分数(有理数)の指数

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== 分数の指数(有理数の指数) == ■ $a,\hspace{2}b,\hspace{2}m,\hspace{2}n\gt 0$ のとき
$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m},\hspace{10}a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$
と定めると，有理数（分数） $x,\hspace{2}y$ について

(1) $a^xa^y=a^{x+ y}$
(2) $a^x\div a^y=a^{x-y}$
(3) $(a^x)^y=a^{xy}$
(4) $(ab)^x=a^{x}b^x$
(5) $(\frac{a}{b})^x=\frac{a^x}{b^x}$

が成り立つ．

■解説
(3)　

■例・・・簡単にせよ。

(1)
(2)

■読み物■
　累乗や指数を初めて習うときは，指数は掛ける回数と定義します。

例
a²はａを２回かけたもの　ａ×ａのこと
ａ³はａを３回かけたもの　ａ×ａ×ａのこと
　　・・・

　負の指数ａ^-2や零の指数ａ⁰は，このようなものを考えればどうなるかという興味や関心から考えたというよりは，「指数法則が成り立つようにするために，負の指数や零の指数はどのように決めればよいか」というように，「指数法則から指数の定義を決めます」。

例
指数法則 a^m÷aⁿ=a^m-nが成り立つようにするには，a²÷a⁵=a^-3
ところが，意味からいえば a²÷a⁵=1/a³
そこで a^-3=1/a³と決めれば指数法則が自由に使えるようになります。

　分数の指数も以上と同様に，指数法則が成り立つように定義します。

例
となるｘを考えると
指数法則(ａ^m)ⁿ=a^mnが成り立つようにすれば
3x=4よりx=4/3　つまり･･･(1)
一方，･･･(2)
(1)(2)から

例題・・次の数を簡単にしなさい。
(1)　　(2)　　　(3)　

※　底の方を，素因数分解するところがミソ。

■問題１　次の式に等しいものを，下の選択肢から選んでください．

(1) $3^{\frac{5}{4}}$

$\sqrt[4]{3^5}$ $\sqrt[5]{3^4}$ $\frac{1}{\sqrt[5]{3^4}}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{3^5}}$

$\sqrt[3]{4^5}$ $\sqrt[5]{4^3}$ $\frac{1}{\sqrt[5]{4^3}}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{4^5}}$

$\sqrt[3]{5^4}$ $\sqrt[4]{5^3}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{5^3}}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{5^4}}$
［解説を見る］

$a,\hspace{2}m,\hspace{2}n\gt 0$ のとき， $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$
だから
$3^{\frac{5}{4}}=\sqrt[4]{3^5}$ ･･･（答） →［閉じる］←

(2) $5^{\frac{4}{3}}$

$\sqrt[4]{3^5}$ $\sqrt[5]{3^4}$ $\frac{1}{\sqrt[5]{3^4}}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{3^5}}$

$\sqrt[3]{4^5}$ $\sqrt[5]{4^3}$ $\frac{1}{\sqrt[5]{4^3}}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{4^5}}$

$\sqrt[3]{5^4}$ $\sqrt[4]{5^3}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{5^3}}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{5^4}}$
［解説を見る］

$a,\hspace{2}m,\hspace{2}n\gt 0$ のとき， $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$
だから
$5^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{5^4}$ ･･･（答） →［閉じる］←

(3) $5^{-\frac{3}{4}}$

$\sqrt[4]{3^5}$ $\sqrt[5]{3^4}$ $\frac{1}{\sqrt[5]{3^4}}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{3^5}}$

$\sqrt[3]{4^5}$ $\sqrt[5]{4^3}$ $\frac{1}{\sqrt[5]{4^3}}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{4^5}}$

$\sqrt[3]{5^4}$ $\sqrt[4]{5^3}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{5^3}}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{5^4}}$
［解説を見る］

$a,\hspace{2}m,\hspace{2}n\gt 0$ のとき， $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$
だから
$5^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{\sqrt[4]{5^3}}$ ･･･（答） →［閉じる］←

(4) $4^{-\frac{5}{3}}$

$\sqrt[4]{3^5}$ $\sqrt[5]{3^4}$ $\frac{1}{\sqrt[5]{3^4}}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{3^5}}$

$\sqrt[3]{4^5}$ $\sqrt[5]{4^3}$ $\frac{1}{\sqrt[5]{4^3}}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{4^5}}$

$\sqrt[3]{5^4}$ $\sqrt[4]{5^3}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{5^3}}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{5^4}}$
［解説を見る］

$a,\hspace{2}m,\hspace{2}n\gt 0$ のとき， $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$
だから
$4^{-\frac{5}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{4^5}}$ ･･･（答） →［閉じる］←

■問題2　次の式に等しいものを，下の選択肢から選んでください．

(1) $9^{\frac{3}{2}}$

$2$ $3$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$

$12$ $18$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{18}$

$27$ $36$ $\frac{1}{27}$ $\frac{1}{36}$
［解説を見る］

$9^{\frac{3}{2}}=(3^2)^{\frac{3}{2}}=3^{2\times\frac{3}{2}}=3^3=27$ ･･･（答） →［閉じる］←

(2) $8^{\frac{1}{3}}$

$2$ $3$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$

$12$ $18$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{18}$

$27$ $36$ $\frac{1}{27}$ $\frac{1}{36}$
［解説を見る］

$8^{\frac{1}{3}}=(2^3)^{\frac{1}{3}}=2^{1}=2$ ･･･（答） →［閉じる］←

(3) $81^{-\frac{3}{4}}$

$2$ $3$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$

$12$ $18$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{18}$

$27$ $36$ $\frac{1}{27}$ $\frac{1}{36}$
［解説を見る］

$81^{-\frac{3}{4}}=(3^4)^{-\frac{3}{4}}=3^{4\times(-\frac{3}{4})}=3^{-3}=\frac{1}{27}$ ･･･（答） →［閉じる］←

(4) $3^{-\frac{7}{6}}\times 9^{\frac{1}{3}}\times 27^{\frac{1}{2}}$

$2$ $3$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$

$12$ $18$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{18}$

$27$ $36$ $\frac{1}{27}$ $\frac{1}{36}$
［解説を見る］

$3^{-\frac{7}{6}}\times 9^{\frac{1}{3}}\times 27^{\frac{1}{2}}=3^{-\frac{7}{6}}\times (3^2)^{\frac{1}{3}}\times (3^3)^{\frac{1}{2}}$
$=3^{-\frac{7}{6}}\times 3^{\frac{2}{3}}\times 3^{\frac{3}{2}}=3^{-\frac{7}{6}+\frac{2}{3}+\frac{3}{2}}$
$=3^{\frac{6}{6}}=3^1=3$ ･･･（答） →［閉じる］←

(5) $6^{-2}\times 27^{\frac{5}{6}}\div 12^{-\frac{3}{2}}$

$2$ $3$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$

$12$ $18$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{18}$

$27$ $36$ $\frac{1}{27}$ $\frac{1}{36}$
［解説を見る］

$6^{-2}\times 27^{\frac{5}{6}}\div 12^{-\frac{3}{2}}=(2\times 3)^{-2}\times(3^3)^{\frac{5}{6}}\div(2^2\times 3)^{-\frac{3}{2}}$
$=2^{-2}3^{-2}\times 3^{3\times\frac{5}{6}}\div(2^{2\times(-\frac{3}{2})}3^{-\frac{3}{2}})$
$=2^{-2-(-3)}3^{-2+\frac{5}{2}-(-\frac{3}{2})}=2^13^2=18$ ･･･（答） →［閉じる］←

(6) $24^{-1}\times 18^{\frac{1}{3}}\div 12^{-\frac{7}{3}}$

$2$ $3$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$

$12$ $18$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{18}$

$27$ $36$ $\frac{1}{27}$ $\frac{1}{36}$
［解説を見る］

$24^{-1}\times 18^{\frac{1}{3}}\div 12^{-\frac{7}{3}}=(2^3\times 3)^{-1}\times (2\times 3^2)^{\frac{1}{3}}\div (2^{2}}\times 3)^{-\frac{7}{3}}$
$=2^{-3}3^{-1}\times 2^{\frac{1}{3}}3^{\frac{2}{3}}\div(2^{-\frac{14}{3}}3^{-\frac{7}{3}})$
$=2^{-3+\frac{1}{3}-(-\frac{14}{3})}3^{-1+\frac{2}{3}-(-\frac{7}{3})}=2^23^2=36$ ･･･（答） →［閉じる］←

■問題3　次の式に等しいものを，下の選択肢から選んでください．

(1) $\sqrt{\sqrt[3]{a}\hspace{1}\sqrt{b}}\div\sqrt[3]{ab}\times\sqrt{\sqrt[3]{ab^2}}$

$a$ $\sqrt[4]{b}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{a}}$ $\sqrt[3]{a^2b}$

$a$ $\sqrt[4]{b}$ $\frac{\sqrt[6]{b}}{\sqrt[3]{a}}$ $\frac{a}{b\sqrt{b}}$ $\frac{b}{\sqrt[4]{a}}$
［解説を見る］

累乗根で書かれた式を，分数の指数に直して，（指数の部分の）通分や約分の計算にしてしまうのがミソです．
$\sqrt{\sqrt[3]{a}\hspace{1}\sqrt{b}}\div\sqrt[3]{ab}\times\sqrt{\sqrt[3]{ab^2}}=(a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\div(ab)^{\frac{1}{3}}\times((ab^2)^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}}$
$=a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{4}}\div(a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}})\times(a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{3}})$ $=a^{\frac{1}{6}-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}$
$=a^0b^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{b}$ ･･･（答） →［閉じる］←

(2) $\sqrt{ab\sqrt{a}}\div a\sqrt{b}$

$a$ $\sqrt[4]{b}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{a}}$ $\sqrt[3]{a^2b}$

$a$ $\sqrt[4]{b}$ $\frac{\sqrt[6]{b}}{\sqrt[3]{a}}$ $\frac{a}{b\sqrt{b}}$ $\frac{b}{\sqrt[4]{a}}$
［解説を見る］

累乗根で書かれた式を，分数の指数に直して，（指数の部分の）通分や約分の計算にしてしまうのがミソです．
$\sqrt{ab\sqrt{a}}\div a\sqrt{b}=(ab\times a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\div(ab^{\frac{1}{2}})$
$=(a^{\frac{3}{2}}b)^{\frac{1}{2}}\div(ab^{\frac{1}{2}})=(a^{\frac{3}{4}}b^{\frac{1}{2}})\div(ab^{\frac{1}{2}})$
$=a^{\frac{3}{4}-1}b^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=a^{-\frac{1}{4}}b^0=\frac{1}{\sqrt[4]{a}}$ ･･･（答） →［閉じる］←

(3) $\sqrt[3]{\sqrt{a}}\div\sqrt[4]{a^6b^2}\times\raisebox{4pt}{a}\sqrt[3]{b^2}$

$a$ $\sqrt[4]{b}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{a}}$ $\sqrt[3]{a^2b}$

$a$ $\sqrt[4]{b}$ $\frac{\sqrt[6]{b}}{\sqrt[3]{a}}$ $\frac{a}{b\sqrt{b}}$ $\frac{b}{\sqrt[4]{a}}$
［解説を見る］

累乗根で書かれた式を，分数の指数に直して，（指数の部分の）通分や約分の計算にしてしまうのがミソです．
累乗根で書かれた式を，分数の指数に直して，（指数の部分の）通分や約分の計算にしてしまうのがミソです．
$\sqrt[3]{\sqrt{a}}\div\sqrt[4]{a^6b^2}\times\raisebox{4pt}{a}\sqrt[3]{b^2}=(a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}\div(a^6b^2)^{\frac{1}{4}}\times(ab^{\frac{2}{3}})$
$=a^{\frac{1}{6}}\div(a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}})\times(ab^{\frac{2}{3}})=a^{\frac{1}{6}-\frac{3}{2}+ 1}b^{-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}$
$=a^{-\frac{2}{6}}b^{\frac{1}{6}}=a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{6}}=\frac{\sqrt[6]{b}}{\sqrt[3]{a}}$ ･･･（答） →［閉じる］←

(4) $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}\times\sqrt{\sqrt{\sqrt{a}}}$

$a$ $\sqrt{a}$ $\sqrt[4]{a}$ $\sqrt[8]{a}$

$\frac{1}{a}$ $\frac{1}{\sqrt{a}}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{a}}$ $\frac{1}{\sqrt[8]{a}}$
［解説を見る］

$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}\times\sqrt{\sqrt{\sqrt{a}}}=(a\times(a\times a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\times((a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}$
$=(a\times (a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\times a^{\frac{1}{8}}$ $=(a\times a^{\frac{3}{4}})^{\frac{1}{2}}\times a^{\frac{1}{8}}$
$=(a^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}}\times a^{\frac{1}{8}}=a^{\frac{7}{8}}\times a^{\frac{1}{8}}=a^1=a$ ･･･（答） →［閉じる］←

(5) $(ab)^{\frac{3}{2}}\times(a^2b)^{-\frac{1}{6}}\div(ab^2)^{\frac{1}{2}}$

$a$ $\sqrt[4]{b}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{a}}$ $\sqrt[3]{a^2b}$

$a$ $\sqrt[4]{b}$ $\frac{\sqrt[6]{b}}{\sqrt[3]{a}}$ $\frac{a}{b\sqrt{b}}$ $\frac{b}{\sqrt[4]{a}}$
［解説を見る］

$(ab)^{\frac{3}{2}}\times(a^2b)^{-\frac{1}{6}}\div(ab^2)^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{3}{2}}\times a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{6}}\div(a^{\frac{1}{2}}b)$
$=a^{\frac{3}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}}b^{\frac{3}{2}-\frac{1}{6}-1}=a^{\frac{4}{6}}b^{\frac{2}{6}}$
$=a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a^2b}$ ･･･（答） →［閉じる］←

(6) $(a^{\frac{1}{4}}b^{-\frac{1}{2}})^3\times(a^{-\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}})^{-1}\times(a^{-\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{3}})$

$a$ $\sqrt[4]{b}$ $\frac{1}{\sqrt[4]{a}}$ $\sqrt[3]{a^2b}$

$a$ $\sqrt[4]{b}$ $\frac{\sqrt[6]{b}}{\sqrt[3]{a}}$ $\frac{a}{b\sqrt{b}}$ $\frac{b}{\sqrt[4]{a}}$
［解説を見る］

$(a^{\frac{1}{4}}b^{-\frac{1}{2}})^3\times(a^{-\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}})^{-1}\times(a^{-\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{3}})$
$=a^{\frac{3}{4}}b^{-\frac{3}{2}}\times a^{\frac{1}{2}}b^{-\frac{1}{3}}\times a^{-\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{3}}$
$=a^{\frac{3}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}b^{-\frac{3}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}=a^1b^{-\frac{3}{2}}=\frac{a}{\sqrt{b^3}}$
$=\frac{a}{b\sqrt{b}}$ ･･･（答） →［閉じる］←

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数の指数(有理数の指数)について／17.5.30］

問題２で分数の指数を伴った単項式の割り算が入るとき、割り算を先に掛け算に変換するという解法はないのでしょうか？　ヒントでは係数ごとに指数法則で指数の加法法則でまとめるときにマイナスを掛けてから加法していますが、マイナスを掛けるというのもなぜそうするのか今一つ呑み込めません。また、各単項式を２と３などの素数の積の形にした後に素数単位ごとに指数の加法法則が成り立つのも今ひとつよくわかりません。剰余算の記号が式に入っているからそう思ってしまうのかもしれませんが、剰余記号を省略して長い一つの単項式と理解すればよいのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問が長いので区切って答えましょう．
(1)「割り算を先に掛け算に変換するという解法はないのでしょうか？」⇒一番初めの解説にありますように， $a^x\div a^y=a^{x-y}$ ですので，これは $a^x\div a^y=a^{x}\times a^{-y}$ と同じことです．つまり，割り算を掛け算に変換しています．
(2) 「マイナスを掛けるというのもなぜそうするのか今一つ」⇒負の指数の定義この頁やこの頁の内容を先に読んでください．
(3) 「剰余算の記号が式に入っているから」⇒割り算の余りは使っていないので，この文章はおかしい．
(4) 「長い一つの単項式と理解すれば」⇒当然そうなっています．
(5) 「各単項式を２と３などの素数の積の形にした後に素数単位ごとに指数の加法法則が成り立つのも今ひとつよくわかりません」⇒たとえば， $6^{-2}\div 12^{-\frac{3}{2}}$ のような場合，6と2に分けて（3まで分解せずに）済ませることもできますが，ほとんどの問題は素因数分解で行うのが最短・最良の解き方ですから，慣れるまで練習した方がよいでしょう．
※質問者がどういう現状で，何を尋ねているのか分かりにくいですが，推定で言えば「マイナスの指数がよく分からないから，使いたくない．逃げたい」という心理があると推定すれば，これらすべての質問がなぜ出てくるのかを説明できるようです．「マイナスの指数から逃げることはできません」ので上記２つの頁の「負の指数の定義」を読むことから始めてください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数の指数(有理数の指数) について／17.3.31］

いつもありがとうございます。問題3の答え「4√a」と対になる問いに関して、いくら解こうとしても4√aになりません。ヒントを開けてみたところ、√3√a2乗bの解き方に誤りがあるような気がしていますが、いかがでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．点検しましたが，特に間違いはありませんでした．
累乗根の形で書く場合に，書いている人と読んでいる人が違う解釈をするかもしれないと思うものとして，次のような例があります．

$a^3\sqrt{b}$ と $a\sqrt[3]{b}$ の違い．
$\sqrt{3\sqrt{a^2b}}$ と $\sqrt{\sqrt[3]{a^2b}}$ の違い．
以上は，通俗的に言えば，「肩」と「手のひら」が近くにある，「body」と「肩」が近くにあるための混同で，これらが紛らわしいときは横のスペースを適当に広げて書くと防ぐことはできます．
どちらかと言えば，あなたの疑問はその部分ではなく，次の「指数法則」が十分使えていないためではないでしょうか．
$\sqrt{\sqrt[3]{a^2b}}=((a^2b)^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}}=(a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{6}}$