., n×2n−1
【例２】
初項3，交差2の等差数列an=2n+1と初項3，公比3の等比数列bn=3nの積
anbn=(2n+1)3n
初めの幾つかを書くと
3×31, 5×32, 7×33,..., (2r+1)3r,..., (2n+1)3n

【要点】
S−rSを作る
○Sが等比数列の和ならば
⇒　「中間項が消えて」和が求まる．
○Sが等差数列×等比数列の和ならば
⇒　「中間項が等比数列になって」和が求まる．

【例1】　次の和を求めなさい。ただし，r≠1とする。 1+2r+3r²+4r³+5r⁴+・・・+nrⁿ⁻¹

（ビックリ答案から学ぼう）
※次の数列は等比数列ではありません： S=1+2r+3r²+4r³+5r⁴+・・・+nrⁿ⁻¹
今までに出会った間違い答案で，「どうしても合わない」という人は，この数列の公比を
\( \displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{nr^{n-1}}{(n-1)r^{n-2}}=\frac{rn}{n-1} \)
と考えていた例がありました。公比は”公”なのでｎによらない共通な定数でなければなりませんが，この数列には公比はありません！

どうしても納得しない方は，
1，3，5，7，… ，(2n−3)，(2n−1)
という数列［公差2の等差数列］の公比が
\( \displaystyle r=\frac{2n-1}{2n-3} \)
とは言えないことを思い出しましょう．

（参考）
wxMaxima（←インストール方法など）を使って，検算する方法
メニューから：微積分→数列の総和→
これにより，次の形で出力されます．
\( \displaystyle \frac{r^n(nr-n-1)}{(1-r)^2}+\frac{1}{(1-r)^2} \)

【例2】　次の和を求めなさい。ただし，x≠1とする。 \( \displaystyle \sum_{k=1}^n (k+1)x^k \)

（参考）
wxMaximaを使って，検算する方法
メニューから：微積分→数列の総和→
これにより，次の形で出力されます．
\( \displaystyle \frac{x^{n+ 1}(nx+ x-n-2)}{(x-1)^2}- \frac{(x-2)x}{(x-1)^2} \)

１　次の和を求めなさい。ただし，ｘ≠1とする。 1+3x+5x²+7x³+・・・+(2n-1)x^n-1

２　次の和を求めなさい。