底の変換公式

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== 底の変換公式 == ■解説

【底の変換公式】

** 記憶に残る覚え方 **
格差社会
上の人はもっと上へ
下の人はもっと下へ

≪1.教科書などに書かれているメジャーな証明≫

≪対数の定義≫
指数関数と対数関数の関係
$a^r=b\leftarrow\rightarrow r=\log_ab$
(指数の形)　　(対数の形)

$\log_ab=x$ …(1)とおくと

$a^x=b$ が成り立つ

≪対数をとるとは≫
対数を「取って捨てる」ことではない
対数を考えること=対数を付けること

両辺にｃを底とする対数をとると
$\log_c(a^x)=\log_cb$

ここで次の公式を使う

$\log_c(a^x)=x\log_ca$

そうすると
$x\log_ca=\log_cb$
$x=\frac{\log_cb}{\log_ca}$
(1)を使ってxを元に戻すと
$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$ 　…証明終■

≪2.図による解説≫

$y=\frac{1}{x}\hspace{5}(x\gt 0)$ のグラフとx軸および，x=1の直線， x=aで囲まれる図形の面積を $S_a$ で表すことにする．
つまり，x=1の右側にある面積を $S_a$ で表す．
このとき， $\log_ab$ は，右図の「水色」に対するの「黄緑」の比を表す．

$\log_ab=$

…(*1)

要するに， $\log_ab$ は， aまでの面積とbまでの面積の比になっています．
ただし，x=1の右側にある面積を正とし，図のb'のようにx=1の左側にある面積は負の符号をもつものとします．（以上のことは数学Ⅲで習います）

次に，(1)式の分母と分子をそれぞれcまでの面積 $S_c$ で割ると

$\log_ab=$

…(*2)

(*2)は $\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$ を表しており，cまでの面積 $S_c$ を基準として書き直したものになっている．

例題　次の式を簡単にしなさい。
(1)　log_ab・log_bc
　答案　底をａにそろえる場合
　

(２)　log_ab・log_bc･log_ca
　答案　底を第４の文字ｄにそろえる場合
　

(３)　log₂3･log₃4･log₄5･log₅6
　答案　底を2にそろえる場合
　

(４) log₃x+2log₉x
　答案　底を3にそろえる場合
　

■問題１・・・次の空欄を埋めなさい。

1…（答）

$\log_3 9=\log_3 3^2=2\log_3 3=2$ （答）

5…（答）

$\log_2 x+\frac{\log_2 x}{2}+\frac{\log_2 x}{3}=\frac{6+ 3+ 2}{6}\log_2 x=\frac{11}{6}\log_2 x$ …（答）

■問題２・・・log₅7=a とおくとき，次の各式の値を a で表わしなさい。 (はじめに左側から一つ選び，次に対応するものを右側から一つ選びなさい。合っていれば消えます。
[ヒント] 　[ヒント] 　[ヒント] 　[ヒント]

【問題３】　（選択肢の中から正しいものをクリック）

(1)
$\log_23=a$ とするとき， $\log_46$ を aで表してください．

解説やり直す

$a$ $\frac{a}{2}$ $\frac{a}{2}+ 1$ $\frac{a+ 1}{2}$

$\log_46=\frac{\log_26}{\log_24}=\frac{\log_2(2\times 3)}{\log_22^2}=\frac{\log_23+\log_22}{2\log_22}$
$=\frac{a+ 1}{2}$ …（答）

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(2)
$\log_23=a,\hspace{5}\log_27=b$ とするとき， $\log_{14}21$ をa, bで表してください．

解説やり直す

a $\frac{a+ b}{2}$ $\frac{a+ b}{a+ 1}$ $\frac{a+ b}{b+ 1}$

$\log_{14}21=\frac{\log_221}{\log_214}=\frac{\log_2(7\times 3)}{\log_2(7\times 2)}=\frac{\log_27+\log_23}{\log_27+ \log_22}$
$=\frac{b+ a}{b+ 1}$ …（答）

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(3)
$(\log_{2}3+\log_49)(\log_34+\log_92)$ の値を求めてください．

解説やり直す

1 2 5 10

底を２にそろえる場合
$(\log_{2}3+\log_49)(\log_34+\log_92)$
$=(\log_23+\frac{\log_29}{\log_24})(\frac{\log_24}{\log_23}+\frac{\log_22}{\log_29})$
$=(\log_23+\frac{2\log_23}{2})(\frac{2}{\log_23}+\frac{1}{2\log_23})$
$=2\log_23\times\frac{5}{2\log_23}=5$ …（答）

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(4)
$\log_46,\hspace{10}\log_89,\hspace{10}\log_{16}27$ の大小を比較してください．

解説やり直す

$\log_46\lt\log_89\lt\log_{16}27$ $\log_89\lt\log_{16}27\lt\log_46$

$\log_89\lt\log_46\lt\log_{16}27$ $\log_{16}27\lt\log_89\lt\log_46$

$1\lt\log_{2}3=a\lt\log_24=2$ とおくと
$\log_46=\frac{\log_26}{\log_24}=\frac{\log_2(3\times 2)}{2\log_22}=\frac{a+ 1}{2}$
$\log_89=\frac{\log_29}{\log_28}=\frac{2\log_23}{3\log_22}=\frac{2a}{3}$
$\log_{16}27=\frac{\log_227}{\log_216}=\frac{\log_23^3}{4\log\22}=\frac{3\log_23}{4}=\frac{3a}{4}$
まず， $\frac{2a}{3}\lt\frac{3a}{4}$ が成り立つ．
次に, $\frac{a+ 1}{2}-\frac{3a}{4}=\frac{2a+ 2-3a}{4}=\frac{2-a}{4}=\frac{2-\log_23}{4}$
$=\frac{\log_24-\log_23}{4}\gt 0$
以上により, $\log_89\lt\log_{16}27\lt\log_46$ …（答）

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[底の変換公式について／17.6.5］

とても解いていて楽しかったのですが、どうしてもわからない時に答えを確認したくても正解するまで答えがわからないシステムが少し時間がかかって大変です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．前半については解答を付けました．